课 时 授 课 计 划 副 页 年 月 日教学过程及授课内容附 注4-2 换元积分法教学过程一、换元积分法1第一换元积分法(凑微分法)例1 求.解 被积函数是复合函数，不能直接套用公式我们可以把原积分作下列变形后计算 .直接验证得知，计算方法正确。例2 求解 注意到被积式中含有项,而余下的部分恰有微分关系：。于是类似于例1,可作如下变换和计算： 上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式中，将换成了,对应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：定理 如果，则其中是的任一个可微函数。证 由于,所以根据微分形式不变性,则有：其中是的可微函数，由此得 这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量换成任一可微函数后公式仍成立。这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一结论，上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序： 这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一
