1、 数学试题答案（理科）第 1 页（共 10 页） 2016年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题 (理科 )参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C D B B A B D A C 1. 解析： 2 1 0 1 2P ， ， ， ， 0 1 2,3Q ， ， ， PQ= 0 1 2， ， . 2. 解析： i 2 1 ( 2 )i2 i 5a a a ， 2 1 2aa ， 3a . 3. 解析： 若 CBA ，则 .2C 但反之不然 . 4. 解析 : 609.72016ln ， 8e 2016 8i 时，符合 2016
2、a ， 输出的结果 8i . 5. 解析 : 由 1 1nnaa ， 得1 21 2 ( )n n na a a .由于 数列 1na 是等比数列， 所以 2 1 ，得 2 . 6. 解析 : 由图象可知 2A ， 3 11 34 12 6 4T ，所以 T ，故 2 . 由 11( ) 212f ，得 2 3k （ Zk ） . 2 3 所以 ( ) 2 sin (2 )3f x x . 由 2 ( 2 2 )3 2 2x k k ，（ Zk ）， 得 5()1 2 1 2x k k ， （ Zk ） . 或： 3 11 34 12 6 4T ，所以 T ， 6 4 6 4 1 2T ， 5
3、6 4 6 4 1 2T ，所以 ()fx 的 单 增 区间 是 5()12 12kk，（ Zk ） . 数学试题答案（理科）第 2 页（共 10 页） 7. 解析： ( ) 3 4 c o s s inf x x x ， ( ) 4 s in c o s 0f x x x ， 004 sin cos 0xx， 所以 00 3)( xxf ，故 00( ( )M x f x， 在直线 xy 3 上 . 8. 解析： DE BF 221 1 5 1 1 5( ) ( )2 2 4 2 2 4C B C D C D C B C B C D C D C B . 由 2CD AB， 1BC AD，可得
4、 1cos 2CB CD ， ， 所以 3CB CD ， ， 从而 3AB AD ， . 9 解析： 如图， 先 作 出点 ()Px y， 所在的平面区域 . 22 )1( yx 表示 动点 P 到定点(0 1)Q ， 距离的平方 . 当点 P 在 ( 10)， 时 ， 2 2PQ ，而点 Q 到直线 012 yx 的距离的平方为 9 25 ； 当点 P 在 (02)， 时，离 Q 最远， 92PQ . 因此 22 )1( yx 的最大值为 9 ，最小值为 95 . 10. 解析： 显然 PF PA ， PF AF ，所以由 PAF 是 等腰 三角形 得 PA AF . 易知 A ( 0)a，
5、 ， P 2()a abcc， ，所以 2 2 2 2( ) ( ) ( )a a ba c acc ， 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )aaa c c a c acc 22( ) ( ) 1a a c ac c c a 221 1 1 11ee e e . 解得 2e . 11. 解析 : 该 几何体 是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图 所示 ，则其体积为 ： 611111213121221 V . 数学试题答案（理科）第 3 页（共 10 页） 12. 解析 ：001() 1 111 xxxfxx ， ，. 作函数 ()y f x 的图象，如图所示 . 函数
6、()gx 零点的个数 函数 ()y f x 的图象与直线 4y mx m交点的个数 . 当直线 4y mx m过点 (11)， 时， 15m；当直 线 4y mx m与曲线 1 11y x （ 01 x ） 相切时，可求得 1m . 根据图象可知当 15m 或 1m=- 时，函数 ()gx 在区间 ( 11)，- 上 有且仅有一个 零点 . 二 、 填空 题 题号 13 14 15 16 答案 1 160 2 9 13. 解析： 抛物线 2 6yx= 的准线 32x=- ， 圆心 ( 21)，- 到其距离等于 31( 2)22- - - = . 又 弦长等于 3 ， 所以 则该圆的半径为 22
7、13( ) ( ) 122+=. 14. 解析： 展开后的通项是 nmnmnmm xxCC 333 )4()4(， 当 nm 时为常数 . 于是 mmmmmmnmnmn mm xxCCxxCC 2333333 )4()4()4()4( . 若 0m ，则 3( 4) 64 ；若 1m ，则 1132 4 ( 4) 96CC . 故常数项是 .1609664 或： 63 )2()44(xxxx 展开后的通项是 数学试题答案（理科）第 4 页（共 10 页） kkkkkk xCxxC 26666 )()2()2()( . 令 6 2 0k，得 3k . 所以常数项是 336 ( 2) 160C .
8、 15. 解析： 如图，因为 平面 BDC 平面 ABD （ 折成直二面角） ， 所以 AB 平面 BDC ， CD 平面 ABD ， 得 .ADCDBCAB ， 取 AC 的中点 O ，则 ODOCOBOA . 于是外接球的球心 是 O ， 12OA AC ， 2214OA AC . 而 .21)24(212 2222222 BDABBDABBCABAC 所以 半径 .4221 ACOA 于是 外接球的表面积为 24 2S OA . 16. 解析： 1 2 121 ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 )2 nn n n nn a aa S a n a ， 2 (2 1)nna n a 21n
9、an ， Nn . 8nnan 就是 ( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 5nn nnn . 82 15n n 在 1n 时单调递增，其最小为 9，所以 9 ， 故实数 的最大值为 9. 数学试题答案（理科）第 5 页（共 10 页） 三、解答题 17 解析：（） 在 ABC 中 ， 根据正弦定理， 有sin sinA C D CA D C D A C. 因为 3AC DC ，所以 3sin 3 sin 2A D C D A C . 又 6060 BB A DBA DC 所以 120ADC. 3 分 于是 3030120180 C ，所以 60B . 6 分 （）设 DC x ，则 2BD
10、x ， 3BC x ， 3AC x . 于是 3sin 3ACB BC， 6cos 3B ， .6xAB 9 分 在 ABD 中，由余弦定理 ， 得 2 2 2 2 c o sA D A B B D A B B D B ， 即 2 2 2 26( 2 2 ) 6 4 2 6 2 23x x x x x ，得 2x . 故 .2DC 12 分 18 解析： （） 证明： G/ GA EF A 与 EF 共面 . 由 平面 /ADE 平面 /B C F G A E F G 四边形 AEFG 为平行四边形 . 连接 AF 交 EG 于 M ，连接 AC ， BD 交于 O ， 连接 MO ，如图 1
11、 所示 . 则 /MO CF ，且 12M O CF BG， 故 BOMG 为平行四边形 ，所以 /MG BO . 又 BO 平面 ABCD ， MG 平面 ABCD ， 所以 /MG 平面 ABCD ，即 /EG 平面 ABCD . 6 分 （） 解法一、 数学试题答案（理科）第 6 页（共 10 页） C F A B C D C F D BA B C D B D A CC F A C A B C D C F A C O 平 面四 边 形 是 菱 形面 且、 BD AC F平 面 .由 （） 知 /EG BD ，所以 EG AC F 平 面 A E F G A C F平 面 平 面. 因为
12、平面 AEFG 平面 =ACF AF ， C 平面 ACF ， 所以点 C 在 平面 AEFG 内的射影落在 AF 上，故 FC 与 平面 AEFG 所成的角 就是 AFC . 在 RtAFC 中，5542 2s in 22 AFACA F C， 所以 FC 与平面 AEG 所成角的正弦为 55 . 12 分 解法二、 由 （） 易知， .2 BGDE 以 O 为坐 标原点， 分别以 直线 AC 、 BD 为 x 、 y 轴 ， 建立空间直角坐标系 xyzO ， 如图 2 所示 . 则有 (1 0 0)A ， ， 、 (0 3 2)E ， ， ， (0 3 2)G ， ， ， ( 1 0 0)
13、C ， ， ， ( 1 0 4)F ， ， ， 所以 ( 1 3 2 )AE ， ， (0 2 3 0)EG ， ， (0 0 4)CF ， ， . 设 面 AEG 的法向量为 ()n x y z ， ， ， 由 n AE ， n EG ， 得 3 2 02 3 0 .x y zy ， 令 1z ，则 2x ACF =C 数学试题答案（理科）第 7 页（共 10 页） 所以 (2 0 1)n ， ， ， 于是 45c o s545n CF ， . 10 分 故 直线 CF 与平面 AEG 所成角的正弦值 为 .55 12 分 19. 解析： （）因为 22 4 0 0 (6 0 1 2 0 1
14、 4 0 8 0 ) 4 0 0 4 . 3 9 5 6 3 . 8 4 11 4 0 2 6 0 2 0 0 2 0 0 9 1K ， 所以有 95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关 . 5 分 （）因为 140 :120 7 : 6 ，所以 13人中有老年人 7 人，中青年人 6 人 . 那么 2000X ， 1500 ， 1000 . 7 分 26213C 5( 2 0 0 0 ) C 2 6PX ， 1176213CC 7( 150 0) C 13PX ，27213C 7( 1 0 0 0 ) C 2 6PX ， 所以 X 的 分布列为 X 2000 1500 100
15、0 P 526 713 726 所以 5 7 7 1 9 0 0 02 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 1 4 6 22 6 1 3 2 6 1 3EX . 12 分 20. 解析： ( )圆 A 的圆心为 ( 3 0)A ， ，半径 1 4r . 设动圆 M 的 半径为 2r ，依题意有 2 |r MB 由 | | 2 3AB ，可知点 B 在圆 A 内，从而圆 M 内切于圆 A ，故 12|MA r r， 即 | | | | 4MA MB32 . 所以 动 点 M 的轨迹 E 是以 A 、 B 为焦点 ，长轴长为 4 的椭圆 ， 数学试题答案（理科）第 8 页（共 10 页）
16、其方程为 14 22 yx . 5 分 ( ) 设直线 l 的方程为 ( 0)y kx b k ， 联立2244y kx bxy ， ， 消去 y 得， 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k b x b ， 2216(4 1)kb . 设 11()P x kx b， ， 11()Q x kx b， ， 则12 2814kbxx k ， 212 24414bxx k . 7 分 于是 QNPN kk 1 2 1 2 1 21 2 1 12 ( 4 ) ( ) 84 4 ( 4 ) ( 4 )k x b k x b k x x k b x x bx x x x ， 由 ONP ONQ
17、知 0 QNPN kk . 即 21 2 1 2 224 4 82 ( 4 ) ( ) 8 2 ( 4 ) 81 4 1 4b k bk x x k b x x b k k b bkk 3 2 2228 8 3 2 8 801 4 1 4k k k b k b bkk ，得 bk ， 216(3 1) 0k . 故动直线 l 的方程为 y kx k，过定点 (10)， . 12 分 21. 解析： （ ） 因 为 ( ) 2( 1)f x x ， 2 ln() axgx x ， 2 分 所以 ( ) 2( 1)f e e ， 2 ln 2() a e age ee . 由 ( ) ( )f e
18、 g e ，得 2a e e. 5 分 （ ） 222( ) 2 ( 1 ) m x x mh x x xx ， 0x . 因为 ()hx 有两个极值点 1x ， 2x ， 所以 1x ， 2x 是方程 22 2 0x x m 的两个实数根 ， 数学试题答案（理科）第 9 页（共 10 页） .121 xx 而 120 xx， 所以 121 2x . 因为 22222m x x ， 所以 222 2 2 2 2( ) ( 1 ) ( 2 2 ) l nh x x x x x . 8 分令 ()t 22( 1) (2 2 ) lnt t t t ， 121 t . 则 2 1( ) 2 ( 1
19、) ( 2 4 ) l n ( 2 2 ) 2 ( 1 2 ) l n 0t t t t t t t tt ， 所以 ()t 在 1( 1)2， 内是增函数 . 于是 1 1 2 ln 2( ) ( )24t ， 即2 1 2 ln 2() 4hx . 12 分 22 解析：（）如图，连接 OD . 因为 O 是 AB 的中点， D 是 BC 的中点， 所以 OD / AC . 因为 ACDE ，所以 ODDE ， 所以 DE 是 O 的切线 . 5 分 （）因为 AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上，所以 BCAD . 又 D 是 BC 的中点，所以 AB AC= . 故 30 BAC
20、D . 因为 ACDE ，所以 30ADE . 在直角三角形 AED 中， 30tanDEAE ； 在直角三角形 DEC 中， 30sinDCDE . 于是 633321 DEAE . 10 分 23 解析：（） 当 2a 时， 直线 l 的 普通 方程为 1x=- ； 当 2a 时， 直线 l 的 普通 方程为 (tan )( 1)yxa=+. 2 分 由 cos2 ，得 cos22 ， 所以 222x y x+= ，即为曲线 C 的直角坐标方程 . 4 分 （）把 atx cos1 ， sinyta= 代入 222x y x+= ，整理得 数学试题答案（理科）第 10 页（共 10 页）
21、2 4 cos 3 0tt a- + =. 由 012c o s16 2 ，得 2 3cos 4=a ，所以 3cos 2=a 或 3cos 2=a - ， 故直线 l 倾斜角 为6或 56 . 10 分 24 解析：（） 2a 时， 1)( xf 就是 .123 xx 当 2x 时， 3 2 1xx ，得 51 ，不成立； 当 23x 时， 3 2 1xx ， 得 0x ， 所以 30 x ； 当 3x 时， 3 2 1xx ， 即 51，恒成立， 所以 3x . 综上可知， 不等式 1)( xf 的解集是 (0 )， . 5 分 ( ) 因为 ( ) 3 ( 3 ) ( ) 3f x x x a x x a a ， 所以 )(xf 的最大值为 3a . 对于任意实数 x ，恒有 ( ) 2f x a 成立等价于 32aa . 当 3a 时， 32aa ， 得 3a ； 当 3a 时， 32aa ， 1a ，不成立 . 综上，所求 a 的 取值范围是 3 )， 10 分
