1、函数的奇偶性教学设计方案 课标分析 要 正确理解奇函数和偶函数的定义，掌握其形成过程，突破点要选准，难点突破要自然。不能生搬硬套使学生不能理解和接受。 教材分析 本 节在教材的三角函数中才涉及，但又在教材中起着一个重要的位置，所以有必要在本节讲解，这样提前也是必要的。特别是与单调性和对称性的紧密联系更有必要在这里涉及。 教学目标 1.使学生了解奇偶性的概念 ,会利用定义判断简单函数的奇偶性 . 2.在奇偶性概念形成过程中 ,培养学生 的观察 ,归纳能力 ,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法 . 3.在学生感受数学美的同时 ,激发学习的兴趣 ,培养学生乐于求索的精神 . 教学重点 ,难点 重
2、点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断 难点是对概念的认识 教学用具 投影仪 教学方法 引导发现法 教学过程 一 . 引入新课 前面我们已经 学习 了函数的单调性 ,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质 ,今天我们 来 研究函数的另一个性质 .我们 将从对称的角度来研究函数的性质 . 对称 对 大家都很熟悉 ,在数学中 有 很多对称的问题 ,大家回忆 一下在我们所学的内容中 ,特别是函数中有没有对称 的 问题呢 ? (学生可能会举出一些数值上的对称问题 , 等 ,也可能会举出一些图象的对称问题 ,此时可以引导学生把函数具体化 ,如 和 等 .并用投影让学生观察 ) 结合图象
3、提出这些对称是我们在初中研究的关于 轴对称和关于原点对称问题 ,而我们还研究过关于 轴对称的问题 ,你们举的例子中还没有这样的 ,能举出一个函数图象关于 轴对称的吗 ? 学生经过思考 ,能找出原因 ,由于函数是映射 ,一个 只能对一个 ,而不能有两个不同的 ,故函数的图象不可能关于 轴对称 .从而 提出我们今天将 重点研究图象关于 轴对称和关于原点对称的问题 ,从形的特征中找出它们在数值上的规律 . 二 . 讲解新课 2.函数的奇偶性 (板书 ) 从刚才的图象中选出 ,用 投影仪 打出 ,指出这是关于 轴对称的图象 ,然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢 ?(由学生回答 ,是利用图象的翻
4、折后重合来判定 )此时教师明确提出研究方向 :今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律 ? 学生开始可能只会用语言去描述 :自变量互为相反数 ,函数值相等 .教师可引导学生先把它们具体化 ,再用数学符号表示 .(借助 投影仪 演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢 ?(最后 发现这样的 是不存在的 ) 从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立 .最后让学生用完整的语言给出定义 ,不准确的地方教师 给 以提示或调整 . (1) 偶函数的定义 :如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做
5、偶函数 .(板书 ) (给出定义后可让学生举几个例子 ,如 等以检验一下对概念的初步认识 ) 提出新问题 :函数图象关于原点对称 ,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢 ?(同时打出 或 的图象让学生观察研究 ) 用 类比的方法 ,很快得出结论 ,再让学生给出奇函数的定义 . (2) 奇 函数的定义 : 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数 .(板书 ) (由于在定义形成时已 经有了一定的认识 ,故可以先作判断 ,在判断中再加深认识 ) 例 1. 判断下列函数的奇偶性 (板书 ) (1) ; (2) ; (3) ; ; (5) ; (6) . (要求学生口答 ,选
6、出 1-2 个题说过程 ) 解 : (1) 是奇函数 .(2) 是偶函数 . (3) , 是偶函数 . 前三个题做完 ,教师做一次小结 ,对 奇偶性 的 判断 ,只需验证 与 之间的关系 ,但对你们的回答我不满意 ,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半 ,另一半没有作答 ,以第 (1)为例 ,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢 ? 学生思考 后 可以解决问题，指出只要举出一个反例说明 与 不等 .如即可说明它不是偶函数 .(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要 ) 从 (4)题开始 ,学生的答案会有不同 ,让学生先讨论 ,教师再做评述 .即第 (4)题中表面成立的 = 不能
7、经受任意性的考验 ,当 时 ,由于 ,故 不存在 ,更谈不上与 相等了 ,由于任意性被破坏 ,所以它不能是奇偶性 . 教师由此引导学生 ,通过刚才这个题目 ,你发现在判断中需要注意些什么 ?(若学生发现不了定义域的特征 ,教师可再从定义启发 ,在定义域中有 1,就必有 -1,有 -2,就必有 2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原点对称 ,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件 ? 可以用 (6)辅助说明充分性不成立 ,用 (5)说明必要性 成立 ,得出结论 . (3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件 .(板书 ) 由学生小结判断奇偶性的步骤
8、之后 ,教师再提出新的问题 :在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数 ,有是偶函数不是奇函数 ,也有既不是奇函数也不是偶函数 ,那么有没有这样的函数 ,它既是奇函数也是偶函数呢 ?若有 ,举例说明 . 教师给出 函数 .然后继续提问 :是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢 ?能证明吗 ? 例 2. 已知函数 既是奇函数也是偶函数 ,求证 : .(板书 ) (试由学生来完成 ) 证明 : 既是奇函数也是偶函数 , = ,且 , = . ,即 . 证后 ,教师请学生记住结论的同时 ,追问这样的函数应有多少个呢 ?学生开始可能认为只有一个 ,经教师 提示可发现 , 只是解析式的特征 ,若
9、改变函数的定义域 ,如 , , , ,它们显然是不同的函数 ,但它们都是既是奇函数也是偶函数 .由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类 (4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类 : 奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既是奇函数又是偶函数。 例 3. 判断下列函数的奇偶性 (板书 ) (1) ; (2) ; (3) . 由学生回答 ,不完整之处教师补充 并板书 . 解 : (1)当 时 , 为奇函数 ,当 时 , 既不是奇函数也不是偶函数 . (2)当 时 , 既是奇函数也是偶函数 ,当 时 , 是偶函数 . (3) 当 时 , 于是 , 当 时 , ,于是 = , 综上 是奇函数 . 教师小结
10、(1)(2)注意分类讨论的使用 ,(3)是分段函数 ,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性 ,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻 划 ,因此必须 均有 成立 ,二者缺一不可 . 三 . 小结 1. 奇偶性 的概念 2. 判断中注意的问题 和步骤。 四 . 作业 略 五 . 板书设计 2.函数的奇偶性 例 1. 例 3. (1) 偶函数定义 (2) 奇函数定义 (3) 定义域关于原点对称是函数 例 2. 小结 具备奇偶性的必要条件 (4)函数按奇偶性分类分四类 课外 探究活动 (1) 定义域为 的任意函数 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和 ,你能试证明之吗 ? (2) 判断函数 在 上的
11、单调性 ,并加以证明 . 在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题 : 设 为三角形的三条边 ,求证 : . 教学目标设计说明 我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数的图象关于原点或Y 轴对称的特征来判断它的奇偶性。反过来，我们若已知一个函数的奇偶性，也可以推断它在整个定义域的图象和性质。可见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。所以，先不给出定义而是给出一组图形，让学生们在观察中寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识，为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，再提示学生“具备此种
12、特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？”然后引导学生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括 能力。最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解。 教学反思： 1 不分学生还不能明白和记住判断函数的奇偶性的主要依据，特别是有些函数需要简化的才能判定更有问题。 2 部分学生还不能从数和形两个角度来理解函数的奇偶性。 3 应加强学生的练习和老师的讲评使学生更进一步对本节知识的掌握，并在以后的学习中注重对图象的认识、理解和应用。 4 培养学生的概括能力。 教学流程图 引入新课 学生总结出 图形特征 投影 教师引导下得出偶函数定义 圆形特征 课堂小结 结束 学生练习 例题分析 学生总结图形另一特征 投影 教师引导下得出奇函数定义 圆形特征 开始
