1、3.2.1 几类不同增长的函数模型（ 1） 课堂实录 新课引入 师： 在初中，我们学习了一些类型的函数，如： 生：一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等等 进入高中，我们继续学习了三中基本初等函数，它们是： 生：指数函数、对数函数、幂函数。 师： 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，在很多地方我们都可以找到函数的影子，你能不能举出一些例子来？ 生：打的时应付的车费和里程的关系中蕴涵了一个分段函数的例子，班级里的人和自己的座位之间有一种对应关系等 师： 在我们面临一个实际问题时， 应当如何选择恰当的函数 模型来刻画它？如果我们找到相应的数学模型后，又 如何去研究它的性质？ 例题剖析
2、例一 ：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种方案供你选择，这三种方案如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番； 请问，你会选择那种投资方案？ 师：请学生阅读题目，并思考 问题一：这里问如何选择投资方案，应从哪个方面考虑？ 生：应该从收益多少的角度来考虑 师： 问题二：每种方案中的回报效益与那些量有关系？能建立函数模型吗？每种方案 建立的函数模型分别是： 生： 方案一 y=40 方案二 y=10x 方案三 10.4 2xy 师： 问题三：建立函数模型以后，应该选择那种方案呢
3、？从哪个角度进行分析？ 提示：虽然得到了收益和时间的关系式，但是直接从关系式中要知道具体收益的多少不容易，于是可以根据关系式把某些天的具体情况得到。 师： 用手持计算器计算一下三种方案所得回报的增长情况，填写下面的表格。 生：分组合作，一个人操作手持计算器，一个人填表，完成下面的表格 x 元 方案一 方案二 方案三 y /元 增加量 /元 y /元 增加量 /元 y/ 元 增加量 /元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 师： 问题四：如何分析上面的表格，你得出什么结果？ 请同学回答 生：从表格中可以知道，方案三到后面增加的很快，于是选择方案三 师： 问题五：我们知道，函数图象是分
4、析问题的好帮手，为了从总体上把握三个方案的的增长情况，利用手持计算器 分别 画出 它们的图象来？对比得到的结果和前面的是否一致？ 分组合作，一个人操作计算器，一个人画图 生：得到图象 请小组讨论，并分析，回答用图象分析的结果和上面表格分析的结果是不是一致？ 生：由图象可知，选择方案三，和前面的结果一致。虽然方案三在起初的时候增加的比较缓慢，基本上看不到什么变化，但是在后面，它迅 速的增加起来，越来越快。比方案一和方案二要快的多。于是选择方案三 师：我们看到在经过了一段时间的积累以后，指数函数模型 10.4 2xy 会剧烈的增加起来，象是要爆炸一样。我们把呈指数函数模型增长的情况叫做指数爆炸。
5、师： 问题六：如果我们进行是短时间的投资，又该如何选择？ 生；看收益情况。 师：该从那里开始分析？ 生：由于是短时间的收益情况，我们可以把每种方案短时间内的收益做成一个表格，通过表格来分析。 师；给出表格 因此，投资 7 天以下 ( 不含 7 天 ) ，应选择方案一；投资 7 天，应选择方案一或方案二；投资 8 1 0 天， 应选择方案二；投资 11天（含 11 天）以上，则应选择方案三。表3 - 4 - 2回报( 元) 回报( 元) 回报( 元)1 40 10 0.42 80 30 1.23 120 60 2.84 160 100 65 200 150 12.46 240 210 25.27
6、 280 280 50.88 320 360 1029 360 450 204.410 400 550 409.211 440 660 818.812 480 780 163813 520 910 3276.414 560 1050 6553.215 600 1200 13106.816 640 1360 2621417 680 1530 52428.4x （天）方案二 方案三方案一请学生分析后，给出结果。 例二 ：某公司为了实现 1000 万元的利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）
7、的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%，现有三个奖励模型： 70 . 2 5 , l o g 1 , 1 . 0 0 2 xy x y x y ，其中 哪个模型能符合公司的要求？ 师： 问题一：根据问题要求，奖金数 y 应满足那几个要求？ 生：两个要求，第一，总数不超过 5 万元 第二，不超过 利润的 25% 师： 问题二：销售人员获得奖励，其销售利润 x 的取值范围大致如何？ 生： 10-1000 万元之间 师：问题三：确定三个模型中哪个能满足题目的要求？该如何确定？ 生：比较三个函数模型，看哪个模型中当利润在 10-1000 之间时，奖金数符合前面的两个要求
8、 师：请同学们在手持计算器上面画出三个模型的函数图象，同时为了满足第一个要求，需要多画出 y=5 的图象来师：从图象上我们可以得到什么结论？ 生：根据刚才分析，可以看出 模型中，奖金总数将会超过 5 万元，不选这个模型，同时 也会超过 5，也不选择它 师：回答的很好，为了更清楚的说明问题，我们还需要计算一下，请同学们计算，上面两种函数，分别在 x 为多少时超过 5 学生计算并回答 师：从图象上我们看到 模型中奖金没有超过 5 万元，那么此模型就一定满足题目的要求吗？ 生：还要看奖金有没有超过利润的 25%，可以根据 0.25yx ，也就是 7log 1 0.25xx 得到 7log 1 0.2
9、5x x 0 。 然后学生发现无法进行下去了 师：这是一个超越不等式，现在大家没有办法解，不过我们的手持计算器功能强大，如果我们建立一个函数： 7( ) lo g 1 0 .2 5xf x x ，可以画出图象观察 生：画图象 - 20120011001000900800700600500400300200100- 40- 60- 80- 100- 120- 140- 160- 180- 200- 220- 240- 260- 280- 3007( ) l o g 1 0 . 2 5xf x x xy 25.0xy 002.11log7 xy分析，从图象上可以看出，该函数是一个减函数，并且函数值
10、小于 0 于是知道 0.25yx 成立，该模型符合要求。 1 、 四个变量 随变量 变化的数据如下表：43,21 , yyyy x1.0051.015 11.046 11.140 71.429 52.310 75155130105805530533733175 8.294.47 8545053130200511305051305302520151050x1y2y3y4y51037.6 7102.1 81028.2 关于 x 呈指数型函数变化的变量是 。2y2 、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他 20 台未被感染病毒的计算机。现有 10 台计算机被第 1 轮病毒感染，问被第 5 轮病毒感染的计算机有多少台？由于时间关系，练习 2 没有讲完，留作思考。 课堂小结本节课通过对两个具体的例子说明不同函数模型有着不同的变化规律，让我们对 “ 指数爆炸 ”“ 直线上升 ”“ 对数增长 ” 这几类不同增长类型的函数有了一个感性的认识课本 P1 0 7 习题 3 . 2 A 组第 2 题 第 4 题
