1、 全国高中数学联赛一试模拟试题一一、填空题 http:/ 1已知 sincos1，则 cos() 2已知等差数列a n的前 11 项的和为 55，去掉一项 ak 后，余下 10 项的算术平均值为4若 a15，则 k 3设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率 e 4已知 ，则实数 x 3x 19x 1 13 31 x5如图，在四面体 ABCD 中，P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点，且BP 2PC，CQ2QDR 为棱 AD 的中点，则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 6设 f(x)log 3x ，则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 4 x7右图是某种净
2、水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm 若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm38设点 O 是ABC 的外心，AB13，AC12，则 BC AO9设数列a n满足：a n1 an2a n1 2(n1，2，) ，a 2009 ，则此数2列的前 2009 项的和为 10设 a 是整数，0b1若 a22b(ab) ，则 b 二、解答题 http:/11在直角坐标系 xOy 中，直线 x2y40 与椭圆 1 交于 A，B 两点，F 是椭圆x29 y24的左焦
3、点求以 O，F，A， B 为顶点的四边形的面积12如图，设 D、E 是ABC 的边 AB 上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD 7，AB28，CE 12求 BC13若不等式 k 对于任意正实数 x，y 成立，求 k 的取值范围x y 2x y14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数？请证明你的结论E BCDAB CDAPQR2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009 年 5 月 3 日 8001000)一、填空题(每小题 7 分，共 70 分) h
4、ttp:/1已知 sincos1，则 cos() 填 0解：由于|sin| 1，|cos |1 ，现 sincos1，故 sin 1，cos 1 或sin1，cos 1， 2k ， 2l 或 2k ，2l 2(kl) (k，lZ )2 2 2 cos() 02已知等差数列a n的前 11 项的和为 55，去掉一项 ak 后，余下 10 项的算术平均值为4若 a15，则 k 填 11解：设公差为 d，则得55511 1110d55d110d212ak 554 101552( k1)k113设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率 e 填 1 52解：由(2b) 22c 2aa
5、2c 2ace 2e10e 1 524已知 ，则实数 x 3x 19x 1 13 31 x填 1解：即 32x43 x303 x1(舍去)，3 x3x113x 1 3x3(3x 1)5如图，在四面体 ABCD 中，P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点，且BP 2PC，CQ2QDR 为棱 AD 的中点，则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 填 14解：A、B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形PQR 为底的高故其比值等于这两个三棱锥的体积比VAPQR VAPQD VAPCD VABCD VABCD；12 12 13 12 13 13 118又，S
6、BPQS BCDS BDQS CPQ(1 )SBCD SBCD，13 23 13 49VRBPQ VRBCD VABCD VABCD49 12 49 418 A、B 到平面 PQR 的距离的比14又，可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值：在面 BCD 内，延长 PQ、BD 交于点 M，则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点由 Menelaus 定理知， 1，而 ， ，故 4BMMDDQQCCPPB DQQC 12 CPPB 12 BMMD在面 ABD 内，作射线 MR 交 AB 于点 N，则 N 为面 PQR 与 AB 的交点由 Menelaus 定理知， 1，而 4， 1，故
7、BMMDDRRAANNB BMMD DRRA ANNB 14 A、B 到平面 PQR 的距离的比146设 f(x)log 3x ，则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 4 x填3，4解：定义域(0，4在定义域内 f(x)单调增，且 f(3)0故 f(x)0 的 x 的取值范围为3，47右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm 若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3填 78000解：设净水器的长、高分别为 x，ycm ，则xy300，V
8、30(20x)(60 y)30(120060x20y xy)30(12002 300)30(1500 1200)60x20y302700 至少可以存水 78000cm38设点 O 是ABC 的外心，AB13，AC12，则 BC AO填 252解：设| | | |R则 AO BO OC ( ) R 2cos(2C)R 2cos2B BC AO BO OC AO BO AO OC AOR 2(2sin2C2sin 2B) (2RsinB)2 (2RsinC)2 (12213 2) 12 12 12 2529设数列a n满足：a n1 an2a n1 2(n1，2，) ，a 2009 ，则此数列的前
9、 2009 项的2和为 填 2008 2解：若 an1 0，则 an2 ，故2an 1B CDAPQRRRB CAORMNRQPADCBa20082 ，a 20072 ，a 20062 ，a 2005 222 2 2 2 2一般的，若 an0，1，2，则 an2 ，则2an 1an1 ，a n2 ，a n3 a n1 ，故 an4 a nan 1 2an 1 1 22 an 1于是， an502(a 1a 2a 3a 4)a 2009502(a 2005a 2006a 2007a 2008)a 20092008 k 12009 210设 a 是整数，0b1若 a22b(ab) ，则 b 填 0
10、， ， 13 12 3解：若 a 为负整数，则 a20，2b(ab) 0，不可能，故 a0于是 a22b(ab)2( a1)a 22a200a1 a0，1，23a0 时，b0；a1 时，2b 22b10b ；3 12a2 时，b 22b20b 13说明：本题也可以这样说：求实数 x，使x 22 xx二、解答题(本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分) http:/11在直角坐标系 xOy 中，直线 x2y40 与椭圆 1 交于 A，B 两点，F 是椭圆x29 y24的左焦点求以 O，F，A， B 为顶点的四边形的面积解：取方程组 代入得，25y 264y280 4x2 9y2 36
11、，x 2y 4 )此方程的解为 y2，y 1425即得 B(0，2) ， A( ， )，又左焦点 F1( ，0) 7225 1425 5连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形得，S 2 (727 )12 7225 12 5 1425 125 5也可以这样计算面积：直线与 x 轴交于点 C(4，0)所求面积 42 (4 ) (727 )12 12 5 1425 125 5也可以这样计算面积：所求面积 (02000 ( )2( )0( ) ( )000)12 1425 7225 7225 5 1425 5( ) (727 )1214425 14255 125 512如图，设 D、E 是ABC
12、 的边 AB 上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE 12求 BC解： ACDABCABC ACDBCEADAC ACAB CEBE12 AE ABBE16 cosA AC2 AE2 CE22ACAE 142 162 12221416 142 28421416 1116 BC 2AC 2AB 22AC ABcosA14 228 221428 7 29BC21111613若不等式 k 对于任意正实数 x，y 成立，求 k 的取值范围x y 2x y解法一：显然 k0( )2k 2(2xy)(2 k21)x2 ( k21)y0 对于 x，y0 恒成x y xy立令 t 0，则
13、得 f(t)(2k 21) t22t(k 21)0 对一切 t0 恒成立xy当 2k210 时，不等式不能恒成立，故 2k210此时当 t 时，f( t)取得最小值 k 21 12k2 1 12k2 1 22k2 1 2k4 3k22k2 1 k2(2k2 3)2k2 1当 2k210 且 2k230，即 k 时，不等式恒成立，且当 x4y0 时等号成立62 k ， )62解法二：显然 k0，故 k2 令 t 0，则(r(x) r(y)22x y x 2xy y2x y xyk2 (1 )t2 2t 12t2 1 12 4t 12t2 1令 u4t11，则 t 只要求 s(u) 的最大值u 1
14、4 8uu2 2u 9s(u) 2，于是， (1 ) (1 2) 8u 9u 282u9u 2 12 4t 12t2 1 12 32k 2 ，即 k 时，不等式恒成立(当 x4y0 时等号成立)32 62又：令 s(t) ，则 s(t) ，t0 时有驻点 t 且4t 12t2 1 8t2 4 4t(4t 1)(2t2 1)2 8t2 4t 4(2t2 1)2 12在 0t 时，s(t)0，在 t 时，s( t)0，即 s(t)在 t 时取得最大值 2，此时有 k2 (1s( )12 12 12 12 12 32E BCDAC FyxOBA解法三：由 Cauchy 不等式，( )2( 1)(2x
15、y )x y12即( ) 对一切正实数 x，y 成立x y62 2x y当 k 时，取 x ，y1，有 ，而 k k 即不等式不能恒62 14 x y 32 2x y 62 62 62 32成立而当 k 时，由于对一切正实数 x，y，都有 k ，故不等式恒成62 x y 62 2x y 2x y立 k ， )6214 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数？请证明你的结论解：对于任意 nN*，n 20 ，1(mod 4) 设 a，b 是两个不同的自然数，若 a0(m
16、od 4)或 b0(mod 4)，或 ab2(mod 4)，均有ab0(mod 4)，此时，ab10 2(mod 4)，故 ab10 不是完全平方数； 若 ab1(mod 4)，或 ab3(mod 4)，则 ab 1(mod 4)，此时 ab103(mod 4)，故 ab10 不是完全平方数由此知，ab10 是完全平方数的必要不充分条件是 a b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整 /除 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取 a2，b3，c13，则23104 2，213106 2，313107 2即 2，3，13 是满足题意的一组自然数 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数这是因为，任取 4 个不同自然数，若其中有 4 的倍数，则它与其余任一个数的积加 10 后不是完全平方数，如果这 4 个数都不是 4 的倍数，则它们必有两个数 mod 4 同余，这两个数的积加10 后不是完全平方数故证
