1、 第二章 控制系统的数学模型 控 2.1 数学模型基础2.2 线性系统的微分方程2.3 线性系统的传递函数2.4 系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式End 本章作业1.定义：数学模型(mathematical model)是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。2.1 数学模型基础2.1 2.52.建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。2.
2、2 2.3 2.43.建模方法微分方程(differential equation)（或差分difference方程）传递函数(transfer function) （或结构图block diagram ）频率特性(frequency characteristics) 状态空间表达式（或状态模型state space model ）5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解 观察线性微分方程 性能指标传递函数时间响应 频率响应拉氏变换 拉氏 变换计 氏变换 S=j频率特性. 数学模型系统 研究 法研究分析法2.2.1 微分方程的列写 dticRiru 11111 dticcu 11rcc u
3、udtduCR 11, 2.2 线性系统的微分方程2.2 R1C1i1 (t)ur(t)uc(t)微分方程的 1） 定系统的 、 出变量 2） ， 的传递，各变量的物理定理 出各微分方程 3）currency1“间变量， 出 、 出变量的微分方程 ）变换成标式。2.52.1 2.32.42.2.2 2.2.3 2.2.4动fifl 量m在外F作 y(t)的运动方程。dttdyftF )()(1 )()(2 tkytF )()()()( 2122tFtFtFdt tydm )()()()(22tFtkydttdyfdt tydm )()()()( tutRitudttdiL rc dttictu
4、c )(1)()()()()(22tutudttduRCdt tudLC rccc 2.1 图机械 系统。R LCi(t)ur(t)uc(t)Fy(t)kfm 2.2 图RLC电， 以ur(t) 量，uc(t) 出量的”微分方程。整理得: 的 : 性: :返回动fifl 性(nonlinear)系统 性微分方程描述。)(2 tFykydtdyf )(tFkydtdyf )()( tFytkdtdyf 2.2.2 微分方程的类型 性定 系统 性微分方程描述,微分方程的系数是 数。 性系统的要性 性和性（ 性）。 r1(t) 出y1(t)， r2(t) 出y2(t) a r1(t)+b r2(t)
5、 出a y1(t)+by2(t) 性(linear)系统 性微分方程描述。 性 变系统 性微分方程描述，微分方程的系数是间而变 的。2.2.1 2.2.3 2.2.4xdxxdfyxx 0)(22200)()(!21)()(00xdx xfdxdxxdfxfyyyxxxxxdxxdfxfyyyxx 0)()(002.2.3 非线性元件微分方程的线性化差性 ： 数展 ， 以 数 。、 设：x,y在 （x0,y0) 变 ，x=x0+x, y=y0+y、 理 : ， 控制系统的 些 定的性特性，而性微分方程的求 。 些性特性在 定的工作 内，可以 性系统模型 ，性模型的性 。、数学方法2.2.1 2
6、.2.42.2.2 求方法法、拉氏变换法。 状态 、 。rcc uudtduCR 11)()()0()( 1111 sUsUuCRssUCR rccc )()(1.0)( sUsUssU rcc 11.0)1(1)( ssssUcttc eetu 1.01)(2.2.4 线性定常微分方程的求解R1C1i 1(t)ur(t)uc(t)例2.3 知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求 uc(t) 拉氏变换法求 1. 考虑初 条，对微分方程“的每 分别进行拉氏变换， 到变量s的代数方程 2. 求出 出量拉氏变换函数的表达式 3. 对 出量拉氏变换函数求 变换， 到 出
7、量的 域表达式，求微分方程的。解：)s(U)s(U)s(sUCR rcc11 1sCR1)s(U)s(U11rc初 条取拉氏变换2.2.1 2.2.32.2.2动fifl2.3.1 传递函数的定义)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdt trdbdt trdbtcadttdcadt tcdadt tcdammmmmmnnnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn2.3 传递函数 . 23 性定 系统在 初 条， 出量的拉氏变换与
8、 量的拉氏变换之比，传递函数。2.52.1 2.42.22.3.2 2.3.3 2.3.4”传递函数 Uc(s)/Ur(s).)()()()(22tutudttduRCdt tudLC rccc )()()()(2 sUsUsRCsUsULCs rccc 11)()()(2 RCsLCssUsUsGrc2.4 图RLC电，R LCi(t)ur(t)uc(t)LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)1) 传递函数是复变量s的 理真分式函数，分子多 式的数m 低于或等于分母多 的数n， 系数 数 2) 传递函数只取决于系统和 的结构，与 关 3) 传递函数与微分方程 相通性，可 单置换而转换 ) 传递函数的拉氏 变换是系统的脉冲 。5) 传递函数是在 初 条定义的，它只 系统的 状态特性 初 条 义要明 。 参见解: 1) 初 条取拉氏变换传递函数2) 变换到复频域来求。 传递函数的性
