1、四、简谐振动习题4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 0d2t描述时，其所作的运动就是谐振动(1)拍皮球时球的运动不是谐振动第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动
2、中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点 ；而小球在运动中的回复力为 ，如题4-1图(b)Osinmg所示题 中所述， ，故 0，所以回复力为 .式中负号，表示回SRS复力的方向始终与角位移的方向相反即小球在 点附近的往复运动中所受回复力为线性的若以小球为对象，则小球在以 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 mgtR2d令 ，则有Rg20d2t4
3、-2 劲度系数为 和 的两根弹簧，与质量为 的小球按题4-2图所示的两种方式连 1k2m接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 ，设串联弹簧的等21F效倔强系数为 等效位移为 ，则有串Kx1xkF串 22又有 1x21kF串所以串联弹簧的等效倔强系数为 21k串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 的弹簧振子系统，)/(21k故小球作谐振动其振动周期为 21)(2kmkT串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有 ，即 ，设并联F21x弹簧的倔强系数为 ，则有并k21xkxk并故 并同上理，其振动周期
4、为 21kmT4-3 如题4-3图所示，物体的质量为 ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹簧的倔强系数为 ，滑轮的转动惯量为 ，半径为 先把物体托住，使弹簧维持原长，kIR然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期题4-3图解：分别以物体 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位m置为坐标原点，沿斜面向下为 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 时，有x x21dsintxmTgIR21tx2d)(02xkT式中 ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kmgx/sin0kxRtImR2d)(令 I2则有 0d2xt故知该系统是作简谐振动，其振动周期
5、为 )/2(22KRImkRIT4-4 质量为 的小球与轻弹簧组成的系统，按 的规kg103 )SI(38cos(1.0x律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3) 与 两个时刻的位相差；s52t1t解：(1)设谐振动的标准方程为 ，则知：)cos(0tAx3/2,s412,8,m1.00TA又 .vs5.m2632am(2) N.0FJ10.212mvE58kp当 时，有 ，pkE即 )21(2kAkx m0(3) 32)15(8)(12t4-5 一个沿 轴作简谐振动的弹簧振子，振
6、幅为 ，周期为 ，其振动方程用余弦函数xAT表示如果 时质点的状态分别是：0t(1) ；A(2)过平衡位置向正向运动；(3)过 处向负向运动；2x(4)过 处向正向运动试求出相应的初位相，并写出振动方程解：因为 00sincoAvx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有 )2co(1 tTx3s23)c(3tAx452os45T4-6 一质量为 的物体作谐振动，振幅为 ，周期为 ，当 时位移kg103cm24s0.4t为 求：cm24(1) 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；s5.t(2)由起始位置运动到 处所需的最短时间；c2x(3)在 处物体的总能量1
7、x解：由题已知 s0.4,142TA 1rad5.又， 时，0t 0,x故振动方程为 m)5.0cos(1242tx(1)将 代入得s5.0t .17).(25.0 tN02.4.0)2(133 xmaF方向指向坐标原点，即沿 轴负向x(2)由题知， 时， ，0t时 t 3,2tvAx故且 s2/(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 J10.7)24.0()214322AmkE4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为 的物体时，伸长为 用这个弹簧和一个质gc9.量为 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开 后 ，给予向上的初速g0.8 m01度 ，求振动周期和
8、振动表达式1scm5v解：由题知 1231 N.09.480xk而 时， ( 设向上为正)0t -1202sm.5,1. vx又 6.,8.3Tmk即102)510.().(22202vxA4,.5tan00 即xv m)5cos(12t4-8 图为两个谐振动的 曲线，试分别写出其谐振动方程tx题4-8图解：由题4-8图(a)， 时，0t s2,cm10,23,0, TAvx又即 1srad2T故 )co(1.txa由题4-8图(b) 时，0t 35,0,20vA时，01t ,11vx又 2 65故 mtxb)35cos(1.04-9 一轻弹簧的倔强系数为 ，其下端悬有一质量为 的盘子现有一质
9、量为 的物kMm体从离盘底 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动h(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程解：(1)空盘的振动周期为 ，落下重物后振动周期为 ，即增大kM2kmM2(2)按(3)所设坐标原点及计时起点， 时，则 碰撞时，以 为一系统0tgx0 ,动量守恒，即 0)(2vmgh则有 Mv0于是 gmkhkgmghvxA)(21)(2)()(202（3） (第三象限)，所以振动方程为Mxv(tan0 gmMkhtmkgkh
10、kmg )(2arcncos)(214-10 有一单摆，摆长 ，摆球质量 ，当摆球处在平衡位置时，0.l g103若给小球一水平向右的冲量 ，取打击时刻为计时起点 ，4sk.1tF )0(t求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程解：由动量定理，有 0mvt 1-34s.1. tFv按题设计时起点，并设向右为 轴正向，则知 时， 0x0t 10sm.,vx 2/30又 1srad3.0189lg m102.3.)( 30220 vxA故其角振幅 rad.3lA小球的振动方程为 r)21.cos(02.33t4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 ，位相与第一振动m0.
11、的位相差为 ，已知第一振动的振幅为 ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两6m7.振动的位相差题4-11图解：由题意可做出旋转矢量图如下由图知 01. 2/3.017.2).(73(3cos212AA m2设角 ，则为OA1 cos2121AA即 0.073.)2().0(cos21 即 ，这说明， 与 间夹角为 ，即二振动的位相差为 .21A224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1) (2)cm)37cos(521tx cm)34cos(521tx解： (1) ,3712合振幅 cm1021A(2) ,34合振幅 4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 m)652cos(3.0421tx试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解： )( 1.021A合 365cos.s4.0inicossinitan212 A 6其振动方程为 m)2cos(1.0tx(作图法略)*4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 方向的振x动方程为 ，求 方向的振动方程cm2os6txy题4-14图解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 或 ；又，轨道是按顺时针方向23旋转，故知两分振动位相差为 .所以 方向的振动方程为2ycm)cos(1t
