盛骤浙江大学概率论与数理统计第四版课后习题答案.doc

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1、 1 完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学 ) 浙大第四版(高等教育出版社) 第一章 概率论的基本概念 1.一 写出下列随机试验的样本空间 ( 1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)( 一 1) nnnnoS 1 0 01, , n 表小班人数 ( 3)生产产品直到得到 10 件正品,记录生产产品的总件数。( 一 2) S=10, 11, 12, n, ( 4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查 出二个次品就停止检查,或检查 4 个产品就停止检查,记录检查的结果。 查出合格品记为“ 1”,查出次品记为“ 0”,

2、连续出现两个“ 0”就停止检查,或查满 4 次才停止检查。( 一 (3)) S=00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.二 设 A, B, C 为三事件,用 A, B, C 的运算关系表示下列事件。 ( 1) A 发生, B 与 C 不发生。 表示为: CBA 或 A (AB+AC)或 A (B C) ( 2) A, B 都发生,而 C 不发生。 表示为: CAB 或 AB ABC 或 AB C ( 3) A, B, C 中至少有一个发生 表示为: A+B+C 2 ( 4) A, B, C 都

3、发生, 表示为: ABC ( 5) A, B, C 都不发生, 表示为: CBA 或 S (A+B+C)或 CBA ( 6) A, B, C 中不多于一个发生,即 A, B, C 中至少有两个同时不发生 相当于 CACBBA , 中至少有一个发生。 故 表示为: CACBBA 。 ( 7) A, B, C 中不多于二个发生。 相当于: CBA , 中至少有一个发生。故 表示为: ABCCBA 或 ( 8) A, B, C 中至少有二个发生。 相当于: AB, BC, AC 中至少有一个发生。故 表示为: AB+BC+AC 6.三 设 A, B 是两事件且 P (A)=0.6, P (B)=0.

4、7. 问 (1)在什么条件下 P (AB)取到最大值,最大值是多少?( 2)在什么条件下 P (AB)取 到最小值,最小值是多少? 解:由 P (A) = 0.6, P (B) = 0.7 即知 AB,(否则 AB = 依互斥事件加法定理, P(A B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 与 P (A B) 1 矛盾) . 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B) P (A B) (*) ( 1)从 0 P(AB) P(A)知,当 AB=A,即 A B 时 P(AB)取到最大值,最大值为 P(AB)=P(A)=0.6, ( 2)从 (*)式知,当 A B=S 时,

5、 P(AB)取最小值,最小值 为 P(AB)=0.6+0.7 1=0.3 。 7.四 设 A, B, C 是三事件,且 0)()(,41)()()( BCPABPCPBPAP , 81)( ACP . 求 A,B, C 至少有一个发生的概率。 解: P (A, B, C 至少有一个发生 )=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+ P(ABC)= 8508143 3 8.五 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词,若从 26 个 英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少? 记 A 表“能排成上述单词

6、” 从 26 个任选两个来排列,排法有 226A 种。每种排法等可能。 字典中的二个不同字母组成的单词: 55 个 1301155)( 226 AAP9. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。(设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0, 1, 2 9) 记 A 表“后四个数全不同” 后四个数的排法有 104 种,每种排法等可能。 后四个数全 不同的排法有 410A 504.010)( 4410 AAP10.六 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章,任意选 3 人记录其纪念章的号码。 ( 1)求最小的号码为 5 的概率。 记“三人纪念章

7、的最小号码为 5”为事件 A 10 人中任选 3 人为一组:选法有 310种,且每种选法等可能。 又事件 A 相当于:有一人号码为 5,其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有 251 121310251)( AP ( 2)求最大的号码为 5 的概率。 记“三人中最大的号码为 5”为事件 B,同上 10 人中任选 3 人,选法有 310 种,且每种选法等可能,又事件 B 相当于:有一人号码为 5,其余 2 人号码小于 5,选法有 241 种 4 201310241)( BP 11.七 某油漆公司发出 17 桶油漆,其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶,红漆 3 桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意

8、将这些标笺重新贴, 问一个定货 4 桶白漆, 3 桶黑漆和 2 桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少? 记所求事件为 A。 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 917C 种,且每种取法等可能。 取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 2334410 CCC 故 2 4 3 12 5 2)( 617 2334410 C CCCAP12.八 在 1500 个产品中有 400 个次品, 1100 个正品,任意取 200 个。 ( 1)求恰有 90 个次品的概率。 记“恰有 90 个次品”为事件 A 在 1500 个产品中任取 200 个, 取法有 2001500种,每种取法等可能。 200

9、 个产品恰有 90 个次品,取法有 110110090400种 2001500110110090400)( AP ( 2)至少有 2 个次品的概率。 记: A 表“至少有 2 个次品” B0 表“不含有次品”, B1 表“只含有一个次品”,同上, 200 个产品不含次品,取法有 2001100 种, 200个产品含一个次品,取法有 19911001400种 10 BBA 且 B0, B1 互不相容。 5 2 0 01 5 0 01 9 91 1 0 014 0 02 0 01 5 0 02 0 01 1 0 01)()(1)(1)(10 BPBPAPAP13.九 从 5 双不同鞋子中任取 4

10、只, 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少? 记 A 表“ 4 只全中至少有两支配成一对” 则 A 表“ 4 只人不配对” 从 10 只中任取 4 只,取法有 410种,每种取法等可能。 要 4 只都不配对,可在 5 双中任取 4 双,再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有 4245 21132181)(1)(2182)(410445APAPCCAP15.十一 将三个球随机地放入 4 个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是 1, 2, 3,的概率各为多少? 记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中,放法有 43 种,每种放法等可能 对 A1:

11、必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法 4 3 2 种。 (选排列:好比 3 个球在 4 个位置做排列 ) 1664 234)( 31 AP 对 A2:必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。放法有 3423 C 种。 (从 3 个球中选 2 个球,选法有 23C ,再将此两个球放入一个杯中,选法有 4 种,最后将剩余的1 球放入其余的一个杯中,选法有 3 种。 1694 34)( 3232 CAP 对 A3:必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。 (只需从 4 个杯中选 1 个杯子,放入此 3 个球,选法有6 4 种 ) 16144)( 33 AP16.十二 50 个铆钉随机地取来用在 1

12、0 个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用 3 只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在 一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少? 记 A 表“ 10 个部件中有一个部件强度太弱”。 法一:用古典概率作: 把随机试验 E 看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完 10 个部件(在三个钉的一组中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序) 对 E:铆法有 323344347350 CCCC 种,每种装法等可能 对 A:三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有 32334434733 CCCC 10 种 00051.01960 110)( 323347350

13、 32334434733 CCC CCCCAP 法二:用古典概 率作 把试验 E 看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。(铆钉要计先后次序) 对 E:铆法有 350A 种,每种铆法等可能 对 A:三支次钉必须铆在“ 1, 2, 3”位置上或“ 4, 5, 6”位置上,或“ 28, 29, 30”位置上。这种铆法有 274733274733274733274733 10 AAAAAAAA 种 0 0 0 5 1.01 9 6 0110)( 3050 274733 A AAAP 17.十三 已知 )|(,5.0)(,4.0)(,3.0)( BABPBAPBPA

14、P 求。 解一: BAABBBAASABPBPAPAP )(,6.0)(1)(,7.0)(1)( 注意)( BAAB . 故有 P (AB)=P (A) P (A B )=0.7 0.5=0.2。 再由加法定理, 7 P (A B )= P (A)+ P ( B ) P (AB )=0.7+0.6 0.5=0.8 于是 25.08.0 2.0)( )()( )()|( BAP ABPBAP BABPBABP25.05.06.07.051)()()()()()()|(51)|()()(72)|(757.05.0)|()|(0705)|()()(: BAPBPAPBAPBAPBBBAPBABPAB

15、PAPABPABPABPABPABPAPBAP定义故 解二 由已知18.十四 )(,21)|(,31)|(,41)( BAPBAPABPAP 求。 解:由 61)()( 314121)( )|()()( )()|( BPBPBP ABPAPBP ABPBAP 有定义 由已知条件 由乘法公式,得 121)|()()( ABPAPABP 由加法公式,得 311216141)()()()( ABPBPAPBAP 19.十五 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率(用两种方法)。 解:(方法一)(在缩小的样本空间 SB中求 P(A|B),即将事件 B 作为样本空间,求事件

16、 A 发生的概率)。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组( x, y)( x, y=1,2,3,4,5,6)并且满足 x,+y=7,则样本空间为 S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) 每种结果( x, y)等可能。 A=掷二骰子,点数和为 7 时,其中有一颗为 1 点。故 3162)( AP 方法二:(用公式 )( )()|( BP ABPBAP S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能 A=“掷两颗骰子, x, y 中有一个为“ 1”点”, B=“掷两颗骰子,

17、x,+y=7”。则22 62)(,6166)( ABPBP, 8 故31626162)()()|( 2 BPABPBAP 20.十六 据以往资料表明,某一 3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律: P(A)=P孩子得病 =0.6,P (B|A)=P母亲得病 |孩子得病 =0.5, P (C|AB)=P父亲得病 |母亲及孩子得病 =0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解:所求概率为 P (ABC )(注意:由于“母病”,“孩病”,“ 父病”都是随机事件,这里不是求 P (C |AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (C |AB)=1 P (C |

18、AB)=1 0.4=0.6. 从而 P (ABC )= P (AB) P(C |AB)=0.30.6=0.18. 21.十七 已知 10 只晶体管中有 2 只次品,在其中取二次,每次随机地 取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。 ( 1)二只都是正品(记为事件 A) 法一:用组合做 在 10 只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种取法等可能。 62.04528)( 21028 CCAP 法二:用排列做 在 10 只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个排列等可能。 4528)( 21028 AAAP法三:用事件的运算和概率计算法则来作。 记 A1, A2 分别表第一

19、、二次取得正品。 452897108)|()()()( 1221 AAPAPAAPAP ( 2)二只都是次品(记为事件 B) 法一: 451)( 21022 CCBP法二: 451)( 21022 AABP9 法三: 45191102)|()()()(12121 AAPAPAAPBP( 3)一只是正品,一只是次品(记为事件 C) 法一: 4516)( 210 1218 C CCCP法二: 4516)()( 210 221218 A ACCCP法三: 互斥与且 21212121 )()( AAAAAAAAPCP 4516910 8292108)|()()|()( 121121 AAPAPAAPA

20、P( 4)第二次取出的是次品(记为事件 D) 法一:因为要注意第一、第二次的 顺序。不能用组合作, 法二: 51)( 210 1219 A AADP法三: 互斥与且 21212121 )()( AAAAAAAAPDP 519110292108)|()()|()(121121 AAPAPAAPAP22.十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? 记 H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第 i 次拨号能接通。 注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。 10381981099110

21、9101)|()|()()|()()()( 2131211211321211AAAPAAPAPAAPAPAPHPAAAAAAH 三种情况互斥如果已知最后一个数字是奇数(记为事件 B)问题变为在 B 已发生的条件下,求 H 再发生的概率。 )|)|( 321211 BAAABAABPABHP 10 )|()|()|()|()|()|( 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP 53314354415451 24.十九 设有甲、乙二袋,甲袋中装有 n 只白球 m 只红球,乙袋中装有 N 只白球 M 只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋

22、中取到)白球的概率是多少?(此为第三版 19 题 (1)) 记 A1, A2 分别表“从甲袋 中取得白球,红球放入乙袋” 再记 B 表“再从乙袋中取得白球”。 B=A1B+A2B 且 A1, A2 互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) = 111 MN Nmn mMN Nmn n 十九 (2) 第一只盒子装有 5 只红球, 4 只白球;第二只盒子装有 4 只红球, 5 只白球。先从第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。 记 C1 为“从第一盒子中取得 2 只红球”。 C2 为“从第一盒子中取得 2 只白

23、球”。 C3 为“从第一盒子中取得 1 只红球, 1 只白球”, D 为“从第二盒子中取得白球”,显然 C1, C2, C3 两两互斥, C1 C2 C3=S,由全概率公式,有 P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 9953116117115 29141529242925 C CCCCCC26.二十一 已知男人中有 5%是色盲患者,女人中有 0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解: A1=男人 , A2=女人 , B=色盲 ,显然 A1 A2=S, A1 A2= 由已知条件知 %25.0)|(%,5)|(21)()(2121 ABPABPAPAP 由贝叶斯公式,有

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