二次型学习指导.doc

二次型【基本要求】1.掌握理解二次型及其矩阵表示。2.会用正交变换法及配方法化二次型为标准形。3.了解掌握二次型的秩、惯性定律、二次型的正定性及其判别法。【主要内容】二次型的正、负定判断：1阶实对称矩阵A正定二次型是正定的它的正惯性指数=nA的所有特征值A的顺序主子式全大于零A合同于E。2阶实对称矩阵A负定二次型是负定的它的负惯性指数=nA的所有特征值n个顺序主子行列式的值负正相间合同矩阵：1. 设均为阶实对称矩阵，如果有阶实可逆矩阵存在，使得，则称合同于，记为2. 任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵。3. 实对称矩阵的充要条件是：二次型与有相同的正、负惯性指数；必要条件是化二次型为标准型：1 配方法2 正交变换法注：正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。【典型例题】例1 用配方法将下列二次型化为标准型，并写出所做的实可逆线性变换 (1) (2) (3) 解：(1) 令