1、本资料从网上收集整理第 1 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理难点 18 不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场() 已知 a0，b0，且 a+b=1.求证：(a+ )(b+ ) .1425案例探究例 1证明不等式 (nN *)21321命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目.知识依托：本题
2、是一个与自然数 n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从 n=k 到 n=k+1 的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立；(2)假设 n=k(k 1)时，不等式成立，即 1+ 2 ，k132,121)(1)(23kkk则当 n=k+1 时，不等式成立.综合(1)、(
3、2)得：当 nN *时，都有 1+ 2 .n132另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法： ,1121212: .,0),()(1)(12 kkkkkk k又 如本资料从网上收集整理第 2 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理.122kk证法二：对任意 kN *，都有： .2)1(2)3(2)1(21321, nnnkk 因 此证法三：设 f(n)= ),(n那么对任意 kN * 都有： 01)()1(2)(11)(2)1( 2kkkkfff(k+1)f( k)因此，对任意 nN * 都有 f(n)f (n1)f(1)=10， .21321例 2求使 a
4、 (x0，y0) 恒成立的 a 的最小值.yx命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围，此时我们习惯是将 x、y与 cos 、sin 来对应进行换元，即令 =cos ， =sin (0 )，这样也得xy2asin +cos ，但是这种换元是错误的 .其原因是：(1)缩小了 x、y 的范围；(2) 这样换
5、元相当于本题又增加了“x、y =1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，af(x )，则 amin=f(x)max；若 af(x)，则 amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2 a 2(x+y)，即 2 ( a21)(x+y)， x，y0，x +y2 ， 本资料从网上收集整理第 3 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主
6、zh82 整理当且仅当 x=y 时， 中有等号成立.比较、得 a 的最小值满足 a21=1，a 2=2，a= (因 a0) ，a 的最小值是 .2解法二：设 .yxyxyxyxu 21)(x0，y0，x +y2 (当 x=y 时“= ”成立)， 1， 的最大值是 1.2x从而可知，u 的最大值为 ，21又由已知，得 au，a 的最小值为 .解法三：y0，原不等式可化为 +1a ，yx1设 =tan ， (0， ).yx2tan +1a ；即 tan +1asec 1tnasin +cos = sin( + )， 24又sin( + )的最大值为 1(此时 = ).4由式可知 a 的最小值为 .
7、2锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商 )、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的
8、变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至本资料从网上收集整理第 4 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题1.()已知 x、y 是正变数，a、b 是正常数，且 =1，x+y 的最小值为ba_. 2.() 设正数 a、b、c 、 d 满足 a+d=b+c，且|ad| |bc| ，则
9、 ad 与 bc 的大小关系是_.3.() 若 mn，pq，且( pm )(pn) 0，(qm)(qn)0，则 m、n、p、q的大小顺序是_.二、解答题4.()已知 a，b，c 为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a 2+b2+c2 31(2) 6235.()已知 x，y ，zR，且 x+y+z=1，x 2+y2+z2= ，证明：1x，y，z 0， 326.()证明下列不等式：(1)若 x，y，zR，a，b，cR +，则 z22(xy +yz+zx)cbaycxab22(2)若 x，y，zR +，且 x+y+z=xyz，则 2( )17.()已知 i，m、n 是正整数，且 1i m n.(1
10、)证明：n iA m iA ；(2)证明：(1+m) n(1+n) m8.()若 a0，b0，a 3+b3=2，求证：a+b2，ab1.参考答案难点磁场证法一：(分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+4 0，即证 4(ab)233( ab)+80，即证 ab或 ab8.41a0，b0，a+b=1 ，ab8 不可能成立1=a+b2 ，ab ，从而得证.41本资料从网上收集整理第 5 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理证法二：(均值代换法)设 a= +t1，b= +t2.2a+b=1，a0，b0，t 1+t2=0，| t1| ，|
11、 t2| 1.4251641236541)5()41)(41( )2(1414(2)(2)(4 22 22221t tttt tttttba显然当且仅当 t=0，即 a=b= 时，等号成立.2证法三：(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2 ，aba4145)1( 04)8(183251)( 22 ba ababb证法四：(综合法)a+b=1， a0，b0，a+ b2 ，ab .a414251)(1 625)(169)(4312 abab5)(ba即证法五：(三角代换法） a0，b0，a+b=1 ，故令 a=sin2 ，b=cos 2 ， (0 ， )2本资料从网上收集整理第 6 页 共 1
12、0 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理2.425)1( 425sin)(2sin164.3142si4,si sin16)(ncosconco)i1(si)1(22 24 22baba即 得 歼灭难点训练一、1.解析：令 =cos2 ， =sin2 ，则xyx=asec2 ，y=bc sc2 ，x +y=asec2 +bcsc2 =a+b+atan2 +bcot2 a+b+2.bbottn答案：a+b+22.解析：由 0|ad| |bc| (ad) 2( bc )2 (a+b)24ad(b+c) 24bca+d=b+ c， 4ad4bc，故 adbc.答案：adbc3.
13、解析：把 p、q 看成变量，则 mpn，m qn.答案：mpqn二、4.(1)证法一：a 2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c21)31= 3a 2+3b2+3c2( a+b+c)21= 3a 2+3b2+3c2a 2b 2c 22ab2ac2bc= (ab) 2+(bc) 2+(ca) 20 a 2+b2+c21 31证法二：(a+b+ c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca 2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a 2+b2+c2)(a+b+c )2=1 a 2+b2+c2证法三： a 2+b2+c2333ca 2+b2+c2 1证法四：设 a= + ，b
14、= + ，c= + .331a+b+c=1 ， + + =0本资料从网上收集整理第 7 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理a 2+b2+c2=( + )2+( + )2+( + )23131= + ( + + )+ 2+ 2+ 2= + 2+ 2+ 23131a 2+b2+c2 629)(323, ,213)(:)( cbacbaaa同 理 证 法 一 原不等式成立.证法二： 3)2()()(3 cb6)(3cba 6232c原不等式成立.5.证法一：由 x+y+z=1，x 2+y2+z2= ，得 x2+y2+(1xy) 2= ，整理成关于 y 的一元二1
15、1次方程得：2y22(1 x) y+2x22x+ =0，yR ，故 04(1x) 242(2x 22x + )0，得 0x ，x 0， 13232同理可得 y，z0， 3证法二：设 x= +x，y = +y，z= +z，则 x+y+z=0，131于是 =( +x) 2+( +y) 2+( +z) 23= +x 2+y 2+z 2+ (x+y+z)1= +x 2+y 2+z 2 +x 2+ = + x 2331231故 x 2 ，x ， ，x 0， ，同理 y，z0， 9 32本资料从网上收集整理第 8 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理证法三：设 x、y
16、、z 三数中若有负数，不妨设 x0，则 x20， =x2+y2+z2x 2+1 ，矛盾.2132)1()(2xzyx、y、z 三数中若有最大者大于 ，不妨设 x ，则 =x2+y2+z2x 2+ =x2+31)(zy= x2x +)1(31= x(x )+ ；矛盾.故 x、y、z0， 3 0)()()()()()( 2242 )( )()( )2(:)2 )(0)()( )2()22:)1.(6222333 222 222222 yxzyzxyxzyz xzx xyxyzy zxyz zxzxyzcbayxacb aczxzyzcbyxyaxb xac所 证 不 等 式 等 介 于证 明证 明
17、 上式显然成立，原不等式得证.7.证明：(1)对于 1i m ，且 A =m(mi+1)，i，ninmii 1,A 同 理由于 mn，对于整数 k=1， 2，i1，有 ，mk所以 iminii A,即(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+C m+C m2+C mn，1n本资料从网上收集整理第 9 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理(1+n)m=1+C n+C n2+C nm，1m由(1)知 miA niA (1i m ，而 C =)im!A,!inim iCinn iCim(1mn )m 0C =n0C =1，mC =nC =mn，m 2C n 2C ，
18、1 mmmC n mC ，m m+1C 0，m nC 0，1+C m+C m2+C mn1+C n+C2mn2+C nm，1 1即(1+m) n(1+n) m成立.8.证法一：因 a0，b0，a 3+b3=2，所以(a+b)32 3=a3+b3+3a2b+3ab28=3a 2b+3ab26=3ab( a+b)2=3 ab(a+b)( a3+b3)= 3(a+b)(ab) 20.即(a+ b)32 3，又 a+b0，所以 a+b2，因为 2 a+b2，所以 ab1.证法二：设 a、b 为方程 x2mx+n=0 的两根，则 ，abnm因为 a0，b0，所以 m 0，n0，且 =m24n0 因为 2
19、=a3+b3=(a+b)(a2ab+b 2)=(a+b)(a+ b)23ab=m(m 23n)所以 n= 2将代入得 m24( )0，3即 0，所以m 3+80，即 m2，所以 a+b 2，38由 2m 得 4m 2，又 m24n，所以 44n，即 n1，所以 ab1.证法三：因 a0，b0，a 3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(2abab)=ab( a+b)于是有 63ab(a+b)，从而 83ab(a+ b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以 a+b2，(下略）证法四：因为 )0，8)(3824)(22 baab所以对任意非负实数 a、b，有 3)(本资料从网上收集整理第 10 页 共 10 页 中国教育在线社区论坛：http:/版主 zh82 整理因为 a0，b0，a 3+b3=2，所以 1= ，23ba3)( 1，即 a+b2，(以下略）2证法五：假设 a+b2，则a3+b3=(a+b)(a2ab+ b2)=(a+b)(a+b) 23ab(a+b) ab 2ab，所以 ab1，又 a3+b3=(a+b)a 2ab+b 2=(a+b) (a+b) 23ab2(2 23ab)因为 a3+b3=2，所以 22(43ab)，因此 ab1，前后矛盾，故 a+b2( 以下略)
