微积分入门的两个热身问题问题1：曲线的切线问题如何作出一条给定曲线在某点处的切线，是引发微积分诞生的问题之一。我们先从一个简单例子说起。例1 已知圆上的一点，与轴的夹角为。求点处的圆的切线。本例可以用解析几何方法求解。如图所示，设是过圆上一点的切线，那么半径就是过的圆的法线。根据曲线在一点处的切线与法线的斜率之积等于1的原理，只须计算出的斜率值，然后用点斜式直线方程不难写出的方程。这个计算过程留给大家，因为这是中学生可以求解的问题。当曲线是一般形式时，中学的初等数学关于圆的切线的定义就成问题了，因为对圆的切线的定义是：与圆只有一个交点的直线。见下图，若用这样的定义就遇到了困惑：点处的切线与曲线不止一个交点。所以，一般曲线的切线的定义必须另行考虑，研究对象改变了，定义也应与时俱进地变。高等数学一般用“运动”或“变化”的思想加以考虑，因为高等数学希望致力于寻求普遍地解决问题的方法，而不是一个一个例子地讨论。考虑左图一个典型问题。设是定义在上的函数，它在坐标系中为一条曲线。
