证明若函数在有界闭区域上可积.doc

1. 证明:若函数在有界闭区域上可积,则在上有界. 证 设在上可积,故存在的分割使得 其中若在上无界,则对上述的分割必在某个小区域上无界. 当时,取定令因在无界,存在使得进而与(1)式矛盾,故在上有界. 2. 若为有界闭区域上的非负连续函数,且在上不恒为零,则 证 由题设,存在使而在上连续,由连续函数的保号性,存在使得进而有其中为区域的面积. 3. 若在有界闭区域上连续,且在内任一子区域上有则 证 直接用題2的结论即得. 4. 设在区域D上连续,试将积分化为(直角坐标下)不同顺序的累次积分:(1) 由不等式所确定的区域; 解 第一题图 第二题图(2) D是由抛物线与直线及轴所围成的区域.解 5.计算下列二重积分:(1)其中由抛物线与直线所围成的区域;解 (2) 其中为如图影部分;(3) 其中解 6.求由坐标平面及