1、进入考试的数学开放题 一、 概况与意义 .1 1 迎接新世纪的萌芽期 . 1 2 世纪之交的发展期 . 2 3 为迎接数学开放题进入考试的成熟期而努力 . 4 4 数学开放题进入考试的意义 . 5 二、 可贵的探索 .6 1 有限可穷举型。 . 6 2 有限混沌型。 . 8 3 无限离散型。 . 9 4 无限连续型 。 . 11 三、 几个理论性和技术性的问题 . 14 （一） 开放性试题的设问方式 .14 1 控制试题开放度的技术 . 14 （ 1） 限定答案的范围 . 15 （ 2） 改变参数的取值 . 15 2 控制试题难度的技术 . 16 （ 1） 改变试题的开放度会影响试题的难度 .
2、 16 （ 2） 改变答题的要求 . 16 （ 3） 改变问题的叙述方式 . 16 （ 4） 运用暗示技术 . 17 （二） 开放性试题的参考答案及评分标准的制定 .18 1 衡量开放性试题的解答水平的几个指标 . 18 （ 1） 解答的多样性 . 19 （ 2） 解答的完备性 . 19 （ 3） 解答的深刻性 . 19 2 给出不同解答水平示例和评分标准的制 定技术 . 20 四、 几点建议 . 23 1 关于概念泛化的问题 . 23 2 关于考试中使用陈题的问题 . 24 3 关于开放题的设问方式中的问题 . 25 4 关于参考答案与评分标准的问题 . 27 5 关于题型创新的问题 . 2
3、8 参考文献 . 29 作者： 龚 雷 (杭州第九中学 ) 戴再平 (浙江教育学院 ) 第 1 页 进入考试的数学开放题 随着教育改革的深入发展和素质教育的进一步实施，数学开放题的教育价值已被越来越多的数学教师所认同。新的国家课程标准中已为数学开放题在中学数学教育中争得一席之地，这是我国数学教育改革的一大进步，它打破了传统封闭题长期一统天下的现状，这必将为在数学教育中实施素质教育、促使数学教师培养学生的创新精神和创新能力产生巨大的影响。 在我国这个具有上千年考试传统的社会中，考试已不仅仅是教育内部的问题，而是已经成为与整个社会密不可分的文化内容。可以这样说，在学校的各种教学环节 中，考试的社会
4、影响力是最大的。无论是教育行政、教师、学生，还是学生家长与社会，都非常关心考试。因此，如果说数学开放题进入国家课程标准和教材，这标志着其教育价值得到我国数学教育界的肯定，那么，数学开放题进入考试，就标志着数学开放题引起了社会的关注。 一、 概况与意义 让我们先对数学开放题在我国进入考试的短暂历史作一个回顾。 1 迎接新世纪的萌芽期 数学开放题在考试中的尝试，这可以追溯到 20 世纪八九十年代。我们在初中数学开放题集一书的编著过程中，搜集了这 20 年间的一些中考、竞赛试卷，其中虽然偶有几道数学开放题，但这样 的试卷寥寥无几，收入该书的数学开放题仅有 7 题。虽然这 7 道开放性试题未必是 20
5、 年间的所有中考、竞赛试卷中出现的数学开放题的全部，但可以肯定在这个时期中，数学开放题在考试中的出现只是零星的现象，是在没有相应的理论指导下的偶然的不自觉行为。 这 7 道开放性试题中最早的一题是 1982 年山西太原市中考试题（详见本书第 24 页，我们所收集的中考试卷中）。这也是整个八十年代仅有的一道开放性试题，因此，开放题在考试中的尝试主要是在 20 世纪末的最后 10 年。值得注意的是，这道题在 14 年后不作任何修改地又成为 1996年宁夏自治区的中 考试题。从这种现象至少可以看出： （ 1） 在这一时期，数学开放题以其本身所固有的价值，在没有借助其它行政力量等外在因素的干预下，已经
6、得到某些考试命题人员的关注，并开始了一些尝试与探索。当然这些尝试与探索，无论在数量上，还是在理论认识上都不能说明数学开放题在考试中已经取得多少地位； 第 2 页 （ 2） 当时现有的数学开放题的数量很少，考试命题人员在编制开放性试题中又缺乏相应的理论指导，困难重重，这就导致了同一道试题在不同年份出现在两地的中考试卷中，这种用现成中考试题作为考题的现象在中考这样的大型考试中应该忌讳，命题人员显然是不得已而为之 。 与中考相比，对中学数学教育改革影响范围更大、更深远的全国高考试卷，在这 20 年间只有到 1998 年才出现过一道分值比例只占整张试卷的2.7%的一道数学开放题： 【 例 1】 （ 1
7、998 年全国高考试题） 如图，在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1C B1D1（只填一种正确条件即可） 该题的难度不大，分值又小，开放度也很低。虽然在当年被作为一个高考新题型的信号引起一定的关注，但由于在接下来的几年内并没有类似高考题出现，因此，其对中学的影响也不是很大。这个时期的 高考每年都要尝试一些新题型，显然，出现这道开放题也只是一种偶然现象，并不是在高考中倡导数学开放题的自觉行为。 值得一提的是，在这个时期的后期，在高考、中考试卷中大量出现的结论不明显的所谓“探索性问题”、“猜想证明类问题”，被很多中学教师称作“开放题”进行研究。
8、这种对“数学开放题”概念泛化的现象，一方面对倡导数学教育的开放化作出了一定的贡献，在当时壮大了数学开放题的研究队伍，为数学开放题进入考试也作了一些铺垫和准备；另一方面，也在一定程度上阻碍了数学开放题进入考试的进一步发展。 如果我们把审视这一时期的镜头 从“数学考试”拉到“数学教育”的全镜头，我们可以看到，我国对数学开放题的研究也在这个时期逐渐兴起，特别是 90 年代中叶，“数学开放题：数学教学的新模式”被列为全国九五重点课题后，由课题组发起，于 1998 年 11 月在上海金汇学校召开了全国第一届“数学开放题及其教学”学术研讨会，数学开放题逐步成为一个数学教育的研究热点，并一直保持到现在。 我
9、们可以把 20 世纪末的这个时期，特别是最后 10 年，称为我国数学开放题进入考试的萌芽期。 2 世纪之交的发展期 中国考试文化的背景决定了任何一种教育改革必须有相应的考试制度改革相协调， 否则改革就不可能成功。正是鉴于这种认识，我们国家借用行政力量，在各类考试中倡导运用开放性试题进行考试，教育部在 2000年 3 月发布的关于 2000 年初中毕业、升学考试改革指导意见中明确指出：“数学考试应设计一定的结合实际情境的问题和开放性问题”。教育部在其下发的文件中明确提出要求在考试中设计某一类题型，这从建国以来还是第一次。这也从一个方面说明了数学开放题的教育价值被得到重视的程度。 第 3 页 为推
10、进中考改革，从 2000 年开始，教育部基础教育司组织北京师范大学、华东师范大学等单位专家每年都进行“中考试卷与考试管理”的 评价。以下是 2000 年至 2002 年的几个评价报告中对数学开放题的一些评述： 2000 年长江以南初中毕业、升学考试数学试卷评价报告指出“与 1999 年长江以南地区的中考试题相比，在 2000 年的中考命题中， 80%左右的试卷有 10 分左右的开放题，而且普遍使用了探索题”。认为这是“与 1999 年比较的主要突破”之一。 2000 年长江以北初中毕业、升学考试数学试卷评价报告中也认为“加强探索、开放，培养创新能力” 是长江以北各地区 2000年中考数学试卷命
11、题的普遍特点之一。认为“这类试题中还出现了一些颇有新意的开放题 ，试题不拘常规，留给考生较大的发挥和创造的空间，成为 2000 年试题的亮点。” 2000 年浙江省各市数学中考试卷质量评价报告指出：“全省试卷中多数都遵照关于 2000 年初中毕业、升学考试改革指导意见的要求，设计了数学开放性问题，杭州卷出了 3 道，当即有媒体进行报导，引起了社会广泛的重视。宁波卷、金华衢州卷设计了结合现实情景的开放性问题。这些试卷都把开放性问题作为考查和培养学生创新精神的切入口。” 认为“对开放性问题的设计进行了探索”是 2000 年全省中考试卷改革的四大特点之一。 2001 年全国初中毕业、升 学考试数学试
12、卷评价报告指出：“近几年来，各地都注意了数学课程评价问题，作了各种有意义的探索与改革，一个突出的变化就是人们普遍感到开放性、探索性试题确实有利于考查学生的思维能力与创新意识。因而越来越受到各地中考数学考试的关注和重视。” 2001 年浙江省初中毕业、升学考试数学学科评价报告赞赏 试卷重视创新能力的考查时指出：“试卷中不乏有创意的开放性问题、探索性问题和考查阅读理解能力的题目。这些对培养学生的创新精神和探究能力有重要的作用。” 2002 年浙江省初中毕业、升学考试数学学科评价报告指出：“今 年的开放题出现有向基础问题靠拢的趋势，一般问题背景较简单，知识要求不高，但提供思维空间宽阔，有利于学生自我
13、发挥，反映考生的创新意识。” 特别值得一提的是，在 2002 年的全国高考文科数学试卷中，最后一道压轴题也出现了开放性试题。如果联系到高考对全国教育的影响力，其改革的指导思想是“稳步求变”这一事实，在 2002 年不但引进数学开放题，而且将其作为解答题的压轴题出现，就更加难能可贵了。 “青山遮不住，毕竟东流去”。可以这样说，以教育部 2000 年 3 月发布关于 2000 年初中毕业、升学考试改革指导意见为标志，我国“ 数学开放题进入考试”的进程在世纪之交已经步入了一个崭新的发展时期。 第 4 页 3 为迎接数学开放题进入考试的成熟期而努力 这几年的实践表明，把数学开放题引入数学考试远远比把其
14、引入课堂困难得多。这些年的实践中所暴露出来的问题也是显见的。让我们再来看看以下的几个中考试卷评价报告所提出的问题： 2000 年长江以南初中毕业、升学考试数学试卷评价报告在“需要进一步探讨的问题”中提到“试题的创新问题”，指出：“主要表现在命题成员对题型的研究不够。一方面，对现有的题型的结构和功能缺乏研究，以至于不能创造性地利用已有的题型设计试题。 教育部的指导意见明确指出应设计一定的结合实际情境的问题和开放性问题，但有些试卷中明显缺少开放题，有的混淆了开放题和探索题，随意加上是否两字，似乎进行了改革。此外陈题的倾向必须引起足够的重视。” 2000 年浙江省各市数学中考试卷质量评价报告把“进一
15、步理解和探索开放性试题”作为对改革中考命题的建议的第一个提议，指出：“从某些地市提供的试卷分析来看，把一般的讨论题和问答题都看成开放性试题，这种将开放性题过于泛化的观点是值得商榷 的。数学开放题虽非为有明确定义的数学名词，但其描述性界定宜指那些 答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。为好。各地对应怎样贯彻教育部关于初中毕业、升学考试改革中应设计一定的开放性问题的要求，需作进一步的理解和探索” 2001 年浙江省初中毕业、升学考试数学学科评价报告指出：“教育部已明确指示初中毕业、升学考试改革中应有开放性问题，但我省仍有个别市的试卷没有出现。” 2002 年浙
16、江省初中毕业、升学考试数学学科评价报告在关于开放题的看法与建议中指出：“要进一步提高编制开放题的技巧。命题编制后，要进行换位思考，即从考的角度来研究答案 ，不要因为过分开放而引出一些没有实质性意义的答案。开放题的评分标准要有层次性。对两种实质上一样的答案与不同思路的答案，得分要有所区别，确有创见的，甚至可加分。” 从数量上看， 2001 年，我们综合中学数学研究杂志及天津人民出版社、哈尔滨工程学院出版社、北京理工大学出版社共四本中考数学试卷专集要，剔除重复，有分布在 31 个省自治区的（缺港、澳、西藏） 54份试卷（合计 1544 道题），其中含有开放题的仅有 24 份试卷（占 44%），计
17、29 道题，仅占总题量的 2%。 2002 年，我们搜集了分布在 31 个省自治区的（缺港、 澳、西藏） 80 份试卷（合计 2270 道题），其中含有开放题的仅有 39 份试卷（占 50%弱），计 46 道题，也仅占总题量的 2%。这两年与 2000 年相比，含有开放题的试卷比例出现大幅度的滑坡。 考察在各类考试中数学开放题，我们不难发现，无论是命题在设问方第 5 页 式上，还是标准 (参考 )答案和评分标准上，也还存在很多不尽如人意的问题。这虽然与“数学开放题”这一新生事物还未能广泛地被人们所把握有关，我们对此不能求全责备，但我们也应该清醒地认识到：数学开放题进入考试，无论是在理论认识上，
18、还是在还在实际操作上，还远远没有达到成熟的程度 （从另一个角度来说，没有成熟，也就更有活力）。在这个问题上，我们要走的路还相当艰难而又漫长。让我们共同为之努力吧！ 4 数学开放题进入考试的意义 为什么要考开放题？这是我们在设计开放性试题必须首要明确的问题。但是在现实中，并不是每一位命题者都对这个问题有一个清晰的认识。从笔者所了解到的情况，命题者中有以下两种不同层次的认识需要研究者引起注意： 1不太明确开放性试题的考查目标，只是觉得这是一种教育改革的热点，必有其道理。希望在尝试中进一步体会。这种考试命题人员具有改革的热情，但缺乏对教育改革的深入理解。作为一种 认识过程，他们具有深入研究的发展期望
19、并处于发展之中。这种情况的存在对研究者提出的任务是显而易见的。 2明确了开放题的教学价值，希望通过在考试中引入开放题，作为一种政策导向，有教学中倡导开放题，打破传统封闭题一统天下的局面。这种认识在现在的教育改革形势下有其一定的历史意义。但由于这种认识并没有从“进入考试的数学开放题”这样一个研究视角来考察问题，并没有把开放题作为试题的固有的价值突显出来。 诚然，经过这几年来的研究，开放题在其教育教学上的价值已被广泛认同。但是，如果数学开放题进入考试的目的仅仅在于推动中学的 教学中使用开放题，那么一个直接的推论就是：几年后，当中学广泛使用开放题后，开放题作为考试题就完成了其历史使命，没有存在的必要
20、了。这种推论显然是有问题的。 因此，我们必须进一步研究数学开放题进入考试，其自身固有的价值是什么？数学开放题可以用来考查学生的哪些素质？ 一般认为，开放题在考查学生潜质，特别在考查一些与记忆性的基础知识和操作性的基本技能相比更高层次思维能力方面，与传统封闭性考题相比有其独特的作用。但这种认识只是基于一种“经验性”的总结，并没有经过比较规范的科学论证。这应该成为这一研究领域在今后一段时 期的研究目标之一。 由于心理学对高层次思维能力的研究尚未有突破性进展，以及在我国中学教师对心理学相关研究的了解还相当少，因此，对“数学开放性试题对高层次思维能力的考查机制”的研究在目前还缺乏足够心理学理论支持。另
21、一方面，这些研究也可能对心理学的相关研究作出一定的贡献。 第 6 页 二、 可贵的探索 近几年来，在数学开放题进入考试的探索中，涌现出不少值得为之喝彩的好题，像一簇鲜艳夺目的花朵把我们的考试园地装扮得更加绚丽多彩。在这里，我们从中摘取几朵来进行赏析。 本书第三章介绍过数学开放题的几种分类方法。对于一道开放性考试题来说 ，其答案结构是必须关注的，这无论是对于问题的设计、参考答案及评分标准的设计，还是对于问题的解答，都非常重要。因此，我们在这里按答案结构类型的分类方法来进行论述。 1 有限可穷举型。 这类问题的答案可一一列举解题的主要任务是将其答案一一列举出来。是一类比较适合作考试题的开放题。 【
22、 例 2】 （ 2001 年 浙江省温州市中考数学试题） 请设计三种不同的分法，将直角三角形（如下图）分成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似（画图工具不限，要求画出分割线段，标出说明的必要记号，不要求证明，不要求写出画法）。 注：两 种分法只有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同分法。 分法一 分法二 分法三 本题的切入点低，有多种解题策略，其答案共有 10 种，其答案结构属于“有限可穷举型”。题目要求考给出 3 个答案，而不是所有答案，这种处理方法比较恰当，是一道不可多得的好开放题。比较可惜的是，命题者只给出了下图中的 7 七种分法： 事实上，本题可有以下五种解题策略： （
23、 1） 不断地作直角三角形斜边上的高，可得 、 、 、 、 ； （ 2） 取各边的中点，作三条中位线，可得 ； 第 7 页 （ 3） 作斜边上的中线，再过斜边中点分别作两直角边的垂线，可得 ； （ 4） 在已有的分法中，如 ，调换矩形的对角线位置，可得 ； （ 5） 通过相似变换，可得 、 。 对不同的分法，如果在评分标准中能够体现对开放性、创新性思维的鼓励，那么本题将是一道相当理想的开放题型试题。 【 例 3】 （ 2002 年 吉林省中考数学试题） 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点 线都在同一平面内，回答下列问题： （ 1）图中共有多少个三角形？把它们一一
24、写出来； （ 2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来 本题的答案是有限可穷举的，命题者提供的参考答案与评分标准如下： 解：（ 1）共有七个三角形，它们是： ABD、 ABE、 ABC、ADE、 AEC、 ADC、 AFC 3 分 说明：写错或写漏 1 个扣 1 分，写错或写漏 2 个扣 2 分，漏、错 3个不给分 （ 2）有相似三角形，它们是： ADE BAE、 BAE CDA、 ADE CDA （ 或 ADE BAE CDA） 7 分 说明：（ 1）写对一组给 2 分，写对二组给 3 分，全对给 4 分， （ 2）顶点字不对应的可不扣分 同样是答案有限可穷举型开放题
25、，本题的处理方法与例 3 大相径庭。我们注意到，本题在设问的方式上并没有使用在开放题中常见的“试尽可能多的写出”之类的语言，而是要求“把它们一一写出来”。从严格意义上来说，只要漏写或写错一个都不是对本题的正确回答，幸好命题在评分标准上作了开放性的处理，也有点像习惯上的“分步给分”原则。例3 只要求在 10 个答案中写出其中 3 个，即使只写出 1 个也相应地给分，起点比 较低；而在本题中，要求写出全部的答案，在第（ 1）题中写出 4个与 1 个都没有写出同样得 0 分，起点要求比较高；而第（ 2）题的答案是 3 个相似三角形，即使答出 2 对，也不能得分，起点要求就更高。可以说，这是一种用传统
26、试题设计思路来处理开放题，将开放题封闭化的一种第 8 页 尝试。作为试题的一种形式，可以丰富我们的考试题型，但我们认为这不宜作为开放性试题的典型方式进行提倡。但无论如何，命题者对开放题、对考试新题型的探索精神是非常可贵的。 【 例 4】 （ 2003 年江苏省淮安市中考数学 试题 ） 下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游 戏在两位同学之间进行 ,用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。 现在我们约定：“布”赢“锤子”得 9 分，“锤子”
27、赢“剪子”得 5 分，“剪子”赢“布”得 2 分。 (1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了 21 次，得 108 分，其中“剪子”赢“布” 7 次。聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？ （ 2）如果小明与某同学玩了若 干次，得了 30 分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表。 赢法一： “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的 次数 赢法二： “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的 次数 赢法三： “布”赢“锤子” “锤子”赢“剪子” “剪子”赢“布” 赢的 次数 将游戏引
28、入考试，这在数学开放题进入考试以前很难觅其踪影。本题的第（ 1）小道实质上是一道列方程解应用题的问题，但由于它贴近学生的生活，雕琢的痕迹比较少，显得比较自然，与 一些人为拼凑的、并没有什么实际意义的应用题相比，能让学生感到十分亲切。第（ 2）小题是一道开放题，数学化后就是求一个不定方程的非负整数解。共有以下 7 种答案：（ 0， 0， 15），（ 0， 2， 10），（ 0， 4， 5），（ 0， 6， 0），（ 1， 1， 8），（ 1，3， 3），（ 2， 0， 6），（ 2， 2， 1）。从其开放度上来看，是一道非常适合于考试题的开放题。由于 9， 5 都是奇数而 2 为偶数，所以前面两
29、个数的奇偶性相同，因此，要穷举本题的所有答案并不是很难。如果能在试题设计中，考虑对能够穷举答案，或者发现规律的考生给予特别的加分奖励，这道题就更完美了。 2 有限混沌型。 这类问题的答案从理论上讲可以肯定其是有限的，但或者是限于现有的认识水平难将其答案一一穷举、或者是人们觉得穷举这一工作不太有意第 9 页 义，其答案结构暂时是混纯的对于这种问题，追求答案的完美性，没有多大意义；相反，学生在解题过程中的活动与思考所带来的收获，却更有意义用这种类型开放题设计考试题有相当大的难度。 【 例 5】 （ 2001 年浙江省杭州市中考数学 试题 ） 如图， O 与 O1 外切于点 T， PT 为其内公切线
30、， AB 为其外公切线，且 A， B 为切点， AB与 TP 相交于点 P根据图中所给出的已知条件及线 段，请写出一个正确结论，并加以证明 本题按结论的难易程度评分，评分标准如下： （ 1）写出以下结论并给予证明的给 6 分 PA PT（或 PB PT）； PAT PTA（或 PBT PTB）； OAP OTP Rt （或 O1BP O1TP Rt） （ 2）写出以下结论并给予证明的给 8 分 PA PB PT（或 AB 2PT）； ATB Rt（或 ATB 为 Rt）； AOT APT 180（或 BO1T BPT 180）； OA O1B （ 3）写出以下结论并给予证明的给 10 分 OA
31、T PTB（ PTA O1BT） （ 4）写出以下结论并给予证明的给 12 分 PA PB OT O1T（或 PA PB OA O1B） 本题虽没有明确指出结论中不能含其他新添的辅助线，但题意要求针对图中所给的几何元素写出结论就有这个意思。所以其答案从理论上来讲是有限的，必要的话，也是可以穷举的。但由于图中总共有 11 条线段、19 个角、 5 个三角形，其各种组合是一个相当大的数，穷举工作并不是一件容易的事，也不太有必要，因此至今还没有人把本题的答案一一穷举出来。我们暂且把它看成是一道答案有限混沌型的开放题 。 本题的评分标准也很有特色，是一种有益的尝试。一般而言，答案有限混沌型的开放题不太适合用作考试题，在设计上有一定的难度，因此本题的尝试也就为设计答案有限混沌型的开放性试题提供了不可多得的经验。此外，本题的图形在初中平面几何是比较常见的，它与高中抛物线的焦点弦问题有关，是一个很好的素材。 3 无限离散型。 对这类问题的解答，通常是将其答案作适当的分类对每类答案列出典型的一种解法 (这相当于现代数学中，用作商集的方法研究某种结构 )对于这种类型的考试题，在给出参考答案时必须充分考虑答案的典型性。
