1、1一类不等式恒成立问题的解法【教学目标】1. 对于可导函数 ，掌握“当 时， 恒成立”问题的一种解法.()fxxa()fxa2. 对于超越函数的恒成立问题，引导学生如何确立分类讨论的标准，灵活的运用导数解决恒成立与不恒成立的问题.3. 体会分类讨论思想、数形结合思想和函数与方程思想在解决复杂问题中的应用.【教学重难点】重点：通过观察不等式恒成立问题的特征，寻找使得结论成立的必要条件，缩小讨论的范围.难点：对于参数的不同取值范围，如何证明不等式恒成立与不恒成立.【教学过程】例 1.（2016 年四川卷）设函数 ，其中2()lnfxaxaR（）讨论 的单调性；()fx（）确定 的所有可能取值，使得
2、 在区间 内恒成立（其中a1()xfe(,)为自然对数的底数）.2.718e分析：第（II）问可以借助第（I ）问的结论，由 的极值点与所在区间端点的大()fx小比较确立分类讨论的依据；也可以通过观察，构造新函数，发现原问题可以转换为“当时， 恒成立”问题，利用 得到 的取值范围，再分类讨论.xa()fxa()0fa解：（）212xf 当 时， ， 在 内单调递减.0a()0fx()f,)当 时，由 ，有f12xa此时，当 时， ， 单调递减；1(0,)2xa()0f()fx当 时， ， 单调递增.(,)()fx()f（）方法一：2令 ， ，则1()xge1()exs1()exs而当 时， ，
3、所以 在区间 单调递增，0(),()10sx从而 时， .x()x当 ， 时， .0a12(1)ln0fax故当 在区间 内恒成立时，必有 .()fxg+（ ， a当 时， 102aa由（）有 ，从而 ，1()(0ff1()02ga所以此时 在区间 内不恒成立.fxg+)（ ，当 时，令 = ( )12a()hfxg1当 时， =x 2211exax32210x因此 在区间 单调递增 .()h+)（ ，又因为 ，所以当 时， = ，即 恒成立.101x()hx()0fgx()fxg综上， 的取值范围为 .a2，（）方法二：令 ，因为21()lnxgxe()0g即当 时， 恒成立. 1()0()
4、xg12()xxae当 时，因为 ，所以 122() 1xaxe322()0所以 在 单调递增， ，即 恒成立.()gx1+)（ ， ()10gx1()xfe以下同方法一3综上， 的取值范围为 .a1+)2，例 2.（2010 年新课标卷）设函数 .2()1xfea（）若 ,求 的单调区间； （）若当 时 ,求 的取值范围.0a()fx0()fxa分析：第（II）问中 ，当 时 ，即 ，注意到0x()f(0)f()f再考虑 ，可得 ，此时易证 在 上单调递增，故 成立；012a()fx0,)()fx再证 时， 不成立.12a()fx解:（） 时, , .01xe()1xfe当 时, ；当 时,
5、 .()x()0f()0f故 在 单调递减，在 单调递增.f (,)（） ，由（）知 ,当且仅当 时等号成立.()12xea1xex当 时， ,所以 在 上单调递增，故a()0xf()f0)成立.()0fx当 时, 令 ，则12()12xgxfea()2xgea当 时， ，所以 单调递减，(lnxa 0()0g即 ，所以 单调递减，于是 ，不符合题意.)0f()fx()0fx综上， 的取值范围为 .1,2课堂练习（2015 年山东卷）设函数 ，其中 .2()ln1)()fxaxaR（）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；()f（）若 ， 成立，求 的取值范围.0x4分析：注意到 ，由 ，得 ，
6、所以(0)f()0fx()0fx()0f解得 ，再由 时， ，得 ，故1axa1a解：（）略（） ，2(21)()()1 1xxfax当 时， ，函数 在 为增函数，所以 成立.0a)0f(f0,)()0f当 时，设 ， ，2(1gxaxg令 ，得 ，所以函数 在 单调递减，而()0x29804()fx20,)，则当 时， ，不符合题意；f(,)x()f当 时，设 ，当 时 ，0aln1h(0,)x1(0xhx在 单调递增，因此当 时， ，()hx,)0)ln()于是 ，当 时 ，22()()fxax1a21xa此时 ，不符合题意.()0综上， 的取值范围为 .a1课时小结：本节课主要总结了“当 时， 恒成立”问题的一种解法，即寻找使xa()fxa得结论成立的必要条件，缩小讨论的范围.课后作业：1.（2015 年北京卷节选）已知函数 1()lnxf（）求证：当 时， ；(0,1)x32fx（）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3()fk(0,1)k2.（2010 年全国 II）设函数 xfe5（）证明：当 时， ；1x()1xf（）设当 时， ，求 的取值范围.0a
