1、常微分方程测试题 1 答案 一、 填空题（每空 5 分） 1 2、 z= 3 4、 5、 二、 计算题（每题 10 分） 1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= ,算得 代入原方程得到 ，这是线性方程，求得它的通解为 z= 带回原来的变量 y，得到 = 或者 ，这就是原方程的解。 此外方程还有解 y=0. 2、解： 积分： 故通解为： 3、解：齐线性方程 的特征方程为 ， ，故通解为 不是特征根，所以方程有形如 把 代回原方程 于是原方程通解为 4、解 三、证明题（每题 15 分） 1、证明：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示
2、 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为 det =-t 故 是基解矩阵。 2、证明：（ 1） , (t- t )是基解矩阵。 （ 2）由于 为方程 x =Ax 的解矩阵，所以 (t )也是 x =Ax 的解矩阵，而当 t= t 时， (t ) (t )=E, (t- t )= （ 0） =E. 故由解的存在唯一性定理，得(t )= (t- t ) 常微分方程测试题 2 答案 一、填空题： （每小题 3 分， 10 3=30 分） 1. 2. 3 3. 4. 充分条件 5. 平面 6. 无 7. 1 8. 9. 10. 解组线性无关 二 . 求下列微
3、分方程的通解：（每小题 8分， 8 5=40分） 1、解：将方程变形为 （ 2 分） 令 ，于是得 （ 2 分） 时， ，积分得 从而 （ 2 分） 另外 ，即 也是原方程的解 （ 2 分） 2、解：由于 （ 3 分） 方程为恰当方程，分项组合可得 （ 2 分） 故原方程的通解为 （ 3 分） 3、解：齐线性方程 的特征方程为 特征根 （ 2 分） 对于方程 ，因为 不是特征根， 故有特解 （ 3 分） 代入非齐次方程，可得 . 所以原方程的解为 （ 3 分） 4、解：线性方程 的特征方程 ,故特征根 （ 2 分） 对于 ，因为 是一重特征根， 故有特解 , 代入 ，可得 （ 2 分） 对于
4、，因为 不是特征根， 故有特解 ， 代入原方程 ，可得 （ 2 分） 所以原方程的解为 （ 2 分） 5、解 :当 时，方程两边乘以 ，则方程变为 （ 2 分） ， 即 于是 有 ，即 （ 3 分） 故原方程的通解为 另外 也是原方程的解 . （ 3 分） 三、解： , ， 解的存在区间为 （ 3 分） 即 令 （ 4 分） 又 误差估计为： （ 3 分） 四、解：方程组的特征方程为 特征根为 ， （ 2 分） 对应的特征向量应满足 可解得 类似 对应的特征向量分量为 （ 3 分） 原方程组的的基解矩阵为 （ 2 分） （ 3 分） 五、证明题： (10 分 ) 证明：设 ， 是方程的两个解，
5、则它们在 上有定义，其朗斯基行列式为 （ 3 分） 由已知条件，得 （ 2 分） 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义，存在不全为零的常数 ，使得 ， 由于 ，可知 否则，若 ，则有 ，而 ，则 ，这与 ， 线性相关矛盾 （ 3 分） 故 （ 2 分） 常微分方程测试题 3 答案 1辨别题 （ 1）一阶，非线性 （ 2）一阶，非线性 （ 3）四阶，线性 （ 4）三阶，非线性 （ 5）二阶，非线性 （ 6）一阶，非线性 2填空题 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 3单选题 （ 1） B （ 2） C （ 3） A （ 4） B （ 5） . A （ 6） . B 7. A 4. 计算题 （ 1）解 当 时，分离变量得 等式两端积分得 即通解为 （ 2）解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + （ 3）解 由于 ，所以原方程是全微分方程 取 ，原方程的通积分为 即 （ 4） . 令 ，则 ，代入原方程，得 ， 当 时，分离变量，再积分，得 ， 即： 5. 计算题
