1、2007年研究生入学考试数学二试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当 0x +时，与 x等价的无穷小量是（A）1 e x- （B） 1ln1 xx+- （C） 1 1x+ - （D）1 cos x- （2）函数 1(e e)tan( )e exxxf xx+=骣 -琪桫 在 ,p p- 上的第一类间断点是x = （）（A）0 （B）1 （C） 2p- （D）2p（3）如图，连续函数 ( )y f x= 在区间 3, 2 , 2,3- - 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 2,0
2、, 0,2- 的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0( ) ( )dxF x f t t= ，则下列结论正确的是：（A） 3(3) ( 2)4F F= - - (B) 5(3) (2)4F F= （C） 3(3) (2)4F F= （D） 5(3) ( 2)4F F= - - （4）设函数 ( )f x 在 0x = 处连续，下列命题错误的是：（A）若0( )limxf xx 存在，则 (0) 0f = （B）若 0( ) ( )limxf x f xx+ - 存在，则 (0) 0f =.（B）若0( )limxf xx 存在，则 (0) 0f = （D）若 0( ) ( )limxf x
3、f xx- - 存在，则 (0) 0f = . 1（5）曲线 ( )1 ln 1 exy x= + + 的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）设函数 ( )f x 在(0, )+ 上具有二阶导数，且 ( ) 0f x ，令 ( )nu f n= ，则下列结论正确的是： (A) 若 1 2u u ，则 nu 必收敛. (B) 若 1 2u u ，则 nu 必发散 (C) 若 1 2u u + 下 、xfi上 的无fl区 .（）求区 Dxfi一周所 的积 ( )V a （）当a为”时， ( )V a 小求 小”.（19）（题分10分）求微分 2( )y x y y
4、+ = “ 条件 (1) (1) 1y y= = 的 （20）（题分11分）函数 ( )f u 具有二阶导数，且 (0) 1f = ，函数 ( )y y x= 1e 1yy x - = 所确，设 ( )ln sinz f y x= - ，求20 02d d,d dx xz zx x= = .（21） (题分11分)设函数 ( ), ( )f x g x 在 ,a b 上连续，在( , )a b 内具有二阶导数且存在相等的”，( ) ( ), ( ) ( )f a g a f b g b= = ， ：存在 ( , )a bx ， ( ) ( )f gx x = .（22） (题分11分)3设二元
5、函数22 2, | | | | 11( , ) , 1 | | | | 2x x yf x y x yx y+= ， 1 2ln1 0 ln 2u u= - = - = ， ( ) lnf n n= - 发散，则可 （A）取 21( )f x x= ， 46( ) 0f x x = ， 1 211 4u u= = ， 21( )f n n= 收敛，则可 （B）取 2( )f x x= ， ( ) 2 0f x = ， 1 21 4u u= - - .任 ( )1,x x ，为 ( ) 0f x ，所 1( ) ( ) 0f x f cx ，任 ( )2 1,x x ， ( )1 2 1( )
6、( ) ( ) ( )f x f f x xx x x= + - + .选（D）. 于含有抽象函数的问题， 举符合题设条件的函数的 可 .类 题 登强 班笔记高等数学 第1讲 24，数学 （ 类）第一 1.22.7.分题考查二元函数可微的充分条件. 可微的条件 可微与连续，偏导的关 .7 题 可 ，（A）是函数在( )0,0 连续的 （B）是函数在( )0,0 处偏导数存在的条件（D） 一阶偏导数 (0,0), (0,0)x yf f 存在， 能推导出两个一阶偏导函数 ( , ), ( , )x yf x y f x y 在点(0,0) 处连续，所 （A）（B）（D） 能保( , )f x y
7、 在点( )0,0 处可微. 选（C）.上， ( ) 2 2( , ) 0,0( , ) (0,0)lim 0x yf x y fx y- =+ 可22 20 0( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)lim lim 00x xf x f f x f xx xx- -= +， (0,0) 0,xf =有(0,0) 0.yf =从 0 ( , ) (0,0) ( (0,0) (0,0) )lim x yf x y f f x f yr rD D - - D + D= 2 20 0( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim lim 0( ) ( )f x y f f x y fx
8、yr rrD D - D D -= =D + D . 可微的条件可函数 ( , )f x y 在点( )0,0 处可微， 选(C). 二元函数连续偏导数存在 能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微.类 题 登强 班笔记高等数学 第9讲 3 5，数学 （ 类）第一 8.11.8,分题更 二次积分的积分次序， 二次积分确积分区 ，然后 出新的二次积分. 题设可， ,sin 12 x x yp p ，则0 1, arcsiny y xp p- ，选（B）. 题为 题. 画图更易看出.类 题 登强 班笔记高等数学 第10讲 5，数学 （ 类）第一 10.6， 10.7.9.分题考查线性无关的向量组
9、 1 2 3, ,a a a 构造的另一向量组 1 2 3, ,b b b 的线性相关性. 一般令( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , Ab b b a a a= ，若 0A = ，则 1 2 3, ,b b b 线性相关8若 0A ，则 1 2 3, ,b b b 线性无关. 考虑到题备选项的征，可 currency1的线性运到正确选项. ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 1 0a a a a a a- + - + - = 可 选（A）.者为( ) ( )1 2 2 3 3 1 1 2 31 0 1, , , , 1 1 00 1 1a a a a a a a a a-
10、骣琪- - - = -琪琪-桫， 1 0 11 1 0 00 1 1- =-，所 1 2 2 3 3 1, ,a a a a a a- - - 线性相关， 选（A）. 题 可 赋” 求 ，如取 ( ) ( ) ( )T T T1 2 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1a a a= = = ， 求出（A），（B），（C），（D）中的向量分别组 一个矩阵，然后 矩阵的 行列式是否为零可立 到正确选项.完全类 题 登强 班笔记线性 数 第3讲 3，数学 （ 类）第二 3.3.10.分题考查矩阵的合 关 与相 关 之间的联 ，只要求A的征”，考虑到 称矩阵A必可经正交变 之相 于 角阵，便可
11、到 . 22 1 11 2 1 ( 3)1 1 2E All l l ll- = - = -可 1 2 33, 0l l l= = = ，所 A的征”为3,3,0 B的征”为1,1,0.所 A与B 相 ， 是A与B的 为2，且正惯性数都为2，所 A与B合 ， 选（B）. 若矩阵A与B相 ，则A与B具有相 的行列式，相 的 和相 的征”.所 A与B的征”可立 （A）（C）.完全类 题 数学 （ 类）第二 5.17.11分题为00未式的求 ， 洛必达 则 可. 23 20 01 cosarctan sin 1lim lim3x xxx x xx x- +=2201 cos (1 )lim3xx x
12、x- +=202 cos sin (1 ) 1 1 1lim6 3 6 6xx x x xx- + += = - + = - . 题 了洛必达 则. 题还可 泰勒级数展开 .9为 3 3 3 31 1arctan ( ), sin ( )3 6x x x o x x x x o x= - + = + + ，所 30arctan sin 1lim6xx xx- = - .完全类 题 登强 班笔记高等数学 第1讲 17，数学 （ 类）第一 1.31.12.分题考查参数 的导数 导数的几 . 为4 4d cos 2d sin 2cos sin 2 2t ty tx t t tp p= = = - -
13、 + ，所 曲线在 于 4t p= 的点的切线 为 22 2- + ，曲线在 于 4t p= 的点的 线 为2 22+ . 题为 题.类 题 登强 班笔记高等数学 第2讲 15和 16，数学 （ 类）第一 2.8.13.分题求函数的高阶导数， 递推 函数的麦克老林展开式. ( )21 2,2 3 2 3y yx x= = -+ + ，则( )1( 1) 2 !( )(2 3)n nnnny xx +-=+ ， ( )1( 1) 2 !(0)3n nnnny+-= . 题为 题.完全类 题 登强 班笔记高等数学 第2讲 21，数学 （ 类）第一 2.26， 2.27.14.分题求 二阶 数 次微分 的 ， 二阶 数 次微分 的结构求 ， 求出 次 的 Y，然后求出 次微分 的一个 *y ，则 为 *y Y y= + . 次 的征 为2 1 24 3 0 1, 3l l l l- + = = ，则 次 的 为 31 2e ex xy C C= + .设原 的 为 2* e xy A= ， 入原 可2 2 2 24 e 8 e 3 e 2e 2x x x xA A A A- + = - ，10
