1、大学物理 学 (北邮第三版 ) 赵近芳等编著 习题 及解答 （全） 习题一 1-1 r 与 r 有无不同 ? tddr 和 tddr 有无不同 ? tddv 和 tddv 有无不同 ?其不同在哪里 ?试举例说明 解： （ 1） r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r 12 rr ， 12 rrr ； （ 2） tddr 是速度的模，即 tddr v tsdd . trdd 只是速度在径向上的分量 . 有 rr r （式中 r 叫做单位矢），则 trtrt dddddd rrr 式中 trdd 就是速度径向上的分量， trt dddd 与r不同如题 1-1 图所示 . 题 1-1 图 (
2、3) tddv表示加速度的模，即 tva dd， tvdd 是加速度 a 在切向上的分量 . 有 (vv 表轨道节线方向单位矢），所以 tvtvtv dddddd 式 中 dtdv 就是加速度的切向分量 . ( ttr dddd 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论 ) 1-2 设质点的运动方程为 x =x (t )， y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r 22 yx ，然后根据 v = trdd ，及 a 22ddtr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =22dddd tytx 及 a =222222dddd tytx 你认为两种
3、方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确 .因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr ， jt yit xt rajtyitxtrv222222dddddddddddd故它们的模即为 222222222222ddddddddtytxaaatytxvvvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误， 即误把速度、加速度定义作 22dddd t ratrv 其二，可能是将 22dddd trtr与误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 trdd 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 22ddtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分
4、量中的一部分 222dddd trt ra 径 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21 t 2+3t -4. 式中 t 以 s 计， x ,y 以 m 计 (1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出 t =1 s 时刻和 t 2s 时刻的位置矢量，计算这 1 秒内质点的位移； (3)计算 t 0 s 时刻到 t 4s时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，计算 t 4
5、 s 时质点的速度； (5)计算 t 0s 到 t 4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t 4s 时质点的加速度 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式 ) 解：（ 1） jttitr )4321()53( 2 m (2)将 1t , 2t 代入上式即有 jir 5.081 m jjr 4112 m jjrrr 5.4312 m (3) jirjjr 1617,45 40 104 sm534 201204 jijirrtrv (4) 1sm)3(3dd jtitrv 则 jiv 734 1sm (5) jiv
6、jiv 73,33 40 204 sm1444 jvvtva (6) 2sm1dd jtva 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1-4 在离水面高 h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S 处，如题 1-4 图所示当人以 0v (m 1s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图 1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 l ， 此时绳与水面成 角，由图可知 222 shl 将上式对时间 t 求导，得 tsstll dd2dd2 题 1-4 图 根据速度的定义，并注意到 l ,s 是随 t 减少的， tsvvtlv dd,dd 0 船绳 即 c o sdddd 00 v
7、vsltlsltsv 船 或 s vshslvv 02/1220 )( 船 将 船v 再对 t 求导，即得船的加速度 3202220202002)(ddddddsvhsvslsvslvsvvstsltlstva 船船1-5 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a 2+6 2x ， a 的单位 为 2sm ， x 的单位为 m. 质点在 x 0 处，速度为 10 1sm ,试求质点在任何坐标处的速度值 解： xvvtxxvtva dddddddd 分离变量： xxa d x d)62(d 2 两边积分得 cxxv 32 2221 由题知， 0x 时， 100v , 50c 13 sm25
8、2 xxv 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a 4+3t 2sm ， 开始运动时， x 5 m， v =0，求该质点在 t 10s 时的速度和位置 解： ttva 34dd 分离变量，得 ttv d)34(d 积分 ，得 12234 cttv 由题知， 0t , 00v , 01c 故 2234 ttv 又因为 2234dd tttxv 分离变量， tttx d)234(d 2 积分得 232 212 cttx 由题知 0t , 50x , 52c 故 5212 32 ttx 所以 s10t 时 m7 0 551021102sm1 9 0102310432101210 xv1-7 一
9、质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ， 式中以弧度计， t 以秒计，求： (1) t 2 s (2)当加速度的方向和半径成 45角 时，其角位移是多少 ? 解： tttt 18dd,9dd 2 (1) s2t 时， 2sm362181 Ra 2222 sm1 2 9 6)29(1 Ra n (2)当加速度方向与半径成 45 角时，有 145tan naa即 RR 2 亦即 tt 18)9( 22 则解得 923t 于是角位移为 r a d67.2923232 3 t 1-8 质点沿半径为 R 的圆周按 s 20 21bttv 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧
10、长 , 0v ， b 都是常量，求： (1)t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b 解：（ 1） btvtsv 0dd RbtvRvabtvan202 )(dd则 240222 )(R btvbaaa n 加速度与半径的夹角为 20 )(a r c ta n btv Rbaa n (2)由题意应有 2402 )(R btvbba 即 0)(,)( 4024022 btvR btvbb当 bvt 0 时， ba 1-9 半径为 R 的轮子，以匀速 0v 沿水平线向前滚动： (1)证明轮缘上任意点 B 的运动方程为x R )sin( tt ， y R )cos1( t
11、 ，式中 0v /R 是轮子滚动的角速度，当 B 与水平线接触的瞬间开始计时此时 B 所在的位置为原点，轮子前进方向为 x 轴正方向； (2)求 B 点速度和加速度的分量表示式 解：依题意作出下图，由图可知 )s in(s in2cos2s in200tRtRRtvRtvx题 1-9 图 (1) )c o s1()c o s1( 2s in2s in2tRRRy(2) )s indd)c o s1(ddtRtyvtRtxvyxtvtRatvtRayyxxddc o sdds in221-10 以初速度 0v 20 1sm 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60的夹角， 求： (1)球轨道最高点
12、的曲率半径 1R ； (2)落地处的曲率半径 2R (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系 ) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示 题 1-10 图 (1)在最高点， o01 60co svvv x 21 sm10 gan 又 1211 van m1010)60c o s20( 22111nav(2)在落地点， 2002 vv 1sm , 而 o60cos2 gan m8060cos10)20( 22222nav1-11 飞轮半径为 0.4 m，自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad 2s ，求 t 2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解：当 s2t
13、 时， 4.022.0 t 1srad 则 16.04.04.0 Rv 1sm 064.0)4.0(4.0 22 Ra n 2sm 08.02.04.0 Ra 2sm 22222 sm102.0)08.0()064.0( aaa n 1-12 如题 1-12 图，物体 A 以相对 B 的速度 v gy2 沿斜面滑动， y 为纵坐标，开始时A 在斜面顶端高为 h 处， B 物体以 u 匀速向右运动，求 A 物滑到地面时的速度 解：当滑至斜面底时， hy ，则 ghvA 2 ,A 物运动过程中又受到 B 的牵连运动影响，因此， A 对地的速度为 jghighuvuv AA )s in2()c o
14、s2( 地题 1-12 图 1-13 一船以速率 1v 30km h-1沿直线向东行驶 ， 另一小艇在其前方以速率 2v 40km h-1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何 ?在艇上看船的速度又为何 ? 解： (1)大船看小艇，则有 1221 vvv ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图 (a) 题 1-13 图 由图可知 1222121 hkm50 vvv 方向北偏西 87.3643a r c t a na r c t a n21vv (2)小船看大船，则有 2112 vvv ，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图 (b)，同上法，得 5012v 1hkm 方向南偏东 o87.3
15、6 1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后 2 m 的甲板上，篷高 4 m 但当轮船停航时，甲板上干 湿两部分的分界线却在篷前 3 m ，如雨滴的速度大小为 8 m s-1，求轮船的速率 解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示 题 1-14 图 船雨雨船 vvv 船雨船雨 vvv 由图中比例关系可知 1sm8 雨船 vv 习题二 2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m 的物体，另一边穿在质量为 2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a 下滑，求 1m ， 2m 相 对于地面的加速度、绳的张力
16、及柱体与绳子间的摩擦力 (绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计 ) 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1a ，其对于 2m 则为牵连加速度，又知 2m对绳子的相对加速度为 a ，故 2m 对地加速度，由图 (b)可知，为 aaa 12 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律，有 111 amTgm 222 amgmT 联立、式，得 2121211212212211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma讨论 (1)若 0a ，则 21 aa 表示柱体与绳之间无相对滑动 (2)若 ga 2 ，则 0fT ，
17、表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m , 2m 均作自由落体运动 题 2-1 图 2-2 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v 运动， 0v 的方向与斜面底边的水平线 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道 解 : 物体置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐标：取 0v 方向为 X 轴，平行斜面与 X 轴垂直方向为 Y 轴 .如图 2-2. 题 2-2 图 X 方向： 0xF tvx 0 Y 方向： yy mamgF s in 0t 时 0y 0yv 2sin21 tgy 由 、式消去 t ，得 220 s in21 xgvy 2-3 质量为
18、 16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 xf 6 N， yf -7 N，当 t 0 时， yx 0， xv -2 m s-1， yv 0求 当 t 2 s (1)位矢； (2)速度 解： 2sm83166 mfa xx 2sm167 mfa yy (1) 20101200sm87216 7sm452832dtavvdtavvyyyxxx于是质点在 s2 时的速度 1sm8745 jiv (2) m874134)167(21)4832122(21)21( 220jijijtaitatvr yx2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv (k 为常数
19、)作用， t =0 时质点的速度为 0v ，证明 (1) t 时刻的速度为 v tmkev )(0 ； (2) 由 0 到 t 的时间内经过的距离为 x ( kmv0 ) 1- tmke )( ； (3)停止运动前经过的距离为 )(0 kmv ； (4)证明当 kmt 时速度减至 0v 的 e1 ，式中 m 为质点的质量 答 : (1) tvmkva dd 分离变量，得 mtkvv dd 即 vv t m tkvv0 0 dd mktevv lnln0 tmkevv 0 (2) t tt mkmk ekmvtevtvx 0 00 )1(dd (3)质点停止运动时速度为零，即 t， 故有 0 0
20、0 d kmvtevx tmk (4)当 t=km 时，其速度为 evevevv kmmk 0100 即速度减至 0v 的 e1 . 2-5 升降机内有两物体，质量分别为 1m ， 2m ，且 2m 2 1m 用细绳连接，跨过滑轮 ,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 a 21 g 上升时，求： (1) 1m 和 2m 相对升降机的加速度 (2)在地面上观察 1m ， 2m 的加速度各 为多少 ? 解 : 分别以 1m , 2m 为研究对象，其受力图如图 (b)所示 (1)设 2m 相对滑轮 (即升降机 )的加速度为 a ，则 2m 对地加速度 aaa 2 ；因绳不可伸长，故 1m 对滑轮的加速度亦为 a ，又 1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 1m 在水平方向对地加速度亦为 a ，由牛顿定律，有 )(22 aamTgm amT 1
