1、 1 2017 年高考文 科数学模拟试题（ 1） （时间 :120 分钟 ,满分 :150 分） 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 1设全集 *N4U x x ，集合 1,4A ， 2,4B ， 则 )( BACU （ ） A 1,2,3 B 1,2,4 C 1,4,3 D 2,4,3 2 设 1zi （ i 是虚数单位），则 z2 =（ ） A i B 2i C 1i D 0 3 cos160 sin10 -sin20 cos10 =（ ） A 32B 32C 12D 124函数 xxxf cos)( 在点 0, 0f 处的切线
2、斜率是（ ） A 0 B -1 C 1 D 22 5已知函数 1 cos2xf x x，则 fx在 0,2 上的零点的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6 按如下的程序框图，若输出结果为 273，则判断框？处应补充的条件为（ ） A 7i B 7i C 9i D 9i 7 设双曲线 221xyab的一条渐近线为 2yx ，且一个焦点与抛 物线 214yx的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A 225 514xyB 225514yxC 225 514 yxD 225514xy8正项等比数列 na 中的 1 4031,aa 是函数 321 4 6 33f x x x x 的极值点，则
3、 20166log a （ ） A 1 B 2 C 2 D 1 9 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A 23B 43C 83D 2 开 始 结 束是否1i 0S 3iSS 2ii? S输 出2 10已知函数 4f x xx， 2xg x a， 若 3,211x， 2 2,3x 使得 12f x g x ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1a B 1a C 0a D 0a 11已知椭圆 22 10xy abab 的左右焦点分别为 1F 、 2F ，过点 2F 的直线与椭圆交于 ,AB两点，若
4、1FAB是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 22B 23 C 52 D 63 12已知函数 22 2 , 02 , 0x x xfx x x x ，若关于 x 的不等式 0)()( 2 xafxf 恰有 1 个整数解，则实数 a 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 5 D 8 第 卷（非选择题 共 90 分） 本卷包含必考题和选考题两部分，第 13-第 21 题为必考题，每个题目考生都必须作答第 22-24 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13函数 12)( xxf 的定义域是 。 14若不等式 22
5、2xy所表示的平面区域为 M ，不等式组 0026xyxyyx表示的平面区域为 N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率为 。 15 ABC 的三个内角为 ,ABC ，若 3 c o s s in 7ta n123 s in c o sAA ，则 Atan = 。 16已知向量 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 0)25()25( ，则 的最大值是_。 三、解 答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 中， 2a =5，前 4 项和 284S 。 （）求数列 na 的通项公式
6、； （）若 1 nnnba ，求数列 nb 的前 2n 项和 nT2 。 3 18（本小题满分 12 分） 为了整顿道路交通秩序 ， 某地考虑对行人闯红灯进行处罚 ， 为了更好地了解市民的态度 ， 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查 ， 当不处罚时 ， 有 80 人会闯红灯 ， 处罚时 ， 得到如下数据 ： 处罚金额 x (单位 ： 元 ) 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率 。 ( )当罚金定为 10 元时 ， 行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少 ? ( )将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类 ： A 类市民在罚
7、金不超过 10 元时就会改正行为 ； B 类是其他市民 ， 现对 A 类和 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷 ， 则前两位均为 B 类市民的概率是多少 ? 19（本小题满分 12 分） 如图，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 所在的平面 互相垂直， 90BA D AD C ，12AB AD CD ， BE DF 。 （）若 M 为 EA 中点，求证： AC 平面 MDF ； （）若 AB=2，求四棱锥 E-ABCD 的体积。 E FD CA BM4 20（本小题满分 12 分） 已知点 1,0M ， 1,0N ， 曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的
8、3 倍。 （）求曲线 E 的方程； （）已知 0m ，设直线 1 : 1 0l x my 交曲线 E 于 ,AC两点，直线 2 :0l mx y m 交曲线 E 于 ,BD两点，,CD两点均在 x 轴下方。当 CD 的斜率为 1 时，求直线 CD 的方程。 21（本小题满分 12 分） 设函数 21 ln2f x x m x， 2 1g x x m x ， 0m 。 （）求函数 fx的单调区间； （）当 1m 时，讨论函数 fx与 gx图象的交点个数。 5 请考生在 22-24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑把答案填在答题卡
9、上 22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， BAC 的平分线与 BC 和 ABC 的外接圆分别相交于 D 和 E ，延长 AC 交过 ,DEC 的三点的圆于点 F 。 （）求证： EC EF ； （）若 2ED ， 3EF ，求 ACAF 的值。 23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程为32212xtyt ，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos4。以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系。 （）求曲线 2C 的直角坐标方程； （）求曲线 2C 上的动点 M 到曲线 1C 的距离的最大值。 24（本
10、小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f x x x 。 （）解不等式 1fx ； （）当 0x 时，函数 2 1 0ax xg x ax的最小值总大于函数 fx，试求实数 a 的取值范围。 AB E FCD6 2017 年高考文 科数学模拟试题（ 1） 参考答 案 一、选择题 A C C C C B C B A C D D 二、填空题 13. | 0 ;xx 14. ;24 15. 1; 16. 13.2 来源 :学 .科 .网 Z.X.X.K 三、解答题（共 70 分） 17.解： 由已知条件 :21415,434 2 8 ,2 a a dS a d 2 分 1 1,
11、4. ad 4 分 1 1 4 3 .na a n d n 6 分 由可得 ( 1 ) ( 1 ) 4 3nnnnb a n 8 分 2 1 5 9 1 3 1 7 . . . . . . 8 3 4 4 .nT n n n 12 分 18.解： 设“当罚金定为 10 元时，闯红灯的市民改正行为”为事件 A ， 2 分 则 40 1 .200 5pA 4 分 当罚金定为 10 元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低 15 . 6 分 由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人，故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出两人， 设从 A 类市民抽出的两人分别为 1A 、 2A ， 设从
12、B 类市民抽出的两人分别为 1B 、 2B . 设从“ A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷”为事件 M ， 8 分 则事件 M 中首先抽出 1A 的事件 有： 1 2 1 2, , ,A A B B ， 1 2 2 1,A A B B ， 1 1 2 2, , , ,A B A B 1 1 2 2, , ,A B B A ， 1 2 2 1,A B A B ， 1 2 1 2, , ,A B B A 共 6 种 . 同理首先抽出 2A 、 1B 、 2B 的事件也各有 6 种 . 故 事件 M 共有 4 6 24 种 . 10 分 设从“抽取 4 人中前两位均为
13、B 类市民”为事件 N ， 则事件 N 有 1 2 1 2, , ,B B A A ， 1 2 2 1,B B A A ， 2 1 1 2,B B A A ， 2 1 2 1, , ,B B A A . 41.24 6PN 7 抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是 16 . 12 分 19. 证明：设 EC 与 DF 交于点 N ，连结 MN ， 在 矩形 CDEF 中， 点 N 为 EC 中点， 因为 M 为 EA 中点，所以 MN AC ， 又因为 AC 平面 MDF ， MN 平面 MDF ， 所以 AC 平面 MDF . 4 分 解：取 CD 中点为 G ，连结 ,BGEG ，
14、 平面 CDEF 平面 ABCD ， 平面 CDEF 平面 ABCD CD ， AD 平面 ABCD ， AD CD ， 所以 AD 平面 CDEF ，同理 ED 平面 ABCD ， 7 分 所以， ED 的长即为 四棱锥 E ABCD 的高， 8 分 在 梯形 ABCD 中 1 , / /2A B C D D G A B D G ， 所以四边形 ABGD 是平行四边形， /BG AD ， 所以 BG 平面 CDEF ， 又因为 DF 平面 CDEF ，所以 BG DF ，又 BE DF ， BE BG B ， 所以 DF 平面 BEG ， DF EG . 10 分 注意到 Rt DEG Rt
15、 EFD，所以 2 8DE DG EF ， 22DE ， 所以 1 423E A B C D A B C DV S E D . 12 分 来源 :学科 网 ZX XK 20. 解：设 曲线 E 上任意一 点坐标为 (, )xy ， 由题意， 2 2 2 2( 1 ) 3 ( 1 )x y x y ， 2 分 整理得 22 4 1 0x y x ，即 22( 2) 3xy 为所求 . 4 分 解：由题知 12ll ，且两条直线均恒过点 (1,0)N ， 6 分 设曲线 E 的圆心为 E ，则 (2,0)E ，线段 CD 的中点为 P ， 则直线 EP ： 2yx ,设直线 CD ： y x t
16、， 由 2,yxy x t ，解得点 22( , )ttP ， 8 分 由 圆的 几何性质， 221| | | | | | | |2N P C D E D E P ， 9 分 而 2 2 222| | ( 1 ) ( )ttNP ， 2| | 3ED ， 22| 2 | | ( )2tEP ， 来源 :学科网 解之 得 0t ，或 3t ， 10 分 所以直线 CD 的方程为 yx ，或 3yx . 12 分 8 21. 解：函数 ()fx的定义 域为 (0, ) ， ( ) ( )() x m x mfxx ， 2 分 当 0 xm 时， ( ) 0fx ，函数 ()fx的单调递减， 当 x
17、m 时， ( ) 0fx ，函数 ()fx的单调递增 . 综上： 函数 ()fx的单调增区间是 ( , )m ，减区间是 (0, )m . 5 分 解：令 21( ) ( ) ( ) ( 1 ) l n , 02F x f x g x x m x m x x ， 问题等价于求函数 ()Fx的零点个数， 6 分 ( 1)( )() x x mFx x ， 当 1m 时， ( ) 0Fx ， 函数 ()Fx为减函数， 注意到 3(1) 02F ， (4) ln 4 0F ，所以 ()Fx有唯一零点； 8 分 当 1m 时， 01x或 xm 时 ( ) 0Fx ， 1 xm 时 ( ) 0Fx ，
18、所以 函数 ()Fx在 (0,1) 和 ( , )m 单 调递减，在 (1, )m 单调递增， 注意到 1(1) 02Fm ， ( 2 2 ) ln ( 2 2 ) 0F m m m ， 所以 ()Fx有唯一零点； 11 分 综上，函数 ()Fx有唯一零点，即两函数图象总有一个交点 . 12 分 22. 证明： 因为 E C F C A E C E A C A E C B A ， E F C C D A B A E C B A ， AE 平分 BAC ， 所以 ECF EFC ，所以 EC EF . 4分 解：因为 E C D B A E E A C ， CEA DEC ， 所以 CEA DE
19、C， 6 分 即 2,CE D E ECEAEA CE D E， 由知， 3EC EF，所以 92EA ， 8 分 所以 45() 4A C A F A D A E A E D E A E . 10 分 23.解：（） 2 2 c os 2 c os si n 4 ， 2 分 即 2 2 c os si n ，可得22 2 2 0x y x y ， 故 2C的直角坐标方程为 221 1 2xy . 5 分 9 （） 1C的直角坐标方程为3 2 0xy ， 由（ ）知曲线 2是以(1,1)为圆心的圆，且 圆心到直线 1C的距离 221 3 2 33213d ， 8 分 所以动点 M到曲线 1C的距离的最大值为3 2 22. 10 分 24. 解： （ ） 当 2x 时，原不等式可化为 2 1 1xx ，此时不成立； 当 12x 时 ，原不等式可化为 2 1 1xx ，即 10x ， 当 1x 时，原不等式可化为 2 1 1xx ,即 1x ， 3 分 原不等式的解集是 |0xx 5 分 （） 因为 1( ) 1 2 1g x ax ax ，当且仅当 ax a 时 “=” 成立， 所以 min( ) 2 1g x a， -7 分 1 2 , 0 2 ,() 3 , 2xxfx x ，所以 ( ) 3,1)fx ， -9 分 2 1 1a ,即 1a 为所求 -10 分
