1、第五章 5-1 有一弹簧振子，振幅 mA 2100.2 ，周期 sT 0.1，初相 .4/3试写出它的振动位移、速度和加速度方程。 分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为： 2c o s c o s tTAtAx 代入有关数据得： 30.0 2 c os 2 ( )4x t SI 振子的速度和加速度分别是： 3/ 0.0 4 sin 2 ( )4v dx dt t SI 2 2 2 3/ 0 . 0 8 c o s 2 ( )4a d x d t t S I 5-2 若简谐振动方程为 mtx 4/20co s1.0 ，求： （ 1）振幅、频率、
2、角频率、周期和初相； （ 2） t=2s 时的位移、速度和加速度 . 分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。 解： (1)可用比较法求解 .根据 4/20c o s 1.0c o s ttAx 得：振幅 0.1Am，角频率 20 /rad s，频率 1/ 2 10s ， 周期 1/ 0.1Ts， /4rad （ 2） 2ts时，振动相位为： 2 0 / 4 ( 4 0 / 4 )t r a d 由 cosxA， sinA ， 22c o sa A x 得 20 . 0 7 0 7 , 4 . 4 4 / , 2 7 9 /x m m s a m s 5-3 质量为 kg2的质点，按方
3、程 ) (6/(5s in2.0 SItx 沿着 x 轴振动 .求： （ 1） t=0 时，作用于质点的力的大小； （ 2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置 . 分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。 解：（ 1）跟据 xmmaf 2， )6/(5s in 2.0 tx 将 0t代入上式中，得： 5.0fN （ 2）由 xmf 2可知，当 0.2x A m 时，质点受力最大，为 10.0fN 5-4 为了测得一物体的质量 m，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率 Hz0.11 ；而当将另一已知质量为 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为 Hz0.
4、22 .设振动均 在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量 . 分析 根据简谐振动频率公式比较即可。 解：由 mk /21 ，对于同一弹簧（ k 相同）采用比较法可得： mm21 解得： 4mm 5-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 mA 2100.2 ，周期 T=0.5s，当 t=0 时， （ 1）物体在正方向端点； （ 2）物体在平衡位置，向负方向运动； （ 3）物体在 mx 2100.1 处，向负方向运动； （ 4）物体在 mx 2100.1 处，向负方向运动 . 求以上各种情况的振动方程。 分析 根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。 解：设所求振动方程
5、为： 4c o s 02.02c o s ttTAx 由 A 旋转矢量图可求出 3/2,3/,2/,0 4321 （ 1） 0 .0 2 c o s4 ( )x t S I （ 2） 0 .0 2 c o s 4 ( )2x t S I （ 3） 0 .0 2 c o s 4 ( )3x t S I（ 4） 20 .0 2 c o s 4 ( )3x t S I 5-6 在一轻弹簧下悬挂 0 100mg砝码时，弹簧伸长 8cm.现在这根弹簧下端悬挂 250mg的物体，构成弹簧振子 .将物体从平衡位置向下拉动 4cm，并给以向上的 21cm/s 的初速度（令这时 t=0） .选 x 轴向下，求振
6、动方程 . 分析 在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。 解：弹簧的劲度系数 lgmk /0。 题图 5-5 当该弹簧与物体 m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为： cos tAx角频率为 mk/代入数据后求得 7/rad s 以平衡位置为原点建立坐标，有： 000 .0 4 , 0 .2 1 /x m v m s 据 2020 )/( vxA 得： 0.05Am 据 Ax01cos得 0.64rad由于 0v,应取 )(64.0 rad 于是，所求方程为： )(64.07c o s(05.0 mtx 5-7 某质点振动的 x-t 曲线如题图 5 7 所示 .求：
7、（ 1）质点的振动方程； （ 2）质点到达 P 点相应位置所需的最短时间 . 分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据 P 点的相位确定最短时间。 00001 c o s( )0 , / 2 , 031,325650 .1 c o s( )6320x A tt x A vt s tx t mP 解 ： （ ） 设 所 求 方 程 为 ：从 图 中 可 见 ，由 旋 转 矢 量 法 可 知 ；又故 ：（ ） 点 的 相 位 为05 0 0 . 463 0 . 4p p pt t t sPs 即 质 点 到 达 点 相 应 状 态 所 要 的 最 短 时 间 为5-8 有一
8、弹簧，当下面挂一质量为 m的物体时，伸长量为 m2108.9 .若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向 . （ 1）当 t 0 时，物体在平衡位置上方 m2100.8 ，由静止开始向下运动，求振动方程 . (2) 当 t 0 时，物体在平衡位置并以 0.6m/s 的速度向 上运动，求振动方程 . 分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。 解：设所求振动方程为： )cos( tAx 题图 5-7 其中角频率 lgmlmgmk /，代入数据得： 10 /rad s （ 1）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有： 000.08 , 0x m v 据 2020 )/( vxA 得： 0.08Am 据
9、Ax01cos得 rad由于 0v 0,不妨取 rad 于是，所求方程为： 1 0 .0 8 c o s (1 0 )( )x t S I （ 2）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有： 000, 0. 6 /x v m s 据 2020 )/( vxA 得： 0.06Am 据 Ax01cos得 /2rad由于 0v,应取 /2rad 于是，所求方程为： 2 0 .0 6 c o s (1 0 / 2 ) ( )x t S I 5-9 一质点沿 x 轴作简谐振动，振动方程为 )SI)(3t2co s (104x 2 ，求：从 t=0 时刻起到质点位置在 x=-2cm 处，且向 x 轴正方向运动
10、的最短时间 . 分析 由旋转矢量图求得两点相位差，结合振 动方程中特征量即可确定最短时间。 解 : 依题意有旋转矢量图 从图可见02 ( 0 )tt 而 0 12ts故所求时间为： 5-10 两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为 2/A的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡解答图 5-9 位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差 . 分析 由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定相位。 解：由于 2/10 Ax 、 10 0v可求得： 4/1 由于 2/20 Ax 、 20 0v 可求得： 4/2 如图
11、5-10 所示，相位差： 12 /2 5-11 一简谐振动的振动曲线如题图 5-11 所示，求振动方程 . 分析 利用旋转矢量图求解，由图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。 解：设所求方程为 )cos( tAx 当 t=0 时： 115 , 0x cm v 由 A 旋转矢量图可得： 0 2 / 3t rad 当 t=2s 时：从 x-t 图中可以看出： 220, 0xv 题图 5-11 题图 5-11 题图 5-10 据旋转矢量图可以看出， 2 3 / 2t rad 所以， 2 秒内相位的改变量 20 3 / 2 2 / 3 5 / 6tt r a d 据 t 可求出： / 5
12、/ 1 2 /t ra d s 于是：所求振动方程为： 520 .1 c o s( ) ( )1 2 3x t S I 5-12 在光滑水平面上 ,有一作简谐振动的弹簧振子 ,弹簧的劲度系数为 K,物体的质量为 m,振幅为 A.当物体通过平衡位置时 ,有一质量为 m的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起 .求 :（ 1） m和 粘结后 ,系统的振动周期和振幅 ; （ 2）若当物体到达最大位移处 ,泥团竖直落到物体上 ,再求系统振动的周期和振幅 . 分析 系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。
13、 解 :（ 1）设物体通过平衡位置时的速度为 v,则由机械能守恒 : 221122 KK A m v v A m 当 m竖直落在处于平衡位置 m上时为完全非弹性碰撞 ,且水平方向合外力为零 ,所以 ( )mv m m umuvmm 此后 ,系统的振幅变为 A,由机械能守恒 ,有 2211 ( )22KA m m um m mA u AK m m系统振动的周期为 : Kmm2T （ 2）当 m在最大位移处 m竖直落在 m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为 A,周期为 Kmm2 . 5-13 设细圆环的质量为 m,半径为 R,挂在墙上的钉子上 .求它微小振动的周期 . 分析
14、 圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。 解 : 如图所示 ,转轴 o 在环上 ,角量以逆时针为正 ,则振动方程为 sinm gRdtdJ22 当环作微小摆动 sin时 , 2 22 0ddt 解答图 5-13 mgRJ22J mR222 RTg 5 14 一轻弹簧在 60 N 的拉力下伸长 30 cm现把质量为 4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把 物体向下拉 10 cm，然后由静止释放并开始计时求 (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ (2) 物体的振动方程； (3) 物体在平衡位置上方 5 cm 时弹簧对物体的拉力； (4) 物体从第一次越过平衡位置
15、时刻起到它运动到上方 5 cm 处所需要的最短时间 (5) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅 A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？ 分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。 解： 选平 衡位置为原点，取向下为 x 轴正方向。 由： f kx 20 0 /fk N mx/ 5 0 7 .0 7 /k m r a d s (1) 小物体受力如图 设小物体随振动物体的加速度为 a， 按牛顿第二定律有 maNmg )( agmN 当 N = 0，即 a = g 时，小物体开始脱离
16、振动物体， 已知 A = 10 cm， 2 0 0 / , 7 .0 7 /k N m ra d s 系统最大加速度为 22m ax 5a A m s 此值小于 g，故小物体不会离开 (2) 000 1 0 c o s , 0 s i nt x c m A v A 时， 解以上二式得 10 0A cm 振动方程 0 .1 c o s(7 .0 7 )( )x t S I (3) 物体在平衡位置上方 5 cm 时，弹簧对物体的拉力 ()f m g a ，而 222 .5a x m s 29.2fN(4) 设 1t时刻物体在平衡位置，此时 0x，即 10 cos ,At 此时物体向上运动， 0v
17、11, 0 .2 2 222t t s 。 N mg 题图 5 14 x 5 cm O 题图 5 14 再设 2t时物体在平衡位置上方 5cm处，此时 5x cm，即 25 cos ,At 此时物体向上运动， 0v 2222, 0 .2 9 633t t s 21 0.0 74t t t s (5) 如使 a g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由 N = 0 求得 xag 22/ 1 9 .6x g c m 即在平衡位置上方 19.6 cm 处开始分离，由 gAa 2max ，可得 2/ 19.6A g cm。 5-15 在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为 1.0Kg 的重物 .现使平
18、板沿竖直方向作上下简谐振动，周期为 0.50s，振幅为 m2100.2 ，求： （ 1）平板到最低点时，重物对板的作用力； （ 2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （ 3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？ 分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。 解：重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标， 振动方程为： )4co s(02.0 tx 设平板对重物的作用力为 N，于是重物在运动中所受合力为： f mg N ma ，2ax而据牛顿第三定律，重 物对平板的作用力 N为： )( 2 xgmNN （ 1）在最低点处： Ax,由上式得，
19、 12.96NN （ 2）频率不变时，设振幅变为 ,在最高点处（ Ax ）重物与平板间作用力最小，设0N可得： 2 / 0 .0 6 2A g m （ 3）振幅不变时，设频率变为 ，在最高点处（ Ax ）重物与平板间作用力最小，设 0N可得： 1 / 2 / 3 . 5 22 g A H z 5-16 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.06m，周期为 2.0s，当 t=0 时位移为 0.03m，且向轴正方向运动，求： （ 1） t=0.5s 时，物体的位移、速度和加速度； （ 2）物体从 0.03xm处向 x 轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？ 分析 通过旋转矢量法确定两
20、位置的相位从而得到 最小时间。 解：设该物体的振动方程为 )cos( tAx 依题意知： 2 / / , 0 .0 6T r a d s A m 据 Ax01cos得 )(3/ rad 由于 0 0v,应取 )(3/ rad 可得： )3/co s (06.0 tx （ 1） 0.5ts时，振动相位为： / 3 / 6t r a d 据 22c o s , s i n , c o sx A v A a A x 得 20 . 0 5 2 , 0 . 0 9 4 / , 0 . 5 1 2 /x m v m s a m s （ 2）由 A 旋转矢量图可知，物体从 0.03xmm 处向 x 轴负方向
21、运动，到达平衡位置时，A 矢量转过的角度为 5 /6，该过程所需时间为： / 0 .8 3 3ts 5-17 地球上（设 2/8.9 smg ）有一单摆，摆长为 1.0m，最大摆角为 5，求： （ 1）摆的角频率和周期； （ 2）设开始时摆角最大，试写出此摆的振动方程； （ 3）当摆角为 3时的角速度和摆球的线速度各为多少？ 分析 由 摆角最大的初始条件可直接确定其初相。 解：（ 1） / 3 .1 3 /g l r a d s 2 / 2.01Ts （ 2）由 t=0 时， max 5可得振动初相 0，则以角量表示的振动方程为cos 3. 13 ( )36 t SI 题图 5-16 （ 3）
22、由 cos 3. 13 ( )36 t SI ，当 3时，有 m axco s / 0 .6 而质点运动的角速度为： 2m a x m a x/ s in 1 c o s 0 . 2 1 8 /d d t r a d s 线速度为： / 0 .2 1 8 /v l d d t m s 5-18 有一水平的弹簧振子 ,弹簧的劲度系数 K=25N/m,物体的质量 m=1.0kg,物体静止在平衡位置 .设以一水平向左的恒力 F=10 N 作用在物体上 (不计一切摩擦 ),使之由平衡位置向左运动了 0.05m,此时撤除力 F,当物体运动到最左边开始计时 ,求物体的运动方程 . 分析 恒力做功的能量全部
23、转化为系统能量，由能量守恒可 确定系统的振幅。 解 : 设所求方程为 0cos( )x A t 5/K ra d sm 因为不计摩擦 ,外力做的功全转变成系统的能量 , 故 212 0 . 22 FxF x K A A mK 000 , ,t x A 又 故所求为 0 .2 c o s (5 )( )x t S I 5-19 如题图 5 19 所示，一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点 ( t = 0 )，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B点，若已知该质点在 A、 B 两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm 求： (1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A 点处的速率 分析 由质点在 A、 B 两点具有相同的 速率可知 A、 B 两点在平衡位置两侧距平衡位置相等距离的位置，再联系两次经过 B 点的时间即可确定系统的周期，而相位可由 A、 B 两点位置确定。 解：由旋转矢量图和 ABvv 可知 2 4 , 8T s T s, 111 ,284s r a d s (1)以 AB的中点为坐标原点， x 轴指向右方 题图 5-19 A B vx 题图 5-18
