1、 广东广雅中学 2014 2015 学年度上学期 高三 10 月 月考 数学 （ 理科 ） 本试卷 共 4 页， 21 小题， 满分 150 分 。 考试用时 120 分钟。 【 注意事项 】 1 答 卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上 。 2 选择题的答案一律做在答题卡上 ，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上 新的答案；不准使用铅笔和涂改液 .不
2、按以上要求作答的答案无效 。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效 。 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回 。 一、选择题 ： 本大题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 满分 40 分 . 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 2| 2 0M x Z x x , 2| 2 0 ,N x x x x R,则 MN A 0 B 0,2 C 2,0 D 2,0,2 2 若复数 1 55zi ， 2 3zi ， 则 12zz A 42i B 2i C 12i D 3 3 下列函
3、数中，在区间 (0, ) 上为增函数的是 A ln( 1)yx B 1yx C 1()2 xy D 1yxx 4 已知 31sin( )23 ，则 cos2 A 79 B 79 C 13 D 13 5 设 mn、 是两条不同的直线 ， 、 是两个不同的平面 ,下列命题中错误的是 A 若 m , /mn, /n ,则 B 若 , m , m ,则 /m C 若 m , m ,则 D 若 , m , n ,则 mn 6 巳 知 双曲线 G 的中心在坐标原点， 实 轴在 x 轴上，离心率为 52 ，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之 差 为 12，则 双曲线 G 的方程为 A 1925 22
4、yx B 1936 22 yx C 1936 22 yx D 1836 22 yx 7 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组0222xyxy 给定 若 ( , )Mx y 为 D 上的动点，点 A 的坐标为 ( 2,1) ，则 |AM 的最大值为 A 42 B 32 C 3 D 3 8 若 X 是一个集合， 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足： X 属于 ， 属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 则称 是集合 X 上的一个拓扑已知集合 X a b c ， ， ，对于下面给出的四个集合 ： a c a b c ， ， ， ， ，； b c b
5、c a b c ， ， ， ， ， ， ，； a a b a c ， ， ， ， ，； a c b c c a b c ， ， ， ， ， ， ， ， 其中是集合 X 上的拓扑的集合 的序号是 A. B. C. D. 二、填空题 ： 本大题共 7 小题 ， 考生作答 6 小题 ， 每小题 5 分 ， 满分 30 分 （一）必做题 （ 9 13 题 ） 9. 计算0 (cos 1)x dx 10 函数 ln( ) ( 0)xf x xx的单调递增区间是 11 执行如图所示的程序框图 ,若输入 n 的值为 4 ,则输出 s 的值为 _. 12 曲线 xye 过点 (0,0) 的切线方程为 13 某
6、同学为研究函数 22( ) 1 1 (1 ) ( 0 1 )f x x x x= + + + - 0 1)x 的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ， 点 P 是边 BC 上的一个动点，设 CP x= ，则 ()AP PF f x+= 请 你参考这些信息，推知 函数 ()fx的值域是 （二）选做题（ 14 15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题） 在直角坐标系中，曲线 1C 的参数方程为 2,(,xttyt 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的方程为 sin 1 ，则曲线 1C
7、和 2C 交点的直角坐标为 _ 15 (几何证明选讲选做题 )如图所示，圆 O 的直径 6AB ， C 为圆周上一点， 3BC ， 过 C 作圆的切线 l ，过 A 作 l 的 垂线 AD ，垂足为 D ，则线段 CD 的长为 第 13 题图 第 15题图 开始 输入 n 1, 1isin( 1)s s i 1ii输出 s 结束 是 否 第 11 题 ODCBAD 1C 1B 1A 1三、解答题 ： 本大题共 6 小题 ， 满分 80 分 解答须写出文字说明 、 证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数)cos ()( xAxf（ 0A,02 ）的图象与y轴的交点为)1,0
8、(，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 )2,0x和)2,2( 0 x (1)求函数(f的解析式； (2)若锐角 满足 22(2 )33f ，求)2(f的值 17.（本小题满分 12 分） 每年 5 月 17 日为国际电信日，某市电信公司 每年 在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元 . 根据以往的统计结果绘出 电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率 . (1) 求 某两人 选择同一套餐的概率； (2) 若用随机变量 X 表示 某两人 所
9、获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望 . 18.（本小题满分 14 分） 如 图 ， 在 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， 侧 面 11ADDA 底面 ABCD ，11 2D A D D，底面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 其 中 / , B C A D A B A D，2 2 2A D A B B C ， O 为 AD 中点 . (1)求证： 1 /AO 平面 1ABC ； (2)求锐 二面角 CDCA 11 的余弦值 第 16 题图 套餐 1 套餐 2 套餐 3 套餐种类频率1 / 83 / 81 / 219 （本小题满分 14 分） 已知数列 na 满
10、足 0aR ， 1 2 3 , ( 0 ,1 , 2 , )nnna a n (1)设 ,2nn nab 试用 0,an表示 nb （即求数列 nb 的通项公式） ； (2)求使得数列 na 递增的所有 oa 的值 20.（本题满分 14 分 ） 已知椭圆 22 1( 0 )xy abab 经过点 3( 3, )2 ，且椭圆的离心率 12e (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 ,AC及 ,BD， 设线段AC ， BD 的中点分别为 ,PQ求证：直线 PQ 恒过一个定点 21. （本题满分 14 分） 已知函数 2( ) lnf x x x. (
11、1)若函数 ( ) ( )g x f x ax在定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； (2)在 (1)的条件下， 且 1a ， 3( ) 3xxh x e ae， 0,ln2x ，求 ()hx 的极小值； (3)设 2( ) 2 ( ) 3F x f x x k （ k R ） ，若函数 ()Fx存在两个零点 , (0 )m n m n，且满足 02x m n，问：函数 ()Fx在 00( , ( )x F x 处的切线能否平行于 x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由 . 广东广雅中学 2014 2015 学年度上学期 高三 10 月月考 数学 （ 理科 ）试题参考 答案及评
12、分标准 命题 ： 杨志明 统审：赖淑明 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A A D B C D 二 、填空题 ： 本大题共 7 小题 ， 考生作答 6 小题 ， 每小题 5 分 ， 满分 30 分 9. 10. (0, e （或 (0,)e ） 11. 15 12. y ex 13. 5, 2 1+ 14. 1,1 15. 332一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 . 1 A.【解析】易得 2, 1,0M , 0,2N ,所以 MN 0 ,故选 A 2 C【解析】 1222 5
13、5 5 ( 1 ) ( 3 ) 5 ( 2 4 ) 123 ( 3 ) ( 3 ) 3 1z i i i i iz i i i 3 A 【解析】 B、 C 为减函数， D 为双钩函数，双钩函数在 (0, ) 上先减后增 . 4 A 解析： 31s in ( ) c o s23 ，即 1cos 3 ， 2 7c o s 2 2 c o s 1 9 5 D解析】 ABC 是正确命题 ,选 D 6 B【解析】25e， 122 a ， 6a ， 3b ，则所求 双曲线 方程为 1936 22 yx. 7 C作出可行域 D ，由图像知，当点 M 的坐标为 (0,0) 或 (0,2) 时， |AM 的最大
14、值为 3 8 D. 解 析 ： 不是拓扑，因为 a ， c ，但 ac ；是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是 拓扑，因为全集 , , X a b c ；是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足 二、填空题： 9 .解： 00 ( c o s 1 ) ( s i n ) |x d x x x 10【解析】 (0, e 221 ln 1 l n( ) 0xx xxfx ，即 1 ln 0x， ln 1 lnxe ，即0 xe . 11 15.解析：第一次循环后 : 3, 2si；第二次循环后 : 6, 3si； 第三次循环后 : 10, 4si；第四次循环后 : 15, 5si；故输出 15.
15、12 y ex ，解析：设切点为 00( , )xxe ，则切线为 00 0()xxy e e x x ，把 (0,0) 代入上式，得 0 1x ，故切线方程为 y ex 13 5, 2 1+ 解 析： 根据 图 形可 知， 当 12x= 时（点 P 在 BC 中 间 ），22m in( ) 2 1 5f x A F= = + =，当 0x= 或 1x= 时（ 点 P 在 B 点或 C 点），max( ) 2 1fx =+， ()fx的值域是 5, 2 1+ 14 1,1 .考查极坐标方程 . 212: , : 1C y x C y， 联立方程很快得出结果 15 332.解：在 Rt ABC
16、中， 6, 3AB BC，故 1sin 2BCBAC AB ，故 30BAC， 2 2 2 26 3 3 3A C A B B C .由 l 是圆 O 的切线 知， ABC ACD ，故R t A B C R t A C D， 3 3 3 3 3, 62CD A C B C A CCDB C A B A B . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16. 解：（ 1）由题意可得 2，22T即 2 4T ，21 3 分 )21cos (2)( xxf，1)0( f由21cos 且02 ，得3 5 分 函数)321cos (2)( xf 6 分
17、（ 2）由于 22(2 )33f ，即1cos 3且 为锐角，所以322sin 8 分 )2( )3sinsin3cos(cos2)3cos ( 10 分 )233 222131(2 3 61 即)2(f的值为 1 2 63 12 分 17. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力 . 解： (1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 1 1 1 1 3 3 1 38 8 2 2 8 8 3 2P . 4 分 (2) 由题意 知某两人可获得 优惠金额 X 的可能取值为 400， 500， 600， 700， 80
18、0， 1000. 1 1 1( 4 0 0 ) 8 8 6 4PX ， 12 1 3 6( 5 0 0 ) 8 8 6 4P X C 3 3 9( 6 0 0 ) 8 8 6 4PX ， 12 1 1 8( 7 0 0 ) 8 2 6 4P X C 12 1 3 2 4( 8 0 0 ) 2 8 6 4P X C ， 1 1 1 6( 1 0 0 0 ) 2 2 6 4PX 8 分 综上可得 X 的分布列为： 10 分 1 6 9 8 2 4 1 64 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 1 0 0 0 7 7 56 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4EX . 即
19、X 的数学期望 为 775. 12 分 X 400 500 600 700 800 1000 P 164 664 964 864 2464 1664 zyxODCBAD 1C 1B 1A 1A 1B 1 C 1D 1AB CDO18.(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形 ABCO 为正方形， 所以 11OC AB A B，且 11/ /OC AB A B， 2 分 故四边形 11ABCO 为平行四边形， 所以 11/AO BC 4 分 又 1AO 平面 1ABC ， 1BC 平面 1ABC ， 所以 1 /AO 平面 1ABC . 6 分 (2)因为 11 , D A D D O
20、 为 AD 的中点， 所以 1 DO AD ，又侧面 11ADDA 底面 ABCD ， 交 线 为 AD ， 故 1DO 底面ABCD 。 7 分 以 O 为原点，所 1 , , OC OD OD在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的坐标系， 则 1, 0 , 0 , 0 ,1, 0 , CD , 0 1 , 0 , 1, 0DA ， 11 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , D C D D 1 1 10 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0D A D C D C ， 8 分 设 ,m x y z 为平面 11CDDC 的一个法向量，由1 , m D C m D D，
21、得 00xyyz ， 令 1z ，则 1, 1 , 1,1,1y x m 10 分 又设 1 1 1,n x y z 为平面 11ACD 的一个法向量，由1 1 1 , n D A n D C，得 111100yzxy ，令 1 1z ， 则 111 , 1 , 1 , 1 , 1y x n ， 12 分 则 1 1 1 1c o s ,333mn ， 故所求锐二面角 CDCA 11 的余弦值为 13 14 分 注：第 2 问用几何法做的酌情给分 19 解：（ 1） 11 31,2 2 2 2nnaa 1 分 即1 31,22nnbb 变形得，1 1 3 1( ),5 2 5nnbb 3 分
22、若0 1 05a ，则 15nb 4 分 若0 1 05a ，则数列 15nb是以0 15a为首项的， 32 为公比的等比数列 5 分 故01 1 3( )( )5 5 2 nnba ，因而，01 1 3( )( )5 5 2 nnba ； 6 分 （ 2）法一： 1110112 4 ( ) ( 3 )55nnnna a a 7 分 n 为奇数时， 1110112 4 ( ) 355nnnna a a ，令 1 0nnaa， 8 分 得 110112 4 ( ) 355nna ，即 101 1 24 ( ) ( )5 5 3 na 对所有的正奇数恒成立， 9 分 因为 112()53ny 对
23、n N 单调递减，所以014( ) 05 a，即0 15a。 10 分 n 为偶数时， 1110112 4 ( ) 355nnnna a a ，令 1 0nnaa， 11 分 得 110112 4 ( ) 355a ，即 10 1 1 24( ) ( )5 5 3 na 对所有的正偶数恒成立， 12 分 因为 112()53ny 对 n N 单调递减，所以0 14( ) 05a ，即0 15a。 13 分 综上，0 15a时， 数列 na 递增 。 14 分 法二：由（ 1）知01 1 3( )( )2 5 5 2 nnna a ， 从而01 1 32 2 ( ) ( )5 5 2n n nn
24、aa 0112 )( 3)55nna ， 7 分 故102 4 0 1 3 ( ) ( ) 1 1 0 3 5 2n nnna a a ， 8 分 设040 1()35Aa ，则1 23 ( ) 1 1 0 2n nnna a A ，下面说明0 15a， 9 分 讨论： 若0 15a，则 A0,此时对充分大的奇数 n， 3 ( ) 1 02 nA ，有 1nnaa ，这与 na ，递增的要求不符； 13 分 若0 15a，则 A=0，1 2 010nnnaa ，始终有 1nnaa 。综上，0 15a。 14 分 注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。 20.解： (1)由 12ce a，
25、得 22 14ca ， 即 2 2 2 24 4 ( )a c a b ，即 2234ab 1 分 由椭圆 过点 3( 3, )2 知，223314ab 2 分 联立（ 1）、（ 2）式解得 224, 3ab。 3 分 故 椭圆的方程是 22143xy 4 分 (2)直线 PQ 恒过一个定点 4( ,0)7 5 分 证明 椭圆的右焦点为 (1,0)F ，分两种情况 1 当直线 AC 的斜率不存在时， AC : 1x ，则 BD : 0y 由椭圆的通径易得(1,0)P ，又 (0,0)Q ，此时 直线 PQ 恒过一个定点 4( ,0)7 ； 6 分 2 当直线 AC 的斜率存在时，设 AC :
26、( 1)( 0)y k x k ，则 BD ： 1 ( 1)yxk 又设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y C x y 联立方程组 22( 1),3 4 12,y k xxy 消去 y 并化简得 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k ， 8 分 所以 212 2843kxx k 21 2 1 2 2286( 2 ) ( 2 )4 3 4 3kky y k x x k kk 22243( , )4 3 4 3kkP 10 分 由题知，直线 BD 的斜率为 1k ，同理可得点2243( , )4 3 4 3kQ kk 11 分 222 2223374
27、 3 4 344 4( 1 )4 3 4 3PQkkkkkkk kkk 2 2 23 7 4()4 3 4 ( 1 ) 4 3kkyxk k k ， 12 分 即 24 (7 4 ) 4 0y k x k y 令 4 0 , 7 4 0 , 4 0y x y ，解得 4,07xy 故 直线 PQ 恒过一个定点 4( ,0)7 ； 13 分 综上可知，直线 PQ 恒过一个定点 4( ,0)7 14 分 21 （本题满分 14 分） 解： (1)2 1( ) ( ) l n , ( ) 2 .g x f x ax x x ax g x x ax 由题意，知( ) 0 , (0 , )g x x 恒
28、成立，即min1(2 )axx. 2 分 又10, 2 2 2xxx ，当且仅当22x时等号成立 . 故m in1(2 ) 2x x，所以22a. 4 分 （）由（）知，1 2 2.a令xet，则1,2t，则3( ) ( ) 3 .h x H t t at 2( ) 3 3 3 ( ) ( ) .H t t a t a t a 5 分 由( ) 0Ht ，得ta或（舍去），34(1 , 2 2 , 1 , 2 aa ， 若1 ta，则( ) 0, ( )H t H t 单调递减；()hx在(0,ln a也单调递减； 若2at，则单调递增 . 在ln ,ln2a也单调递增； 故()hx的极小值为
29、(l ) 2h a a a. 8 分 (3)法一： 设Fx在 00( , ( )x F x的切线平行于 轴，其中 2( ) 2 lnF x x x k 结合题意， 222 l n 0 ; 2 l n 0m m k n n k , 相减得 2 l n ( ) ( ) 0m m n m nn ，即22 l n ( )m m nmnn m n . 9 分 0 0 0 002( ) 2 0 , 1 ( 0 )F x x x xx ,又 022m n x , 所以2( 1 )2( )ln .1mm m n nmn m nn设(0,1)u n，2( 1 )ln 0( ( 0 , 1 ) ) .1uuuu
30、11 分 设2( 1 )ln ( ( , ) )1uy u uu ， 222 2 21 2( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) 4 ( 1 ) 0,( 1 ) ( 1 ) ( 1 )u u u u uy u u u u u u 所以函数2( 1)ln 1uyu u 在(0,1)上单调递增， 因此， 1|0uyy，即2( 1)ln 0.1uu u 也就是，2( 1)ln1mm nmnn， 13 分 所以2( 1 )2( )ln .1mm m n nmn m nn 无解 . 所以()Fx在 00( , ( )x F x处的切线不能平行于 x轴 . 14 分 法二： 分析：即证是否存在0 2mnx 使 0( ) 0Fx ，因为 0x 时 ( )y F x 单调递减，且(1) 0F ，所以即证是否存在 0 2mnx 使 0 1x 。即证否存在 ,mn使 2mn 。 证明： 2( ) 2 lnF x x x k . 2 ( 1 ) ( 1 )( ) 2 2 xxF x xxx ( ) ( )x F x F x、 、 的变化如下： x (0,1) 1 (1, ) ()Fx 0
