1、 函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结第十一章 一、函数项级数的一致收敛性在收 域 的性 似于多 式幂级数 敛 内 质类 项 , 但一般函数不一定有 好的特点项级数则 这么 . 例如, 级数 )()()( 1232 nn xxxxxxx每 在 项 0,1 上都连续, 其前 n 之和项 为 ,)( nn xxS 和函数 )(lim)( xSxS nn10 x,01x,1和函 在 该 数 x1 间断.机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结因 任意 为对 x 都有: ),2,1(
2、1sin 222 nnnxn所以 的收 域 它 敛 为 (, +) ,但逐 求 后的 项 导 级数 xnxx 22 cos2coscos 22222sin22sin1sinnxnxx其一般 不 于项 趋 0, 所以 任意 对 x 都 散 发 .又如, 函数项级数问题: 什 的函 才有对 么样 数项级数 :逐 项连续 和函数连续; 逐 求 项 导 = 和函 求数 导; 逐 分 项积 = 和函 分 数积机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结定义. 设 S(x) 为 )(1xunn若 对都有一 只依 于个 赖 的自然 数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 )()()(
3、 xSxSxr nn在 则称该级数 区间 I 上一致收 于和函敛 数S(x) .在区间 I 上的和函数,任意 定的 给 0,然显 , 在 区间 I 上 )(1xunn一致收 于和函敛 数S(x)部分和序列 )(xSn 一致收 于敛 S(x) 余 项 )(xrn 一致收 于 敛 0 机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结几何解释 : (如图) )(xSy )(xSyI x)(xSy ,0, ZN 当n N 时, 表示 )()( xSxS n曲 线 )()( xSyxSy 与位于曲总 线)(xSy n)(xSy n之间.机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结例1. 究 研 级数 )1)
4、( 1)3)(2( 1)2)(1( 1 nxnxxxxx在 区间 0, +) 上的收 性敛 .解: 111)1)( 1 kxkxkxkx ),2,1( k )3121()2111()( xxxxxSn)111( nxnx1111 nxx机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结)(lim)( xSxS nn )1111(lim nxxn 11 x)0( x余 的项 绝对值:)()()( xSxSxr nn 11 nx 11 n)0( x因此, 任 给 0, 取自然 数 ,11 N 则当n N 有时)0()( xxrn 明 在 这说 级数 0, +) 上一致收 于 敛 .11)( xxS机 目
5、 上 下 返回 束 动 录 页 页 结例2. 明 证 级数 )()()( 1232 nn xxxxxxx在 0,1 上不一致收 敛 . 证: nnnn xxxxxxxS )()()( 12 )(xS 10 x,0 1x,1 )()()( xSxSxr nn 10 x,nx1x,0取正 数 ,21 无 多 大的正 对 论 么 数 N , ,)( 11210 Nx取,1,00x ,)( 2101 xrN而 因此 在 级数 0, 1 上不一致收 敛 . 机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结yo x说明:11nnn xxS )()(xS 10 x,0 1x,1 2n4n10n30n)1,1()
6、(xS任意正 对 数 r 0, 欲使,nr 只要 ,lnlnrn 因此取 ,lnlnrN 只要 ,Nn ,)( nn rxr必有 即 在 级数 0, r 上一致收 敛 .机 目 上 下 返回 束 动 录 页 页 结维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 用一致收 定 判 的一致收 性敛 义 别级数 敛 时, 需求出 ),()( xSxSn 及 往往比 困这 较 难. 下面介 一 方便的绍 个较判 法别 .若函数项级数 )(1xunn在 区间 I 上 足满 :;),2,1()()1 naxu nn,)21收敛正项级数 nna函 则 数项级数 )(1xunn在 区间 I 上一致收 敛 .介 目 上 下 返回 束 简 录 页 页 结
