1、 最专业的 K12教研交流平台 顺义区 2015-2016 学年度 第一学期期末质量监测 高二数学（理科）试卷 一、选择题：本大题供 8 小题，每小题 5 分，供 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 直线 023 yx 的倾斜角是 A. 6B. 3C. 23 D. 56 2. 直线 l 过点 (2, 2)P ，且与直线 032 yx 垂直，则直线 l 的方程为 A. 2 2 0xy B. 2 6 0xy C. 2 6 0xy D. 2 5 0xy 3. 一个几何 体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为 12 , 则该几何体的体积是 A. 4 B. 12
2、 C. 16 D. 48 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线 m 平面 ,直线 n 内 ,那么 m n ; B. 如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，那么平面 平面 C. 如果平面 外的一条直线 m 垂直于平面 内的两条相交直线，那么 m D. 如果平面 平面 ，任取直线 m ，那么必有 m 5. 如果直线 013 yax 与直线 01)21( ayxa 平行 .那么 a 等于 A. -1 B. 31 C. 3 D. -1 或 31 最专业的 K12教研交流平台 6. 方程 )0(02 22 ayaxx 表示的圆 A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于直线
3、xy 轴对称 D. 关于直线 xy 轴对称 7. 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E ， F 分别是 1AA ， AD 的中点，则 1CD 与 EF 所成角为 A. 0 B. 45 C. 60 D. 90 8. 如果过点 M (-2,0)的直线 l 与椭圆 12 22 yx 有公共点 ,那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是 A. 22,( B. ),22 C. 21,21 D. 22,22 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 已知双曲线的标准方程为 1164 22 yx ，则该双曲线的焦点坐标为， _渐近线方程为 _. 10.
4、 已知向量 )1,3,2( a ， )2,5( yb 且 ab ，则 y =_. 11. 已知点 ),2,( nmA ，点 )24,6,5(B 和向量 ( 3,4,12)a 且 AB a .则点 A 的坐标为 _. 12. 直线 0632 yx 与坐标轴所围成的三角形的面积为 _. 13. 抛物线 xy 82 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 _. 14. 已知点 )0,2(A ，点 )3,0(B ，点 C 在圆 122 yx 上，当 ABC 的面积最小时，点 C 的坐标为_. 最专业的 K12教研交流平台 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
5、 . 15. （本小题共 13 分） 如图，在三棱锥 A BCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD ， E ， F ,G 分别是 AC ， AD ,BC的中点 . 求证：（ I） AB 平面 EFG ; （ II）平面 EFG 平面 ABC . 16. （本小题共 13 分） 已知斜率为 2 的直线 l 被圆 0241422 yyx 所截得的弦长为 45, 求直线 l 的方程 . 17. （本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAB 平面 ABCD ， AB CD ， AB AD ， 2CD AB ，E 为 PA 的中点 , M 在 PD 上 (点 M 与 D
6、P, 两点不重合 ). （ I） 求证： PBAD ； （ II）若 PDPM ,则当 为何值时 , 平面 BEM 平面 PAB ? （ III）在（ II）的条件下 ,求证： PC 平面 BEM . 最专业的 K12教研交流平台 18. （本小题共 13 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，平面 PCD 底面 ABCD ， PD CD ，PD CD , E 为 PC 的中点 . （ I） 求证： AC PB ； （ II） 求二面角 P -BD -E 的余弦值 . 19. （本小题共 14 分） 已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 2 2y px ( 0)p
7、 的焦点 F ，且与抛物线相交于 A ， B 两点，4AB . （ I） 求 p 的值； （ II） 设经过点 B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线 2 2y px 的准线于点 D ，求证： DOA ,三点共线 (O 为坐标原点 ). 20. （本小题共 13 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyG a bab 的左焦点为 F ,离心率为 33 ，过点 )1,0(M 且与 x 轴平行的直线被椭圆 G 截得的线段长为 6 . （ I） 求椭圆 G 的方程； （ II）设动点 P 在椭圆 G 上（ P 不是顶点），若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP (O 是坐标原点 )的斜率的取值范
8、围 . 最专业的 K12教研交流平台 顺义区 2015-2016 学年度第一学期期末质量检测 高二数学（理科）试卷参考答案 2016.1 一、 ABB C BA CD 二、 9.（ 52 ,0）， 2yx 10. -4 11. (1,-2,0) 12. 3 13. (-4, 24 ) 14. （ 13133 ， 13132 ） 说明： 1.第 9 题，答对一个空给 3 分。 2.每个空正负只写对一个的给 2 分。 三、 15.证明（ I）在三棱锥 A-BCD 中， E， G 分别是 AC， BC 的中点 . 所以 AB EG 3 分 因为 EG 平面 EFG， AB 平面 EFG 所以 AB平
9、面 EFG 5 分 （ II）因为 AB平面 BCD， CD 平面 BCD 所以 AB CD 7 分 又 BC CD 且 AB BC=B 所以 CD平面 ABC 10 分 又 E ， F ,分别是 AC ， AD ,的中点 所以 ,CD EF 所以 EF平面 ABC 12 分 又 EF 平面 EFG , 所以 ,平面 平面 EFG 平面 ABC . 13 分 16.解 :将圆的方程写成标准形式 ,得 25)7( 22 yx , 所以 ,圆心坐标是 (0,-7),半径长 r=5. 3 分 因 为直线 l 被圆所截得的弦长是 45， 所以，弦心距为 5)2 54(5 22 ， 即圆心到所求直线 l
10、 的距离为 5 . 6 分 因为直线 l 的斜率为 2,所以可设所求直线 l 的方 程为 bxy 2 , 即 02 byx . 最专业的 K12教研交流平台 所以圆心到直线 l 的距离为57 bd , 9 分 因此 , 557 b解得 2b ,或 12b . 11 分 所以 ,所求直线 l 的方程为 22 xy ,或 122 xy . 即 022 yx ,或 0122 yx . 13 分 17（ I）证明：因为平面 PAB 平面 ABCD , AB AD ,平面 PAB 平面 ABCD =AB , 所以 , AD 平面 PAB . 2 分 又 PB 平面 PAB , 所以 , PBAD . 4
11、 分 （ II）解：由（ I）可知 , AD 平面 PAB ,又 E 为 PA 的中点 , 当 M 为 PD 的中点时 , EM AD , 所以 , EM 平面 PAB , 7 分 因为 EM 平面 BEM , 所以 , 平面 BEM 平面 PAB . 此时 , 21 . 9 分 （ III）设 CD 的中点为 F，连接 BF， FM 由（ II）可知， M 为 PD 的中点 . 所以 ,FM PC. 由题可知 AB 12 CD, 即 AB FD. 所以 FM AB 所以 ABFD 为平行四边形 . 11 分 所以 AD BF 12 分 又 EM AD 所以 ,EM BF. 所以 , BEMF
12、 共面 . 所以， FM 平面 BEM， 最专业的 K12教研交流平台 又 PC 平面 BEM, 所以 PC平面 BEM 14 分 18.（ I）证明：因为平面 PCD底面 ABCD， PD 垂直于这两个平面的交线 CD 所以 PD底面 ABCD 2 分 又 AC 底面 ABCD 所以 PD AC 3 分 因为底面 ABCD 是正方形 所以 AC BD 又 PD BD=D 所以 AC平面 PBD 5 分 因为 PB 平面 PBD 所以 , AC PB . 6 分 （ II）解：由（ I）可知 PD AD， 由题可知 PD CD， AD CD. 如图所示建立空间直角坐标系， 点 D 为坐标原点，
13、 设 DC=1 依题意得 A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， 1） 因为底面 ABCD 是正方形， 所以点 B 的坐标为（ 1， 1， 0） 8 分 因为 , E 为 PC 的中点 , 所以 ,点 E 的坐标为 )21,21,0( . )21,21,1( BE . 设平面 BDE 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 00BEnBDn 即021210zyxyx 令 1z ,得 1,1 yx . 最专业的 K12教研交流平台 所以 , )1,1,1( n 10 分 又平面 PBD 的一个法向量为 (1, 1,0)CA 12 分 所以 ,36,c o s
14、 CAn CAnCAn. 由题知二面角 P BD E 为锐角 所以二面角 P BD E 的余弦值为 36 . 13 分 19.（ I）由题意可知，抛物线 2 2y px ( 0)p 的焦点坐标为 )0,2(pF ， 准线方程为 2px . 所以 ,直线 l 的方程为 2pxy 2 分 由pxypxy222消 y 并整理，得 043 22 ppxx 3 分 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 则 pxx 321 ， 又 421 pxxBFAFAB , 所以 , 1,43 ppp 6 分 （ II）由（ I）可知 ,抛物线的方程为 xy 22 . 设点 B 的坐标为 ),2(0
15、20 yy ,又焦点 )0,21(F , 当 21220 y 时 , 直线 AB 的斜率为122120020200 yyyyk . 所以 ,直线 AB 的方程为 )21(120 20 0 xy yy,即112 20 020 0 y yxy yy最专业的 K12教研交流平台 9 分 由xyyyxyyy21122200200 消 x 并整理 ,得0110202 yyyy 所以 , 121 yy 又 02 yy ,所以 ,011yy , 201 21yx 即 )1,21(020 yyA . 11 分 由题意可知 ,点 D 的坐标为 ),21(0y, 所以 , OA的斜率为 0200 2211yyyk
16、OA , OD 的斜率为00 221yykOD , 即 ODOA kk 所以 , DOA , 三点共线 . 13 分 当 21220 y 时 , 2AB 不合题意 ,舍去 . 14 分 20.解（ I）由已知 ,点 )1,26( 在椭圆 G 上 , 又离心率为 33 ， 因此33112322222accbaba,解得.2,3ba 所以椭圆 G 的方程为 123 22 yx . 4 分 （ II）由（ I）可知 , 椭圆 G 的方程为 123 22 yx .所以 ,点 F 的坐标为 (-1,0). 设点 P 的坐标为 00( , )xy 00( 1, 0)xx ，直线 FP 的斜率为 k , 最
17、专业的 K12教研交流平台 则直线 FP 的方程 为 ( 1)y k x, 由方程组 002200( 1),1,32y k xxy 消去 0y , 并整理得 2 2 2002 3 ( 1) 6x k x . 又由已知 ,得 202062 23( 1)xk x ,解得 03 12 x 或 010x . 7 分 设直线 OP 的斜率为 m ,则直线 OP 的方程为 y mx . 由方程组 002200,1,32y mxxy 消去 0y , 并整理得 220223m x. 8 分 (1)当0 3( , 1)2x 时，有 00( 1) 0y k x ，因此， 00 0ym x， 于是，20223m x，得 )332,32(m . (2) 当 0 ( 1,0)x 时，有 00( 1) 0y k x ，因此， 00 0ym x, 于是，20223m x ，得 )332,( m . 12 分 综上 , 直线 OP 的斜率的取值范围是 )3 32,32()3 32,( . 13 分
