1、关于奇解的若干探讨 摘 要：对于一阶常微分方程奇解的有关问题，本文针对有关一阶常微分方程奇解的定义和求法进行了系统的归纳和总结，列举了求奇解的两类方法；并根据 p-判别曲线求奇解的方法，讨论了克莱罗（ Clairaut）微分方程和两类特殊类型的一阶常微分方程的奇解以及奇解存在的充分条件。 下载 关键词：一阶常微分方程；奇解；包络； C-判别曲线； P-判别曲线 1.引言 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解，也可以由通解的表达式了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发
2、展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？ 如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 而奇解是微分方程的一种特殊的解，类似微分几何中的包络，奇解对应的积分曲线上每一点还有方程的另一个解存在，则存在唯一性定理被破坏。但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的
3、条件还有待进行更深入的探讨和研究。 2.奇解的定义及求法 2.1 奇解 的定义 我们知道对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 定义 1：微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一个点上还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一个点唯一性都不成立。或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。 2.2 奇解的求法 从奇解的定义容 易看出，奇解有两个特点： 奇解一定是原方程的解，但不
4、包含在通解的形式之中； 破坏了解的唯一性，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。 2.2.1 通过求通解的包络求奇解 定义 2：对于给定的一个单参数曲线族： lc： （ x， y， c） =0，其中cIR 为参数。若存在一条曲线 l满足下列条件： llccI ； 对任意的（ x0， y0） l ，存在唯一的 c0I ，使（ x0， y0）lc0 且 l与 lc0 在（ x0， y0）有相同的切线。 则称 l 为曲线族 lc： （ x， y， c） =0 的一条包络线，简称为包络。 从奇解的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解；反之，微分方程的奇解（如果
5、存在的话）也是微分方程的通解的包络。因而，为了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包络。 由微分几何学的知识可知，曲线族 x ， y， c=0 的包络包含在由下列方程组 x ， y， c=0， cx ， y， c=0 消去 c 而得到的曲线之中，此曲线称为C 判别曲线。 x ， y， c=0 的包络是 C 判别曲线，但 C 判别曲线未必是包络。因此从 C 判别 曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 x ， y， c=0 的包络，尚需按照定义作进一步的验证。 例 1：求方程 y=dydx2-xdydx+x22 的解。 解：令 dydx=p，得到 y=p2-xp+x22，（ 1） 两边
6、对 x 求导数，得到 p=2pdpdx-xdpdx-p+x， 或 dpdx-12p-x=0。 从 dpdx-1=0 解得 p=x+c， 并将它代入（ 1）得到方程的通解 y=x22+cx+c2。（ 2） 将（ 2）对 c求导，得到 x+2c=0，（ 3） 从（ 2），（ 3）中消去 c，得 y=x24， C 判别曲线。 y=x2 对于通解， y=x22+cx+c2.y=x+c 取 x=x0， x20 4=x20 2+ cx0 + c2x0 2= x0 + c c= -x02 对于 y=x24 上任意一点（ x0 ， x20 4）都有曲线族中的一条曲线 y =x22-x0 2x +x20 4 通
7、过 则如图 1， y=x24 是原方程的奇解。 图 1 2.2.2 通过存在唯一性定理被破坏求奇解 存在唯一性定理 如果 在点（ x0， y0， y0 ）的某一领域中 F （ x， y， y ）对所有变元（ x， y， y ）连续，且存在连续偏导数； F （ x0， y0， y0 ） =0； F （ x0， y0， y0 ） y0 . 则方程 F（ x， y， y ） =0 存在唯一解 y=y（ x）， x-x0h （ h 为足够小的正数）满足初始条件 y0=yx0， y0=yx0 。 由该定理知道，如果 Fx， y， y 关于 x， y， y 连续可微，则只要Fy0 就能保证解的唯一性，因此
8、，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程 Fx， y， y=0 ， Fx， y， yy=0 于是我们有下面结论：方程 Fx， y， dydx=0 的奇解包含在由方程组 Fx，y， p=0Fpx ， y， p=0 消去 p而得到的曲线中，这里 Fx， y， p 是 x， y， p的连续可微函数。此曲线称为方程 Fx， y， dydx=0 的 P 判别曲线。 我们知道方程的奇解包含在该方程的 P 判别曲线中，但 P 判别曲线未必是奇解。因此从 P 判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 Fx， y，dydx=0 的奇解，尚需作进一步的验证。具体求法将在下面的例子中体现出来。 例 2：求微分方程 xy
9、+y2 -y=0 的奇解。 解： 求 P-判别曲线： 由 F（ x， y， y ） =xy+y2 -y=0 及 Fy=x+2y=0 消去参数得 P-判别曲线 y=-14x2 把 y=-14x2 代入方程知 y=-14x2 是原方程的解； 又 原方程的通解为 y=cx+c2（原方程为克莱罗方程）， y=c 取 x=x0， -14x20 = cx + c2c = -x0 2 c= -x02 对于 y=-x24 上任意一点（ x0 ， -x20 4）都有曲线族中的一条曲线 y = -x0 2x +x20 4 通过 则 y=-x24 是原方程的奇解。 3.几类特殊微分方程奇解的求法 3.1 克莱罗微分
10、方程 形如 y=xp+f（ p）的方程，称为克莱罗（ Clairaut）微分方程，这里 p=dydx，f（ p）是 p的连续可微函数。 将 y=xp+f（ p）两边对 x 取导数，并以 dydx=p 代入，即得 p=xdpdx+p+f （ p） dpdx， 即 dpdx（ x+f （ p） =0. 如果 dpdx=0，则得到 p=c，将它代入原方程，得到 y=cx+f（ c）， c 是任意常数，这就是原方程的通解。 如果 x+f （ p） =0，将它与原方程合起来 x+f （ p） =0y=xp+f（ p） 消去 P也得到方程的一个解。可以验证此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方
11、程的通解是一直线族（在原方程中以 c代 p即得），此直线族的包络就是方程的奇解。 例 3 求微分方程 y=xp+1p（其中 p=dydx） 的奇解 . 解：此方程为克莱洛方程，因此其通解为 y=cx+ 1c 从 x-1c2=0y=cx+1c 中消去 c 得到 y2=4x 由前后的讨论知 y2=4x 为方程的奇解 . 3.2（ ）型特殊微分方程 形如 a（ x） dydx2-ydydx+b（ x） =0（其中 a（ x） 0 ， b（ x） 0 且有连续导数）的微分方程 对于微分方程 a（ x） dydx2-ydydx+b（ x） =0 （ ），其中 a（ x），b（ x）是连续可导的，且 a（
12、 x） 0 ， b（ x） 0 。 3.2.1 推导 令 p=dydx， Fx， y， p=a（ x） p2-yp+b（ x） =0Fp （ x， y， p） =2a（ x）p-y=0 消去 p 得到函数 =2d（ x），其中 d2（ x） =a（ x） b（ x） 0 。 则 =2d （ x） =a （ x） b（ x） +a（ x） bxd （ x） F（ x， ） =a（ x） 2 -?+b （ x） =a（ x） a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x） d（ x） 2-2d（ x） ?a （ x） b（ x）+a（ x） b （ x） d（ x） +b（ x） =a （
13、x） b（ x） +a（ x） b （ x） 2-2a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x） ?b（ x） +b2（ x） b（ x） =a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x） -b（ x） 2b（ x） 因此，当 a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x） -b（ x） =0时，是微分方程（ ）解。而且 F （ x， ） =2a（ x） ? -=2a（ x） ?a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x）d（ x） -2d（ x） =2ad（ x） a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x） -b（ x） =0 由此得到如下定理， 3.2
14、.2 定理 定理 1 对于微分方程 a（ x） dydx2-ydydx+b（ x） =0 （ ），假设 a（ x）， b（ x）是连续可导的，且 a（ x） 0 ， b（ x） 0 ，若满足条件 a（ x） b（ x） +a（ x） b （ x） -b（ x） =0，则微分方程（ ）有奇解 =2d（ x），其中 d2（ x） =a（ x） b（ x） 0 。 3.2.3 应用实例 例 4：方程 x4（ dydx） 2-ydydx+x3=0 有奇解 y=x2， 因为 a（ x） =x4， b（ x） =x3， a （ x） b（ x） +a（ x） b （ x） -b（ x） =14?x3+x4
15、?3x2-x3=0 奇解 y=2d（ x） =2?a（ x） ?b（ x） =2x4?x3=x2 3.3（ ） 型特殊微分方程 形如 y=a（ x） dydx2+b（ x） dydx+c（ x）（其中 a（ x） 0 ， b（ x） 0 ，c（ x）连续可导）的微分方程 对于微分方程 y=a（ x） dydx2+b（ x） dydx+c（ x） （ ），其中 a（ x），b（ x）， c（ x）是连续可导的，且 a（ x） 0 ， b（ x） 0 。 3.3.1 推导 这时，我们令 p=dydx， F（ x， y， p） =a（ x） p2+b（ x） p+c（ x） -y=0Fp（ x， y
16、， p） =2a（ x） p+b（ x） =0 消去 p 得到函数 =a（ x） d2（ x） +b（ x） d（ x） +c（ x），其中 d（ x） =-b（ x） 2a（ x） F（ x， ） =a（ x）（ ） 2+b（ x） ?+c （ x） - =a（ x）（ ） 2+b（ x） ?+c （ x） -a（ x） d2（ x） +b（ x） d（ x） +c（ x） = -d（ x） a（ x）（ +d （ x） +b（ x） 所以，当 -d（ x） =0 时，是微分方程（ ）的解，且 F （ x， ） =2a（ x） +b （ x） =2a（ x） d（ x） +b（ x） =0
17、因此，得到如下定理， 3.3.2 定理 定理 2 对于微分方程 y=a（ x） dydx2+b（ x） dydx+c（ x） （ ），假设 a（ x）， b（ x）， c（ x）是连续可导的，且 a（ x） 0 ， b（ x） 0 。若满足条件 -d（ x） =0，其中 d（ x） =-b（ x） 2a（ x），则微分方程（ ）有奇解 =a（ x） d2（ x） +b（ x） d（ x） +c（ x）， d（ x） =-b（ x） 2a（ x） 3.3.3 应用实例 例 5：方程 y=x4（ dydx） 2-xdydx 有奇解 4x2y+1=0 因为 a（ x） =x4， b（ x） =-x，
18、 d（ x） =-x2x4=12x3 =a（ x） d2（ x） +b（ x） d（ x） +c（ x） =x4?14x6+（ -x） ?12x3=-14x2 -d（ x） =0，所以奇解为 4x2y+1=0 通过以上几个定理可以看出，对（ ）（ ）型两类一阶微分方程，通常是利用奇解存在的必要条件求出可能是奇解的函数，并验证这些函数是不是奇解，过程比较繁琐；如果运用定理 1和定理 2这两个判定定理就能够迅速的判定方程有没有奇解，且可以直接写出奇解的形式。 4.结论 通过一阶常微分方程奇解的研究，对 奇解求法作了详细的分析和探讨，并针对奇解的求法给出了两类特殊一阶常微分方程 a（ x） dydx2-ydydx+b（ x）=0（ a（ x） 0 ， b（ x） 0 ）； y=a（ x） dydx2+b（ x） dydx+c（ x）（ a（ x）0 ， b（ x） 0 ）的奇解存在的条件，和其奇解的形式，得出了两个判定定理。运用所得的判定定理可以迅速地求奇解，从而简化求奇解的过程。（作者单位：湖北大学计算机与信息工程学院）
