1、 1 -1 质点作曲线运动 ,在时刻 t 质点的位矢为 r,速度为 v ,速率为 v,t 至 (t t)时间内的位移为 r, 路程为 s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称 r ),平均速度为 v ,平均速率为 v (1) 根据上述情况 ,则必有 ( ) (A) r = s = r (B) r s r,当 t0 时有 dr = ds dr (C) r r s,当 t0 时有 dr = dr ds (D) r s r,当 t0 时有 dr = dr = ds (2) 根据上述情况 ,则必有 ( ) (A) v = v , v = v (B) v v , v v (C) v = v , v v (
2、D) v v , v = v 分析与解 (1) 质点 在 t 至 (t t)时间内沿曲线从 P 点运动到 P点 ,各量关系如图所示 , 其中路程 s PP, 位移大小 r PP,而 r r- r表示质点位矢大小的变化量 ,三个量的物理含义不同 ,在曲线运动中大小也不相等 (注：在直线运动中有相等的可能 )但当 t0 时 ,点 P无限趋近P点 ,则有 dr ds,但却不等于 dr故选 (B) (2) 由于 r s,故 tst r ,即 v v 但由于 dr ds,故tst dddd r,即 v v 由此可见 ,应选 (C) 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢 r(x,y)的端点处 ,对其速度的
3、大小有四种意见 ,即 (1)trdd； (2) tddr ； (3)tsdd； (4) 22dddd tytx 下述判断正确的是 ( ) (A) 只有 (1)(2)正确 (B) 只有 (2)正确 (C) 只有 (2)(3)正确 (D) 只有 (3)(4)正确 分析与解 trdd 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率 ,在极坐标系中叫径向速率通常用符号 vr表示 ,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； tddr 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式 tsddv 计算 ,在直角 坐标系中则可由公式 22dddd tytxv求解故选 (D) 1 -3 一个质点在做圆周运动时 ,则有 ( )
4、 (A) 切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变 ,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变 ,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变 分析与解 加速度的切向分量 a 起改变速度大小的作用 ,而法向分量 an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时 ,由于速度方向不断改变 ,相应法向加速度的方向也在不断改变 ,因而法向加速度是一定改变的至于 a 是否改变 ,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时 , a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时 , a 为一不为零的恒量 ,当 a 改变时 ,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见 ,应选 (B)
5、 1 -4 质点的运动方程为 23010 ttx 和 22015 tty ， 式中 x,y 的单位为 m,t 的单位为。 试求： (1) 初速度的大小和方向； (2) 加速度的大小和方向 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量 ,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方 向 解 (1) 速度的分量式为 ttxx 6010dd v ttyy 4015dd v 当 t 0 时 , vox -10 m -1 , voy 15 m -1 ,则初速度大小为 120200 sm0.18 yx vvv 设 vo与 x 轴的夹角为 ,则 23tan 00 xy vv 12341 (2) 加速度的分
6、量式为 2sm60dd ta xx v , 2sm40dd ta yy v 则加速度的大 小为 222 sm1.72 yx aaa 设 a 与 x 轴的夹角为 ,则 32tan xyaa -3341(或 32619) 1 -5 质点沿直线运动 ,加速度 a 4 -t2 ,式中 a的单位为 m -2 ,t的单位为如果当 t 3时 ,x 9 m,v 2 m -1 ,求质点的运动方程 分析 本题属于运动学第二类问题 ,即已知加速度求速度和运动方程 ,必须在给定条件下用积分方法解决由 ta ddv 和 txddv 可得 tadd v 和tx dd v 如 a a(t)或 v v(t),则可两边直接积分
7、如果 a 或 v不是时间 t 的显函数 ,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分 解 由分析知 ,应有 t ta0 dd0vv v 得 03314 vv tt(1) 由 txx tx 0 dd0 v得 0042 1212 xtttx v(2) 将 t 3时 ,x 9 m,v 2 m -1代入 (1) (2)得 v0 -1 m -1,x0 0.75 m于是可得质点运动方程为 75.01212 42 ttx 1 -6 飞机以 100 m -1 的速度沿水平直线飞行 ,在离地面高为 100 m时 ,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处 ,问： (1) 此时目标在飞机正下方位置的前 面多
8、远？ 分析 物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下 ,由运动独立性原理知 ,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动 ,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时 ,两方向上运动时间是相同的因此 ,分别列出其运动方程 ,运用时间相等的条件 ,即可求解 此外 ,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻 t时物体的切向加速度和法向加速度 ,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角 或 由图可知 ,在特定时刻 t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角 ,可由此时刻的两速度分量 vx 、 vy求出 ,这样 ,也就可将 重力加速度 g 的切向和法向分量求得 解 (1) 取如图所示的坐标 ,物品下
9、落时在水平和竖直方向的运动方程分别为 x vt, y 1/2 gt2 飞机水平飞行速度 v 100 ms-1 ,飞机离地面的高度 y 100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 m4522 gyx v 1 -7 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 20 21 btts v运动 ,v0 、 b 都是常量 (1) 求 t 时刻质点的总加速度。 分析 在自然坐标中 ,s 表示圆周上从某一点开始的曲线 坐标由给定的运动方程 s s(t),对时间 t 求一阶、二阶导数 ,即是沿曲线运动的速度 v 和加速度的切向分量 a ,而加速度的法向分量为 an v2 /R这样 ,总加速度为 a a e ane
10、n至于质点在 t 时间内通过的路程 ,即为曲线坐标的改变量 sst -s0因圆周长为 2R,质点所转过的圈数自然可求得 解 (1) 质点作圆周运动的速率为 btts 0dd vv 其加速度的切向分量和法向分量分别为 btsat 22dd , RbtRa n 202 )( vv 故加速度的大小为 R )(402222 btbaaaa ttn v其方向与切线之间的夹角为 Rb btaa tn 20 )(a r c t a na r c t a n v 1 -8 一升降机以加速度 1.22 m -2上升 ,当上升速度为 2.44 m -1时 ,有一螺丝自升降机的天花板上松脱 ,天花板与升降机的底面相
11、距 2.74 m计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间； (2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下 ,一种处理方法是取地面为参考系 ,分别讨论升降机竖直向上的匀加速 度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动 ,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程 y1 y1(t)和 y2 y2(t),并考虑它们相遇 ,即位矢相同这一条件 ,问题即可解；另一种方法是取升降机 (或螺丝 )为参考系 ,这时 ,螺丝 (或升降机 )相对它作匀加速运动 ,但是 ,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝 (或升降机 )运动的路程 解 1 (1) 以地面为参考系 ,
12、取如图所示的坐标系 ,升降机与螺丝的运动方程分别为 201 21 atty v 202 21 gtthy v 当螺丝落 至底面时 ,有 y1 y2 ,即 2020 2121 gtthatt vv s705.02 ag ht (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m716.021 202 gttyhd v 解 2 (1)以升降机为参考系 ,此时 ,螺丝相对它的加速度大小 a g a,螺丝落至底面时 ,有 2)(210 tagh s705.02 ag ht (2) 由于升降机在 t 时间内上升的高度为 20 21 atth v 则 m716.0 hhd 1 -9 一无风的下雨天 ,一列火车
13、以 v1 20.0 m -1 的速度匀速前进 ,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成 75角下降求雨滴下落的速度v2 (设下降的雨滴作匀速运动 ) 分析 这是一个相对运动的问题设雨滴为研究对象 ,地面为静止参考系 ,火车为动参考系 v1 为 相对 的速度 ,v2 为雨滴相对的速度 ,利用相对运动速度的关系即可解解 以地面为参考系 ,火车相对地面运动的速度为 v1 ,雨滴相对地面竖 直下落的速度为 v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2为相对速度 ,它们之间的关系为 122 vvv (如图所示 ),于是可得 1o12 sm36.575ta n vv 1 -10 如图 (a)所示 ,一汽车在雨中沿直
14、线行驶 ,其速率为 v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前 角 ,速率为 v2,若车后有一长方形物体 ,问车速v1为多大时 ,此物体正好不会被雨水淋湿？ 分析 这也是一个相对运动的问题可视雨点为研究对象 ,地面为静参考系 ,汽车为动参考系 如图 (a)所示 ,要使物体不被淋 湿 ,在车上观察雨点下落的方向 ( 即雨点相对于汽车的运动速度 v2的方向 ) 应满足hl arctan 再由相对速度的矢量关系 122 vvv ,即可求出所需车速v1 解 由 122 vvv 图 (b) ,有 c o ss ina rc ta n 2 21 v vv 而要使 hl arctan ,则 hl cossi
15、n2 21v vv h l s inc o s21 vv 1 -11 用水平 力 FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止当 FN逐渐增大时 ,物体所受的静摩擦力 Ff的大小 ( ) (A) 不为零 ,但保持不变 (B) 随 FN成正比地增大 (C) 开始随 FN增大 ,达到某一最大值后 ,就保持不变 (D) 无法确定 分析与解 与滑动摩擦力不同的是 ,静摩擦力可在零与最大值 FN范围内取值当 FN增加时 ,静摩擦力可取的最大值成正比增加 ,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态由题意知 ,物体一直保持静止状态 ,故静摩擦力与重力大小相等 ,方向相反 ,并保持不变 ,故选 (A) 1 -
16、12 一段路面水平的 公路 ,转弯处轨道半径为 R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为 ,要使汽车不至于发生侧向打滑 ,汽车在该处的行驶速率 ( ) (A) 不得小于 gR (B) 必须等于 gR (C) 不得大于 gR (D) 还应由汽车的质量 m 决定 分析与解 由题意知 ,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动 ,为保证汽车转弯时不侧向打滑 ,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供 ,能够提供的最大向心力应为 FN由此可算得汽车转弯的最大速率应为 v Rg因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值 ,均能保证不侧向打滑应选 (C) 1 -13 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑 ,在下滑过程中 ,
17、则( ) (A) 它的加速度方向永远指向圆心 ,其速率保持不变 (B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 (C) 它受到的合外力大小变化 ,方向永远指向圆心 (D) 它受到的合外力大小不变 ,其速率不断增加 分析与解 由图可知 ,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力 FN作用 ,其合外力 方向并非指向圆心 ,其大小和方向均与物体所在位置有关重力的切向分量 (m gcos ) 使物体的速率将会不断增加 (由机械能守恒亦可判断 ),则物体作圆周运动的向心力 (又称法向力 ) 将 不 断 增 大 , 由 轨 道 法 向 方 向 上 的 动 力 学 方 程Rmm
18、gF N 2s in v 可判断 ,随 角的不断增大过程 ,轨道支持力 FN也将不断增大 ,由此可见应选 (B) 1 -14 图 (a)示系统置于以 a 1/4 g 的加速度上升的升降机内 ,A、 B 两物体质量相同均为 m,A 所在的桌面是水平的 ,绳子和定滑轮质量均不计 ,若忽略滑轮轴上和 桌面上的摩擦 ,并不计空气阻力 ,则绳中张力为 ( ) (A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg 分析与解 本题可考虑对 A、 B 两物体加上惯性力后 ,以电梯这个非惯性参考系进行求解此时 A、 B 两物体受力情况如图 (b)所示 ,图中 a为 A、 B 两物体相对电梯的加速度 ,ma为惯性力对 A、 B 两物体应用牛顿第二定律 ,可解得 F 5/8 mg故选 (A) 讨论 对于习题 1 -14 这种类型的物理问题 ,往往从非惯性参考系 (本题为电梯 )观察到的运动图像较为明确 ,但由于牛顿定律 只适用于惯性参考系 ,故从非惯性参考系求解力学问题时 ,必须对物体加上一个虚拟的惯性力如以地面为惯性参考系求解 ,则两物体的加速度 aA 和 aB 均应对地而言 ,本题中aA 和 aB的大小与方向均不相同其中 aA 应斜向上对 aA 、 aB 、 a 和 a之间还要用到相对运动规律 ,求解过程较繁有兴趣的读者不妨自己尝试一下
