1、 新东方网（中考）频道 新东方网（中考）频道 http:/ 中考复习 44 圆的有关概念和性质 知识考点： 1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系； 2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念； 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。 精典例题： 【例 1】在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心， 5 为半径作 O，已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 A（ 3， 4）， B（ 3， 3）， C（ 4， 10 ）。试判断 A、 B、 C 三点与O 的位置关系。 分析： 要判断 点与圆的位置关系就是要比较
2、点到圆心的距离与半径的大小关系。 解： OA 543 22 OA 523)3()3( 22 OB 526)10(4 22 OC 点 A在 O 上，点 B在 O 内，点 C 在 O 外。 【例 2】如图， ABC 中， A 700， O 截 ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则 BOC 。 分析： 由于 O 截 ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则点 O 到三边的距离也相等，即 O 是 ABC 角平分线的交点，问题就容 易解决了。 解：作 OD BC 于 D， OE AC 于 E， OF AB 于 F，则 OD OE OF O 为 ABC 角平分线的交点 A 700 ABC ACB 1100
3、 OBC OCB 21 1100 550 BOC 1800 550 1250 【例 3】如图 1，在 O 中， AB 2CD，那么（ ） A、 CDAB 2 B、 CDAB 2 C、 CDAB 2 D、 AB 与 CD2 的大小关系不能确定 例 2 图 OF EDCBA新东方网（中考）频道 新东方网（中考）频道 http:/ 分析： 如图 1，把 CD2 作出来，变成一段弧，然后比较 CD2 与 AB 的大小。 解：如图 1，作 CDDE ，则 CDCE 2 在 CDE中， CD DE CE 2CD CE AB 2CD AB CE CEAB ，即 CDAB 2 例 3 图 1 OEDCBA变式
4、图 OEDCBAyx问题图 OCBAM变式： 如图，在 O 中， CDAB 2 ，问 AB 与 2CD 的大小关系？ 略解：取 AB 的中点 E，则 CDBEAB AB BE CD 在 AEB中， AE BE AB 2CD AB，即 AB 2CD 探索与创新： 【问题】已知点 M（ p ， q ）在抛物线 12 xy 上，若以 M 为圆心的圆与 x 轴有两个交点 A、 B，且 A、 B 两点的横坐标是关于 x 的方程 022 qpxx 的两根（如上图）。 （ 1）当 M在抛物线上运动时， M在 x 轴上截得的弦长是否变化？为什么？ （ 2）若 M与 x 轴的两个交点和抛物线的顶点 C 构成一个
5、等腰三角形，试求 p 、 q 的值。 分析： （ 1）设 A、 B两点的横坐标分别是 1x 、 2x ，由根与系数的关系知 pxx 221 ，qxx 21 ，那么： qpxxxxxxxxAB 22122122121 24)()(，新东方网（中考）频道 新东方网（中考）频道 http:/ 又因为 M 在抛物线 12 xy 上，所以 12 pq 。故 AB 2，即 M 在 x 轴上截得的弦长不变。 （ 2） C（ 0， 1）， 122 xBC ， 121 xAC 当 AC BC，即 21 xx 时， 0p ， 1q ； 当 AC AB时， 4121 x ， 31 x ， 31p ， 323q 或
6、13p ，323q 当 BC AB 时， 32 x ， 13p ， 323q 或 13p ，323q 跟踪训练： 一、选择题： 1、两个圆的圆心都是 O，半径分别为 1r 、 2r ，且 1r OA 2r ，那么点 A在（ ） A、 1r 内 B、 2r 外 C、 1r 外， 2r 内 D、 1r 内， 2r 外 2、一个点到圆的最小距离为 4cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是（ ） A、 2.5 cm或 6.5 cm B、 2.5 cm C、 6.5 cm D、 5 cm 或 13cm 3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角 形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角
7、三角形 D、不能确定 4、如图， AB为 O 的一固定直径，它把 O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 CD AB， OCD 的平分线交 O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A、 B两点）上移动时，点 P（ ） A、到 CD 的距离保持不变 B、位置不变 C、等分 DB D、随 C 点移动而移动 二、填空题： 1、若 d 为 O 的直径， m 为 O 的一条弦长，则 d 与 m 的大小关系是 。 2、 ABC 的三边分别为 5 cm、 12 cm、 13 cm，则 ABC 的外心和垂心的距离是 。 3、如图， O 中两弦 AB CD， AB、 CD 相交于 E， ON CD
8、于 N， OM AB于 M，连结 OM、 ON、 MN，则 MNE与 NME的大小关系是 MNE NME。 第 4 题图 PODCBA新东方网（中考）频道 新东方网（中考）频道 http:/ 第 3 题图 NMOEDCBA第 4 题图 FOE DCBA4、如图， O 中，半径 CO 垂直于直径 AB， D 为 OC 的中点，过 D 作弦 EF AB，则CBE 。 5、在半径为 1 的 O 中，弦 AB、 AC 的长分别为 2 和 3 ，则 BAC 的度数为 。 三、计算或证明： 1、如图， AB 的度数为 900，点 C 和点 D 将 AB 三等分，半径 OC、 OD 分别 和弦 AB交于 E
9、、 F。求证： AE CD FB。 第 1 题图 FOEDCBA第 2 题图 QPODCBA第 3 题图 MODCBA2、如图，在 O 中，两弦 AB 与 CD 的中点分别是 P、 Q，且 CDAB ，连结 PQ，求证： APQ CQP。 3、如图，在 O 中，两弦 AC、 BD 垂直相交于 M，若 AB 6， CD 8，求 O 的半径。 4、如图，已知 A、 B、 C、 D 四点顺次在 O 上，且 BDAB ， BM AC 于 M，求证： AM DC CM。 新东方网（中考）频道 新东方网（中考）频道 http:/ 第 4 题图 MODCBA跟踪训练参考答案 一、选择题： CABB 二、填空
10、题： 1、 d m ； 2、 6.5cm； 3、 ； 4、 300； 5、 150或 750 三、计算或证明： 1、 提示：连结 AC、 BD，先证 AC CD BD，再利用角证 AC AE， BD DF 即可； 2、 提示：连结 OP、 OQ P、 Q 是 AB、 CD 的中点， OP AB， OQ CD CDAB ， OP OQ OPQ OQP， APQ CQP 3、 提示：连结 CO 并延长交 O 于 E，连结 ED、 AE，设 O 的半径为 R，则 EDC EAC 900， 222 4REDCD 。 AC BD， AE BD， EDAB ， AB ED， 222 4RCDAB ，而 AB 6， CD 8， R 5 4、 提示：延长 DC 至 N，使 CN CM，连结 NB，则 BCN BAD BDABCA，可证得 BCN BCM， Rt BAM Rt BDN。
