1、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 1 - 解析几何 (高考真题 +模拟新题 ) 课标理 数 15.H12011安徽卷 在平面直角坐标系中，如果 x与 y 都是整 数 ，就称点 (x， y)为整点，下列命题中正确的是 _(写出所有正确命题的编号 ) 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； 如果 k 与 b 都是无理 数 ，则直线 y kx b 不经过任何整点； 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点； 直线 y kx b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与 b 都是有理 数 ； 存在恰经过一个整点的直线 课标理 数 15.
2、H12011安徽卷 【解析】 正确，比如直线 y 2x 3，不与坐标轴平行，且当 x 取整 数 时， y 始终是一个无理 数 ，即不经过任何整点； 错，直线 y 3x 3中 k 与 b 都是无理 数 ，但直线经过整点 (1,0)； 正确，当直线经过两个整点时，它经过无 数 多个整点； 错误，当 k 0， b 13时，直线 y 13不通过任何整点； 正确，比如直线 y 3x 3只经过一个整点 (1,0) 课标文 数 17.H2， H52011安徽卷 设直线 l1： y k1x 1， l2： y k2x 1，其中实 数 k1，k2 满足 k1k2 2 0. (1)证明 l1 与 l2 相交； (2
3、)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2 y2 1 上 课标文 数 17.H2， H52011安徽卷 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识考查推理论证能力和运算求解能力 【解答】 (1)反证法：假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有 k1 k2，代入 k1k2 2 0，得 k21 2 0. 此与 k1 为实 数 的事实相矛盾，从而 k1 k2，即 l1 与 l2 相交 (2)(方法一 )由方程组 y k1x 1，y k2x 1， 解得交点 P 的坐标 (x， y)为 x 2k2 k1，y k2 k1k2 k1，而
4、 2x2 y2 2 2k2 k12k2 k1k2 k12 8 k22 k21 2k1k2k22 k21 2k1k2 k21 k22 4k21 k22 4 1. 此即表明交点 P(x， y)在椭圆 2x2 y2 1 上 (方法二 )交点 P 的坐标 (x， y)满足 y 1 k1x，y 1 k2x， 故知 x 0，从而 k1 y 1x ，k2 y 1x .代入 k1k2 2 0，得 y 1x y 1x 2 0. 整理后，得 2x2 y2 1， 所以交点 P 在椭圆 2x2 y2 1 上 课标文 数 8.B5， H22011北京卷 已知点 A(0,2)， B(2,0)若点 C 在函 数 y x2
5、的图象上，高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 2 - 则使得 ABC 的面积为 2 的点 C 的个 数 为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 课标文 数 8.B5， H22011北京卷 A 【解析】 由已知可得 |AB| 2 2，要使 S ABC 2，则点 C 到直线 AB 的距离必须为 2，设 C(x， x2)，而 lAB： x y 2 0，所以有 |x x2 2|2 2， 所以 x2 x 2 2 ， 当 x2 x 2 2 时，有两个不同的 C 点； 当 x2 x 2 2 时，亦有两个不同的 C 点 因此满足条件的 C 点有 4 个，故应选 A. 课标文
6、数 14.H4， H22011湖北卷 过点 ( 1， 2)的直线 l 被圆 x2 y2 2x 2y 1 0截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为 _ 课标文 数 14.H4， H22011湖北卷 1 或 177 【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y 2 k( )x 1 .又圆的方程为 ( )x 1 2 ( )y 1 2 1，圆心为( )1， 1 ，半径为 1，所以圆心到直线的距离 d | |k 1 k 21 k2 1 22 2 22 ，解得 k 1 或177 . 课标理 数 20.H2， H92011课标全国卷 【解答】 (1)设 M(x， y)，
7、由已知得 B(x， 3)，A(0， 1) 所以 MA ( x， 1 y)， MB (0， 3 y)， AB (x， 2) 再由题意可知 (MA MB )AB 0， 即 ( x， 4 2y)(x， 2) 0， 所以曲线 C 的方程为 y 14x2 2. (2)设 P(x0， y0)为曲线 C： y 14x2 2 上一点， 因为 y 12x，所以 l 的斜率为 12x0. 因此直线 l 的方程为 y y0 12x0(x x0)， 即 x0x 2y 2y0 x20 0. 则 O 点到 l 的距离 d | |2y0 x20x20 4，又 y0 14x20 2， 所以 d12x20 4x20 4 12
8、x20 4 4x20 4 2， 当 x0 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 课标文 数 12.H22011浙江卷 若直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0 互相垂直，则实数 m _. 课标文 数 12.H22011浙江卷 1 【解析】 直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0， 1 2 2 m 0，即 m 1. 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 3 - 大纲文 数 11.H32011全国卷 设两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离 |C1C2| ( ) A 4 B 4 2 C 8 D
9、 8 2 大纲文 数 11.H32011全国卷 C 【解析】 由题意知两圆的圆心在直线 y x 上，设 C1(a，a)， C2(b， b)，可得 (a 4)2 (a 1)2 a2， (b 4)2 (b 1)2 b2，即 a， b 是方程 x2 10x 17 0 的两根， a b 10， ab 17， |C1C2| 2a b2 2a b2 4ab 8，故选 C. 课标理 数 17.H7， H3， H42011福建卷 已知直线 l： y x m， m R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线
10、为 l ，问直线 l 与抛物 线 C： x2 4y 是 否相切？说明理由 课标理 数 17.H7， H3， H42011福建卷 【解答】 解法一： 图 1 6 (1)依题意，点 P 的坐标为 (0， m) 因为 MP l，所以 0 m2 0 1 1， 解得 m 2，即点 P 的坐标为 (0,2) 从而圆的半径 r |MP| 2 02 0 22 2 2， 故所 求圆的方程为 (x 2)2 y2 8. (2)因为直线 l 的方程为 y x m， 所以直线 l 的方程为 y x m. 由 y x m，x2 4y 得 x2 4x 4m 0. 42 4 4m 16(1 m) 当 m 1，即 0 时，直线
11、 l 与抛物线 C 相切； 当 m 1，即 0 时，直线 l 与抛物线 C 不相切 综上，当 m 1 时，直线 l 与抛物线 C 相切；当 m 1 时，直线 l 与抛物线 C 不相切 解法二： (1)设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为 (x 2)2 y2 r2. 依题意，所求圆与直线 l： x y m 0 相切于点 P(0， m)，则 4 m2 r2，|2 0 m|2 r， 解得 m 2，r 2 2.所以所求圆的方程为 (x 2)2 y2 8. (2)同解法一 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 4 - 图 1 4 课标文 数 18.H3， H4， H7201
12、1福建卷 如图 1 4，直线 l： y x b 与抛物线 C： x2 4y相切于点 A. (1)求实 数 b 的值； (2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 课标文 数 18.H3， H4， H72011福建卷 【解答】 (1)由 y x b，x2 4y 得 x2 4x 4b 0.(*) 因为直线 l 与抛物线 C 相切， 所以 ( 4)2 4 ( 4b) 0. 解得 b 1. (2)由 (1)可知 b 1，故方程 (*)即为 x2 4x 4 0. 解得 x 2，代入 x2 4y，得 y 1， 故点 A(2,1) 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切， 所以圆 A 的半
13、径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y 1 的距离，即 r |1 ( 1)| 2. 所以圆 A 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 4. 图 1 2 课标理 数 14.H32011湖北卷 如图 1 2，直角坐标系 xOy 所在的平面为 ， 直角坐标系x Oy (其中 y 轴与 y 轴重合 )所在的平面为 ， xOx 45. (1)已知平面 内有一点 P (2 2， 2)，则点 P 在平面 内的射影 P 的坐标为 _； (2)已知平面 内的曲线 C 的方程是 (x 2)2 2y 2 2 0，则曲线 C 在平面 内的射影 C 的方程是 _ 课标理 数 14.H32011湖北卷 ( )2， 2
14、( )x 1 2 y2 1 【解析】 (1)过点 P 作 PP ，垂足为 P，过 P 作 PM y 轴于 M，连接 P M，则 P MP 45.又 MP 2 2，所以MP 2 2cos45 2.所以点 P( )2， 2 . (2)设曲线 C 上任意一点为 ( )x ， y ，则该点在平面 内的射影为 ( )x， y ，故有 22 x x，y y，即 x 2x，y y，代入 ( )x 2 2 2y 2 2 0 中，得 ( )x 1 2 y2 1 0，即 ( )x 1 2 y2 1. 课标文 数 13.H32011辽宁卷 已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C
15、 的方程为 _ 课标文 数 13.H32011辽宁卷 (x 2)2 y2 10 【解析】 设圆心坐标为 (x,0)，则有x 52 1 x 12 9，解得 x 2.由两点距离得 r 2 52 1 10，所以圆的方程为(x 2)2 y2 1 0. 课标文 数 20.H3， H42011课标全国卷 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 6x 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上 (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 与直线 x y a 0 交于 A、 B 两点，且 OA OB，求 a的值 课标文 数 20.H3， H42011课标全国卷 【解答】 (1)曲线 y x2 6x 1 与 y 轴的
16、交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (3 2 2， 0)， (3 2 2， 0) 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 5 - 故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32 (t 1)2 (2 2)2 t2，解得 t 1. 则圆 C 的半径为 32 t 12 3. 所以圆 C 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐标满足方程组 x y a 0，x 32 y 12 9. 消去 y，得到方程 2x2 (2a 8)x a2 2a 1 0. 由已知可得，判别式 56 16a 4a20.从而 x1 x2 4 a
17、， x1x2 a2 2a 12 . 由于 OA OB， 可得 x1x2 y1y2 0. 又 y1 x1 a， y2 x2 a，所以 2x1x2 a(x1 x2) a2 0. 由 ， 得 a 1，满足 0，故 a 1. 大纲文 数 3.H32011四川卷 圆 x2 y2 4x 6y 0 的圆心坐标是 ( ) A (2,3) B ( 2,3) C ( 2， 3) D (2， 3) 大纲文 数 3.H32011四川卷 D 【解析】 圆的方程可化为 (x 2)2 (y 3)2 13，所以圆心坐标是 (2， 3)，选 D. 大纲理 数 8.H32011重庆卷 在圆 x2 y2 2x 6y 0 内，过点
18、E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A 5 2 B 10 2 C 15 2 D 20 2 所以四边形 ABCD 的面积为 S 12|AC|BD| 10 2.故选 B. 课标文 数 4.H42011安徽卷 若直线 3x y a 0 过圆 x2 y2 2x 4y 0 的圆心，则 a的值为 ( ) A 1 B 1 C 3 D 3 课标文 数 4.H42011安徽卷 B 【解析】 圆的方程可化为 (x 1)2 (y 2)2 5，因为直线经过圆的圆心 ( 1,2)，所以 3 ( 1) 2 a 0，得 a 1. 课标理 数 17.H7， H3， H42
19、011福建卷 已知直线 l： y x m， m R. 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 6 - (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ，问直线 l 与抛物线 C： x2 4y 是否相切？说明理由 解法二： (1)设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为 (x 2)2 y2 r2. 依题意，所求圆与直线 l： x y m 0 相切于点 P(0， m)，则 4 m2 r2，|2 0 m|2 r， 解得 m 2，r 2 2.所以所求圆的方程为 (x 2)2 y
20、2 8. (2)同解法一 图 1 4 课标文 数 18.H3， H4， H72011福建卷 如图 1 4，直线 l： y x b 与抛物线 C： x2 4y相切于点 A. (1)求实 数 b 的值； (2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 课标文 数 18.H3， H4， H72011福建卷 【解答】 (1)由 y x b，x2 4y 得 x2 4x 4b 0.(*) 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 7 - 因为直线 l 与抛物线 C 相切， 所以 ( 4)2 4 ( 4b) 0. 解得 b 1. (2)由 (1)可知 b 1，故方程
21、(*)即为 x2 4x 4 0. 解得 x 2，代入 x2 4y，得 y 1， 故点 A(2,1) 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切， 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y 1 的距离，即 r |1 ( 1)| 2. 所以圆 A 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 4. 课标文 数 8.H42011广东卷 设圆 C 与圆 x2 (y 3)2 1 外切，与直线 y 0 相切，则 C的圆心轨迹为 ( ) A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆 课标文 数 8.H42011广东卷 A 【解析】 设圆心 C 的坐标 C(x， y)，由题意知 y 0，则圆 C 的半径为 y，由于圆
22、C 与已知圆相外切，则由两圆心距等于半径之和，得 x2 y 321 y，整理得： x2 8(y 1)，所以轨迹为抛物线 课标文 数 14.H4， H22011湖北卷 过点 ( 1， 2)的直线 l 被圆 x2 y2 2x 2y 1 0截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为 _ 课标文 数 14.H4， H22011湖北卷 1 或 177 【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y 2 k( )x 1 .又圆的方程为 ( )x 1 2 ( )y 1 2 1，圆心为( )1， 1 ，半径为 1，所以圆心到直线的距离 d | |k 1 k 21 k2 1 22
23、 2 22 ，解得 k 1 或177 . 课标文 数 15.H4， K32011湖南卷 已知圆 C： x2 y2 12，直线 l： 4x 3y 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 _； (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 _ 课标文 数 15.H4， K32011湖南卷 (1)5 (2)16 【解析】 (1)圆心到直线的距离为： d | | 2532 42 5; 图 1 4 (2)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为点 B 与点 D，设过这两点的直线方程为 4x 3y c 0，同时可得到的圆心到直线 4x 3y c 0 的距离为
24、OC 3， 又圆的半径为 r 2 3，可得 BOD 60，由 图 1 2 可知点 A 在弧 BD 上移动，弧长 l BD 16 c c6，圆周长 c，故 P(A)l BDc 16. 课标文 数 20.H3， H42011课标全国卷 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 6x 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 8 - (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 与直线 x y a 0 交于 A、 B 两点，且 OA OB，求 a的值 课标文 数 20.H3， H42011课标全国卷 【解答】 (1)曲线 y x2 6x 1
25、与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (3 2 2， 0)， (3 2 2， 0) 故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32 (t 1)2 (2 2)2 t2，解得 t 1. 则圆 C 的半径为 32 t 12 3. 所以圆 C 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐标满足方程组 x y a 0，x 32 y 12 9. 消去 y，得到方程 2x2 (2a 8)x a2 2a 1 0. 由已知可得，判别式 56 16a 4a20.从而 x1 x2 4 a， x1x2 a2 2a 12 . 由于 OA OB，可得 x
26、1x2 y1y2 0. 又 y1 x1 a， y2 x2 a，所以 2x1x2 a(x1 x2) a2 0. 由 ， 得 a 1，满足 0，故 a 1. 大纲文 数 13.H42011重庆卷 过原点的直线与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 相交所得的弦长为 2，则该直线的方程为 _ 大纲文 数 13.H42011重庆卷 2x y 0 【解析】 将圆 x2 y2 2x 4y 4 0 配方得 (x 1)2 (y 2)2 1， 该圆半径为 1，圆心 M(1,2) 直线与圆相交所得弦的长为 2，即为该圆的直径， 该直线的方程的斜率 k 2 01 0 2， 该直线的方程为 y 2x，即 2x y 0.
27、 课标文 数 17.H2， H52011安徽卷 设直线 l1： y k1x 1， l2： y k2x 1，其中实 数 k1，k2 满足 k1k2 2 0. (1)证明 l1 与 l2 相交； (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2 y2 1 上 课标文 数 17.H2， H52011安徽卷 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识考查推理论证能力和运算求解能力 【解答】 (1)反证法：假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有 k1 k2，代入 k1k2 2 0，得 k21 2 0. 此与 k1 为实 数 的事实相
28、矛盾，从而 k1 k2，即 l1 与 l2 相交 (2)(方法一 )由方程 组 y k1x 1，y k2x 1， 解得交点 P 的坐标 (x， y)为 x 2k2 k1，y k2 k1k2 k1，而 2x2 y2 2 2k2 k12k2 k1k2 k12 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 9 - 8 k22 k21 2k1k2k22 k21 2k1k2 k21 k22 4k21 k22 4 1. 此即表明交点 P(x， y)在椭圆 2x2 y2 1 上 (方法二 )交点 P 的坐标 (x， y)满足 y 1 k1x，y 1 k2x， 故知 x 0，从而 k1 y
29、 1x ，k2 y 1x .代入 k1k2 2 0，得 y 1x y 1x 2 0. 整理后，得 2x2 y2 1， 所以交点 P 在椭圆 2x2 y2 1 上 课标理 数 7.H5， H62011福建卷 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1， F2.若曲线 上存在点 P 满足 |PF1| |F1F2| |PF2| 4 3 2，则曲线 的离心率等于 ( ) A.12或 32 B. 23或 2 C.12或 2 D.23或 32 课标理 数 7.H5， H62011福建卷 A 【解析】 设 |F1F2| 2c(c0)，由已知 |PF1| |F1F2|PF2| 4 3 2，得 |PF1| 83c， |
30、PF2| 43c，且 |PF1|PF2|， 若圆锥曲线 为椭圆，则 2a |PF1| |PF2| 4c，离心率 e ca 12； 若圆锥曲 线 为双曲线，则 2a |PF1| |PF2| 43c，离心率 e ca 32，故选 A. 课标文 数 11.H5， H62011福建卷 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1， F2，若曲线 上存在点 P 满足 |PF1| |F1F2| |PF2| 4 3 2，则曲线 的离心率等于 ( ) A.12或 32 B. 23或 2 C.12或 2 D.23或 32 课标文 数 11.H5， H62011福建卷 A 【解析】 设 |F1F2| 2c(c0)，由已知
31、|PF1| |F1F2|PF2| 4 3 2，得 |PF1| 83c， |PF2| 43c，且 |PF1|PF2|， 若圆锥曲线 为椭圆，则 2a |PF1| |PF2| 4c，离心率 e ca 12； 若圆锥曲线 为双曲线，则 2a |PF1| |PF2| 43c，离心率 e ca 32，故选 A. 课标理 数 21.H5， H7， H82011湖南卷 如图 1 9，椭圆 C1： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为 32 ， x 轴被曲线 C2： y x2 b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长 (1)求 C1， C2 的方程； (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O
32、的直线 l 与 C2 相交于点 A， B，直线 MA， MB分别与 C1 相交于点 D， E. 证明： MD ME； 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 10 - 记 MAB， MDE 的面积分别为 S1， S2.问：是否存在直线 l，使得 S1S2 1732？请说明理由 图 1 10 课标理 数 21.H5， H7， H82011湖南卷 【解答】 (1)由题意知， e ca 32 ，从而 a 2b.又 2 b a，解得 a 2， b 1. 故 C1， C2 的方程分别 为 x24 y2 1， y x2 1. (2) 由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直
33、线 l 的方程为 y kx. 由 y kx，y x2 1 得 x2 kx 1 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1， x2 是上述方程的两个实根， 于是 x1 x2 k， x1x2 1. 又点 M 的坐标为 (0， 1)，所以 kMAkMB y1 1x1y2 1x2 kx1 1kx2 1x1x2 k2x1x2 kx1 x2 1x1x2 k2 k2 1 1 1. 故 MA MB， 即 MD ME. 设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为 y k1x 1，由 y k1x 1，y x2 1 解得 x 0，y 1 或 x k1，y k21 1. 则点 A 的坐标为 (k1， k21 1) 又直线 MB 的斜率为 1k1，同理可得点 B 的坐标为 1k1， 1k21 1 . 于是 S1 12|MA|MB| 12 1 k21| k1| 1 1k21 1k1 1 k212|k1| . 由 y k1x 1，x2 4y2 4 0 得 (1 4k21)x2 8k1x 0. 解得 x 0，y 1 或 x 8k11 4k21，y 4k21 11 4k21.则点 D 的坐标为 8k11 4k21， 4k21 11 4k21 .
