《复变函数》第四章习题全解钟玉泉版.doc

第四章 解析函数的幂级数表示法（一）1.解:(1)其部分和数列 由交错级数收敛性判别及极限运算法则知存在,设为,又有 由此得知,因此级数收敛,但非绝对收敛. (2),可知原级数绝对收敛. (3)由于,故原级数发散.2.解:(1) (2) (3)3.证明:(1)如果,则,则级数的收敛半径为 (2)由(1)可证其收敛半径为. (3)由(1)可证其收敛半径为.4.证明:因为收敛,而当时, ,因此级数在上绝对收敛且一致收敛.5.解:(1)因为时,所以当时,有 (2)因为,而 在平面解析,所以 逐项积分得 (3)因为 如果,则为可去奇点,可补充定义被积函数,于是上式收敛范围为,合于逐项积分条件,所以 (4) (5)因为从而6.解:因为所以7.解:(1) = (2),再由公式 (3),结合 (4)由于的支点