1、 第 1 页 共 12 页 2014 年北京市西城区 高三数学 查缺补漏 试题 2014.5 一、选择题 1. 已知 23log log 1xy，那么 （ ） （ A） 3xy （ B） 3yx （ C） 3 yx （ D） 3 xy 2. （理） 在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 2,12xtyt （ t 为参数） ，设直线 l 的倾斜角为 ，则 tan （ ） （ A） 2 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 5 3. “ 0, 0ab”是“曲线 221ax by为椭圆 ”的（ ） （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充
2、分也不必要条件 4. 设函数 ( ) sinf x x 的导函数为 ()fx ，那么要得到函数 ()fx的图象，只需将 ()fx 的图象（ ） （ A）向左平移 4 个单位 （ B）向右平移 4 个单位 （ C）向左平移 2 个 单位 （ D）向右平移 2 个单位 5. 已知函数 ( ) lo g (2 ) 1mf x x （ 0m ，且 1m ）的图象恒过点 P ，且点 P 在直线1( 0 , 0 )a x b y a b 上 ，那么 ab 的 （ ） （ A）最大值为 14 （ B）最小值为 14 （ C）最大值为 12 （ D）最小值为 12 6. 在约束条件1,0,2 axyxy下，设
3、目标函数 z x y 的最大值为 M，则当 46a 时， M 的取值范围是（ ） （ A） 3,5 （ B） 2,4 （ C） 1,4 （ D） 2,5 第 2 页 共 12 页 7. 某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且正（主）视图如图所示，则此三棱锥的表面积为 （ ） （ A） 6 2 3 （ B） 4+42 （ C） 6+42 （ D） 4+42 ， 或 6 2 3 8. 根据市场调查，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 nS （万件）近似地满足2( 2 1 5 )90n nS n n= - -( 1, 2, ,12)n = L ，按此预测，在本年内，需求超过
4、 1.5 万件的月份是（ ） （ A） 4 月， 5 月 （ B） 5 月， 6 月 （ C） 6 月， 7 月 （ D） 7 月， 8 月 二、填空题 9. 函数 1 , 0 ,()3 e , 0xxxfx xx 的最小值为 _；函数 ()fx与直线 4y 的交点个数是 _个 10. （理） 在直角坐标系 xOy 中， 点 M 为 曲线 C ： 3 cos ,sinxy （ 为参数） 上一点 . O 为坐标 原点 ，则 |OM|的最小值为 _. 11. 函数 1 ( ) s i n ( ) ( 0 )26f x x , x R 的部分图象如右图所示 . 设 M，N 是图象上的最高点， P 是
5、图象上的最低点，若 PMN 为等腰直角三角形，则 _. 12. ABCD 的顶点 A ， B ， C 在 正方形网格中的位置如图所示 . 则 cos( )BC_. 13. （理）如图，在 PAC 中， 2PA ， 90PAC， 30PCA.以 AC为直径的圆交 PC 于点 D ， PB 为圆的切线， B 为切点，则 PD _；BCBD _ M N P O x y A B C 正 (主 )视图 2 2 A P B D C 第 3 页 共 12 页 14. （理） 湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似构成四边形的四个顶点，若要搭 3 座桥将它们连接起来，则不同的建桥方案有 _种 . 15. 数列 n
6、a 中，1 12a，1 11 nn naa a （其中 *nN ），则 6a _；使得 1 2 3 72na a a a 成立的 n的最小值是 . 16. 粗细都是 1cm 一组圆环依次相扣，悬 挂在某处，最上面的圆环外直径是 20cm，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少 1cm.那么 从上向下数第 3 个环底部与第1 个环顶部距离是 ； 记从上向下数第 n 个环底部与第一个环顶部距离是 na ，则 na 三、解答题 17. 已知函数 2( ) ( 2 c o s s i n 2 ) t a n 1f x x x x . （ 1） 求函数 ()fx的定义域和最小正周期 ； （ 2） 当
7、 3 ,08x 时，求函数 ()fx的最大值和最小值 . 18. 已知向量 ( cos ,sin )xxa ， (cos ,cos )xxb ，设 ( ) 1,f x x Ra b + . （ 1）求函数 ()fx的最小正周期 ； （ 2） 求函数 ()fx的单调 减 区间 . 第 4 页 共 12 页 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于 A ， B 两点 且 点 A ， B 的纵坐标 分别为 35 ， 1213 （ 1） 若 将点 B 沿单位圆逆时针旋转 2 到达 C 点 , 求 点 C 的坐标； （ 2） 求 tan( ) 的值 . 20. （
8、理）甲、乙两人参加 A， B， C 三个科目的学业水平考试，他们考试成绩合格的概率如下表 . 设每人每 个科目考试相互独立 . （ 1）求甲、乙两人中恰好有 1 人科目 B 考试不合格的概率； （ 2） 求甲、乙两人中至少有 1 人三个科目考试成绩都 合格的概率； （ 3）设甲参加学业水平考试成绩合格的科目数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 科目 A 科目 B 科目 C 甲 23 12 34 乙 35 13 12 第 5 页 共 12 页 21. 高三年级某班的所有 考生全部参加了 “ 语文 ” 和 “ 数学 ” 两 个科目的 学业水平 考试 . 其中 “ 语文 ” 和 “ 数
9、学 ” 的两科考试成绩的数据统计如下图 （按 0,10 ， 10,20 ， , 8 0 , 9 0 ), 9 0 ,1 0 0 分 组） 所示 ，其中“ 数学 ” 科目的成绩 在 70,80 分数段 的考生有 16 人 . （ 1）求该班考生 “语文 ”科目成绩在 90,100 分数段的人数； （ 2） 根据数据合理估计 该班考生 “数学 ”科目成绩的平均分 ，并说明理由 ； （ 3） 若要从 “数学 ”科目 分数在 50,60 和 90,100 之间的试卷中任取两份分析学生的 答题情况，在抽取的试卷中，求 至少有一份分数在 50,60 之间的概率 ； 22. 已知 等比数列 na 的前 n
10、项和为 nS ， *1 2 1( )nna S n N. 求 1a 的值； 设 等差数列 nb 的 公差 0d ， 前 n 项和 nT 满足 3 15T ， 且 11ab ， 2 2 3 3,a b a b成等比数列，求 nT . 图 2 分数 50 60 70 80 90 100 0.005 0.010 0.020 0.025 0.040 0 频率组距 数学 图 1 分数 50 60 70 80 90 100 0.0025 0.025 0.030 0 频率组距 语文 a 第 6 页 共 12 页 23. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 7 12 6a a a ， 20
11、110S . 求数列 na 的通项 na ； 若等比数列 nb 的前 n 项和为 nT ， 1 4b ，公比 12q ，且对任意的 *,mnN ，都有 nmS T t，求实数 t的取值范围 . 24. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=6, BC= 32 , 沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折起，使点 A 移至点 P，且点 P在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上 . 求证： BC PD ； 判断 PDC 是否为直角三角形，并证明 ； （文）求三棱锥 M BCD 的体积 . （理）若 M 为 PC 的 中点，求二面角 B DM C的大小 . 25. （文） 如图，四棱锥 P ABC
12、D- 的底面 ABCD 是圆内接四边形（记此圆为 W），且 PA 平面 ABCD ， . 当 AC 是圆 W 的直径时，求证：平面 PBC 平面 PAB； 当 BD 是圆 W 的直 径时， 2PA BD=， 3AD CD=， 求四棱锥 P ABCD- 的体积； 在 的条件下，证明：直线 AB 不可能与平面 PCD 平行 . B D O C A B D C P M P A D C B 第 7 页 共 12 页 26. （理）如图，四棱锥 P ABCD- 的底面 ABCD 是圆内接四边形（记 此圆为 W）， PA 平面 ABCD ，2PA BD=， 3AD CD=. （ 1）当 AC 是圆 W 的
13、直径时，求证：平面 PBC 平面 PAB； （ 2）当 BD 是圆 W 的直径时，求二面角 A PD C-的余弦值； （ 3）在（ 2）的条件下，判断棱 PA 上是否存在一点 Q，使得 /BQ 平面 PCD？ 若存在，求出 AQ 的长，若不存在，说明理由 . 27. 已知函数 f ( x ) = x - sin x - 13 ax 3，其中 aR . （ 1）当 a=1 时，求函数 g(x) = f (x) + sin x的极值； （ 2） 当 0a 时， 证 明 ： 函数 f(x) 在 R 是 单调 函数 . 28. 设椭圆 22143xy, 点 ,BC分别是其上下顶点 , 点 A 在椭圆上
14、且位于第一象限 . 直线 AB 交 x 轴于点 M , 直线 AC 交 x 轴于点 N . （ 1）若 0AB AM, 求 A 点坐标 ; （ 2）若 AMN 的面积大于 OCN 的面积， 求直线 AB 的斜率的取值范围 . P A D C B 第 8 页 共 12 页 29. （理）设 12,FF分别为椭圆 22: 162xyW 的左、右焦点，斜率为 ( 0)kk 直线 l 经过右焦点 2F ，且与椭圆W 相交于 ,AB两点 . （ 1）如果线段 2FB的中点在 y 轴上，求直线 l 的方程； （ 2）如果 1ABF 为直角三角形，求直线 l 的斜率 k . 30. 椭圆22 0:1()xy
15、W ab ab 的 焦距为 4， 短轴 长 为 2， O 为坐标原点 . （ 1） 求椭圆 W 的 方程 ； （ 2） 设 ,ABC 是椭圆 W 上 的 三个点 ， 判断 四 边形 OABC 能否为 矩形 ？并 说明理由 . 第 9 页 共 12 页 高三数学 查缺补漏试 题 参考答案 2014.5 一、选择题 1. A 2. B 3. B 4.D 5. A 6. A 7. D 8. D 二、填空题 9. 2， 3 10. 2 11. 12. 262613. 1， 2 14. 16 15. 3 ， 238 16. 53 2 37 42n nna （ 1 18n ） 三、解答题 17. （ 1）
16、 定义域 | ,xxR 且 + , 2x k kZ. 周期 . （ 2） 最小值 ( ) 28f ；最大值 3( ) 08f . 18. （ 1） 周期 . （ 2） 3 7 , ( )88k k k Z. 19. （ 1） 12 5( , )13 13C . （ 2） 3356 . 20. （ 1） 12 . （ 2） 1340 . （ 3） 23()12EX . 21. （ 1） 5 人 . （ 2） 76.5 . （ 3） 35 . 22. （ 1） 1 1a . （ 2） 220 5nT n n. 23. （ 1） 5nan . （ 2） 8t . 24. （ 1）略 . （ 2）是，
17、 90DPC. （ 3）（文） 26.（理） 60 . 25. （ 1）略 . （ 2） 233 . （ 3）略 . 26. （ 1）略 . （ 2） 25 . （ 3）存在， 23AQ= . 27. （ 1） 极大值 g(1)=23 ，极小值 g(-1)= -23 . （ 2）略 . 第 10 页 共 12 页 28. （ 1） 3( 3, )2A. （ 2） 11( , 0) (0 , )22k . 29. （ 1） 证明 ： 椭圆 W 的左焦点 1( 2,0)F ，右焦点为 2(2,0)F ， 因为线段 2FB的中点在 y 轴上， 所以点 B 的横坐标为 2 ， 因为 点 B 在椭圆 W
18、 上， 将 2x 代入椭圆 W 的方程，得点 B 的坐标为 6( 2, )3 . 所以直线 AB （即 l ）的方程为 2 6 2 0xy 或 2 6 2 0xy . （ 2） 解： 因为 1ABF 为直角三角形， 所以 o1 90BFA， o1 90BAF，或 o1 90ABF. 当 o1 90BFA时 ， 设直线 AB 的方程为 ( 2)y k x， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 由 221,62( 2),xyy k x 得 2 2 22(1 3 ) 1 2 1 2 6 0k x k x k ， 所以 2 2 2 2(1 2 ) 4 (1 3 ) (1 2 6 )
19、 0k k k ， 12 221213kxx k ， 212 212 613kxx k . 由 o1 90BFA，得 110F A FB， 因为 1 1 1( 2, )F A x y ， 1 2 2( 2, )F B x y ， 所以 1 1 1 2 1 2 1 22 ( ) 4F A F B x x x x y y 21 2 1 2 1 22 ( ) 4 ( 2 ) ( 2 )x x x x k x x 2 2 21 2 1 2(1 ) ( 2 2 ) ( ) 4 4k x x k x x k 22222221 2 6 1 2( 1 ) ( 2 2 ) 4 4 01 3 1 3kkk k kkk ， 解得 2323k （舍负） .
