ch3-1第一讲 微分中值定理.doc

第十六讲 授课题目： 3.1 微分中值定理 教学目的与要求：1.理解三个中值定理及几何意义;2.应用中值定理证明等式、不等式及有关命题. 教学重点与难点：重点：三个中值定理的证明难点：三个中值定理的应用 讲授内容： 一、罗尔定理首先，观察图1. 设曲线弧 是函数的图形.图1这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即可以发现曲线的最高点或最低点C处, 曲线有水平的切线. 如果记C点的横坐标为，那么就有.现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat）引理.费马（Fermat）引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 （或），那么.证明 不妨设时， （如果，可以类似地证明）.于是，对于,有 ，从而当时， ；当时， .根据函数在可导的条件及极限的保号性，便得到