南通二模数学答案.doc

1、数学参考答案及评分建议 第 1 页 （共 13 页）南通市 2014 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 已知集合 ，则 31Axx AR【答案】 12 某学校有 8 个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 【答案】 183 复数 （其中 i 为虚数单位）的模为 iz【答案】 24从编号为 0，1，2，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是 5 的样本，若编号为 28 的产品在样本中，则该样本中产品

2、的最大编号为 【答案】765 根据如图所示的伪代码，最后输出的 的值为 a【答案】486 若 ，则 a 的取值范围是 12loga【答案】 4+，7 若函数 为奇函数，其图象的一条切线方程为 ，则 b 的值为 32()fxabx 342yx【答案】 8. 设 l，m 表示直线，m 是平面 内的任意一条直线则“ ”是“ ”成立的 条lml件（在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选填一个）【答案】充要1a2iWhle6iiEndwlPrita（第 5 题）数学参考答案及评分建议 第 2 页 （共 13 页）9 在平面直角坐标系 xOy 中，设 是半圆 ：

3、（ ）上一点，直线 的倾斜角为AO2xy0x OA45，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，过 作 的平行线交半圆于点 ，则直线 的方程AxHAB是 【答案】 310xy10在ABC 中，D 是 BC 的中点，AD 8，BC20，则 ABC的值为 【答案】3611设 x，y，z 是实数，9x ， 12y，15z 成等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 的值是 1xyzxz 【答案】 341512设 是函数 的一个零点，则函数 在区间 内所有极值点之和为6()sin2fx()fx02， 【答案】 14313 若不等式(mx 1) 3m 2( x + 1)m10 对任意 恒成立，则实数 x 的值为 (0

4、)m，【答案】114设实数 a，b，c 满足 a2b 2 c1，则 abc 的最小值为 【答案】 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，已知 求：916ABCB，（1）AB 的值；（2） 的值sin()【解】 （1） （方法 1）因为 ， 4916AC，分所以 ， 4 分625ABC数学参考答案及评分建议 第 3 页 （共 13 页）PA BCDE（第 16 题）PA BCDE（第 16 题）FM即 ，亦即 ，故 7 分25ABC25AB（方法 2）设 A，B，C 的对边依次为

5、 a，b，c，则由条件得 3cos9cos16ba，分两式相加得 ，即 ，故 7(cs)25AB2c5ABc分（方法 3）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，则由条件得 3cos9cos16baB，分由余弦定理得 ，2222116ccab，两式相加得 ，故 7 分55AB（2） 10sin()sinosiniCC分由正弦定理得 14si()csonABabA22cso16975aBbAc分16 （本小题满分 14 分） 在四棱锥 P ABCD 中，AB DC，AB平面 PAD， PDAD，AB2DC，E 是 PB 的中点求证：（1）CE平面 PAD；（2）平面 PBC平面 PAB【证】

6、（1） （方法 1）取 PA 的中点 F，连 EF，DF 2 分因为 E 是 PB 的中点，所以 EF / AB，且 1EAB因为 ABCD，AB 2DC ，所以 EFCD， 4 分，于是四边形 DCEF 是平行四边形， FCD从而 CEDF，而 平面 PAD， 平面 PAD，EDF故 CE平面 PAD 7 分（注：少一个条件扣 1 分）数学参考答案及评分建议 第 4 页 （共 13 页）方法二：延长 BC 与 AD 相交于点 G-可参照上述标准给分（方法 2）取 AB 的中点 M，连 EM，CM 2 分因为 E 是 PB 的中点，所以 EM / PA因为 ABCD，AB 2DC ，所以 CM

7、 / AD 4 分因为 平面 PAD， 平面 PAD，PA所以 EM平面 PAD同理，CM平面 PAD因为 ， 平面 CEM，EMCECM，所以平面 CEM平面 PAD而 平面 PAD，故 CE平面 PAD 7分（2） （接（1）中方法 1）因为 PDAD ，且 F 是 PA 的中点，所以 DFPA因为 AB平面 PAD， 平面 PAD，所以 10 分DFDAB因为 CEDF，所以 ， CEPA因为 平面 PAB， ，所以 平面 PAB PAB， BCE因为 平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAB 14E分17 （本小题满分 14 分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每

8、喷洒 1 个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 (单位：天)变化的函数关系式近似为x16048512yx， ， 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用（1）若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天? （2）若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a（ ）个单位的药剂，要使接14 下来的 4 天中能够持续有效净化，试求 的最小值（精确到 0.1，参考数据： 取21.4） 数学参考答案及评分建议 第 5 页 （共 13

9、页）【解】 （1）因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，所以浓度6048()21xxfxy， ， 则当 时，由 ，解得 ，所以此时 304 4 0 04x 分当 时，由 解得 ，所以此时 1x 20x 8 48x综合得 ， 若一次投放 4 个单位的制剂，则有效净化时间可达 8 天 7 分08 （2）设从第一次喷洒起，经 x（ ）天，610 浓度 101616()25 (4)48()aagxaxx分因为 ，而 ，14x， 14 所以 ，故当且仅当 时，y 有最小值为 .8a， xa84a令 ，解得 ，所以 a 的最小值为 14 分84 24164 216.18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标

10、系 xOy 中，设曲线 C1： 所围成的封闭图形的面积为1(0)xyaba，曲线 C1 上的点到原点 O 的最短距离为 以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆42 23记为 C2（1）求椭圆 C2 的标准方程；（2）设 AB 是过椭圆 C2 中心 O 的任意弦，l 是线段 AB 的垂直平分线M 是 l 上的点（与 O不重合） 若 MO2OA，当点 A 在椭圆 C2 上运动时，求点 M 的轨迹方程；若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点，求 AMB 的面积的最小值数学参考答案及评分建议 第 6 页 （共 13 页）18【解】 （1）由题意得 又 ，解得 ， 243ab， 0ab28a21b因此所

11、求椭圆的标准方程为 4218xy分（2）设 ， ，则由题设知： ， ()Mxy， ()Amn， 2OMA0O即 解得 8 分224()0mxny， 214ynx，因为点 在椭圆 C2 上，所以 ，()A， 218m即 ，亦即 218yx243xy所以点 M 的轨迹方程为 10 分1（方法 1）设 ，则 ，()xy， ()(0)AyxR， ，因为点 A 在椭圆 C2 上，所以 ，即 （i ）228228yx又 （ii）28xy（i）+（ii）得 ， 13 分22819xy所以 .16|()|9AMBSOxy当且仅当 （即 ）时， . 16 分11ABkminAMBS（方法 2）假设 AB 所在的

12、直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 ykx (k0) 解方程组 得 ， ， 218xyk， 228Axk281Aky所以 ， .22222()188AOxy 2223(1)48kBOA又 解得 ， ，所以 12 分28yxk， 2+Mk2+Myk22()+k数学参考答案及评分建议 第 7 页 （共 13 页）（解法 1）由于 2214AMBSO 2213()8(1)4+k264(1)8+k，26()8+k 265()k当且仅当 时等号成立，即 k1 时等号成立，218k此时AMB 面积的最小值是 SAMB 15 分 69当 k0，S AMB ； 421当 k 不存在时，S AMB

13、1629综上所述，AMB 面积的最小值为 16 分（解法 2）因为 ， 2222118()()+8kOAM21+89()k又 ，于是 ，221 69OA当且仅当 时等号成立，即 k1 时等号成立 （后同方法 1）8k19(本小题满分 16 分) 设数列a n的首项不为零，前 n 项和为 Sn，且对任意的 r，t N*，都有 2rtS（1）求数列a n的通项公式（用 a1 表示） ；（2）设 a1=1，b 1=3， ，求证：数列 为等比数列；1*2nbSN ， 3lognb（3）在（2）的条件下，求 12kT19.【解】 （1）因为 ，令 ， ，则 ，得 ，即 2 分10aStrn2rtS21n

14、S1na当 时， ，且当 时，此式也成立2n 1()nn1故数列a n的通项公式为 5 分2a（缺当 时，此式也成立的验证扣 1 分）1（2）当 时，由（1）知 ，S nn 2a1(2)na依题意， 时， ， 7 分2n 1nbS于是 ，且 ，3313logllog(2)nnbnN ， 31logb数学参考答案及评分建议 第 8 页 （共 13 页）故数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 10 分3lognb（3）由（2）得 ，所以 12 分13lnn12*3()nbN于是 15 分221 2121 2+3kk kkkkkb 所以 16 分211222 3kknnnkT20(本小题满分

15、16 分)设函数 ，其图象与 轴交于 ， 两点，且 x1x 2(e()xfaRx1(0)Ax， 2()Bx，（1）求 的取值范围；（2）证明： （ 为函数 的导函数） ；120fx()fx()fx（3）设点 C 在函数 的图象上，且ABC 为等腰直角三角形，记 ，求()yf 21xt(1)at的值【解】 （1） ()exfa若 ，则 ，则函数 是单调增函数，这与题设矛盾 20a 0f()fx分所以 ，令 ，则 ()fxlna当 时， ， 是单调减函数； 时， ， 是单调增函数；lnxa0f()f lnxa()0fx()fx于是当 时， 取得极小值 4lfx分因为函数 的图象与 轴交于两点 ，

16、(x1x 2)，()e()xfaRx1(0)Ax， 2B，所以 ，即 .ln2l)0f2e此时，存在 ；1l(af，存在 ，33lnln)lnfaa， 320a又由 在 及 上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 为所求取值()fxl)， (l， 2ea数学参考答案及评分建议 第 9 页 （共 13 页）范围. 6 分（2）因为 两式相减得 12e0xa， 21exa记 ，则 ， 8 分21(0)xs1212112e(e)xxx sf s 设 ，则 ，所以 是单调减函数，()esg()()0sg)g则有 ，而 ，所以 ()0s120xs12xf又 是单调增函数，且exfa1212所以 1112

17、0分（3）依题意有 ，则 eixia(1)e0ixia12i（ ， ）于是 ，在等腰三角形 ABC 中，显然 C = 90， 131212()x分所以 ，即 ，12012()xx， 0()yfx由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，210y所以 ，即 ，210xy12 2112e()x xa所以 ，11212()()0a即 21()()xaxx因为 ，则 ，10221110xx又 ，所以 ， 15 分21xt22()()attt即 ，所以 16 分at(1).t21A选修 41：几何证明选讲数学参考答案及评分建议 第 10 页 （共 13 页）B D CAPE（第 21A 题）如图，ABC 内接

18、于圆 O，D 为弦 BC 上一点，过 D 作直线 DP / AC，交 AB 于点 E，交圆 O在 A 点处的切线于点 P求证：PAEBDE【证明】因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线，所以PAB ACB 因为 PDAC，所以EDB ACB，所以PAE PAB ACBBDE又PEA BED，故PAEBDE 10 分21B选修 42：矩阵与变换已知二阶矩阵 M 有特征值 及对应的一个特征向量 ，且 M 求矩阵 M11e13【解】设 ，则由 ，得abcd abcdabcd， 再由 ，得 1331，联立以上方程组解得 a2，b1，c0，d1，故 10 分210M21C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，设动点 P，Q 都在曲线 C： （ 为参数）上，且这12cosinxy，两点对应的参数分别为 与 2(0 2)，设 PQ 的中点 M 与定点 A(1，0) 间的距离为d，求 d 的取值范围【解】由题设可知 P ( 1 + 2cos，2sin )，Q ( 1 + 2cos2，sin2 )， 2分于是 PQ 的中点 M 4 分cos2sin2，从而 62 cosdA 分因为 02 ，所以1cos 1， 8分于是 0d 24 ，故 d 的取值范围是 1002，分