第一章 鞅 第三节 离鞅的基本不等式.doc

第三节 离散鞅的基本不等式定义1-3-1 若为可积适应序列，且对每个则称为鞅差（或下鞅差）序列。命题1-3-1 若为鞅（或下鞅），则为鞅差（或下鞅差）序列。反之，为鞅差（或下鞅差）序列，则为鞅（或下鞅）。证明：设为鞅序列，则又设为鞅差，则故为鞅。（习题1-3-1，证明下鞅差的情形）定义1-3-2 设随机序列，若，且当时，则称为可料的。定义1-3-3（鞅变换） 若，为随机变量序列，定义新的序列 （1-3-1）则记。定理1-3-1 若为鞅（下鞅），为可料的（非负可料的），则是鞅（下鞅）。证明：由式（1-3-1）可知，是对可测的，因而是适应的，又因为，所以，所以是鞅（下鞅）。（习题1-3-2，证明下鞅的情形）。 END推论1-3-1 若为鞅（下鞅），为停时，则必是鞅（下鞅）。证明：取则。因为，所以 ，故是可料的，非负