1、1-2 设质点的运动方程为 x =x (t )， y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r 22 yx ，然后根据 v = trdd ，及 a 22ddtr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =22dddd tytx 及 a =222222dddd tytx 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确 .因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr ， jt yit xt rajtyitxtrv222222dddddddddddd故它们的模即为 222222222222ddddddddtytxaaa
2、tytxvvvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22dddd t ratrv 其二，可能是将 22dddd trtr与误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 trdd 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 22ddtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 222dddd trt ra 径 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-4 在离水面高 h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S 处，如
3、题 1-4 图所示当人以 0v (m 1s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图 1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成 角，由图可知 222 shl 将上式对时间 t 求导，得 tsstll dd2dd2 题 1-4 图 根据速度的定义，并注意到 l ,s 是随 t 减少的， tsvvtlv dd,dd 0 船绳 即 c o sdddd 00 vvsltlsltsv 船 或 s vshslvv 02/1220 )( 船 将 船v 再对 t 求导，即得船的加速度 3202220202002)(ddddddsvhsvslsvslvsvvstsltlstva 船船
4、1-8 质点沿半径为 R 的圆周按 s 20 21bttv 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧长 , 0v ， b 都是常量，求： (1)t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b 解：（ 1） btvtsv 0dd RbtvRvabtvan202 )(dd则 240222 )(R btvbaaa n 加速度与半径的夹角为 20 )(a r c ta n btv Rbaa n (2)由题意应有 2402 )(R btvbba 即 0)(,)( 4024022 btvR btvbb当 bvt 0 时， ba 2-9 一质量为 m 的质点在 xOy 平面上运动，
5、其位置矢量为 jtbitar s inc os 求质点的动量及 t 0 到 2t 解 : 质点的动量为 )c oss in( jtbitamvmp 将 0t 和 2t 分别代入上式，得 jbmp 1 , iamp 2 , 则动量的 增量亦即质点所受外力的冲量为 )(12 jbiampppI 2-18 如题 2-18 图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 0v 3m s-1从斜面 A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为 8N，到达 B 点后压缩弹簧 20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 解 : 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。
6、则由功能原理，有 37s in2121 22 m g smvkxsf r 222137s in21kxsfm g smvk r式中 m52.08.4 s ， m2.0x ，再代入有关数据，解得 -1mN1390 k 题 2-18 图 再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h 2o 2137s in kxsmgsf r 代入有关数据，得 m4.1s , 则木块弹回高度 m84.037s in o sh 题 2-19 图 2-19 质量为 M 的大木块具有半径为 R 的四分之一弧形槽，如题 2-19 图所示质量为 m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从
7、静止开始，求小木块脱离大木块时的速度 解 : m 从 M 上下滑的过程中，机械能守恒，以 m ， M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有 22 2121 MVmvmg R 又下滑过程，动量守恒，以 m ,M 为系统则在 m 脱离 M 瞬间，水平方向有 0MVmv 联立，以上两式，得 MmMgRv 2 2-25 飞轮的质量 m 60kg，半径 R 0.25m，绕其水平中心轴 O 转动，转速为900rev min-1现利用 一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 F ，可使飞轮减速已知闸杆的尺寸如题 2-25 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计
8、算试求： (1)设 F 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动 ?在这段时间里飞轮转了几转 ? (2)如果在 2s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力 F ? 解 : (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图 (如图 (b)图中 N 、 N 是正压力， rF 、 rF 是摩擦力， xF 和 yF 是杆在 A 点转轴处所受支承力， R 是轮的重力， P 是轮在 O 轴处所受支承力 题 2-25 图（ a） 题 2-25 图 (b) 杆处于静止状态，所以对 A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有 Fl llNlNllF 1 21121 0)( 对飞轮，按转动定律有 IRFr / ，式中负号表示 与角
9、速度 方向相反 NFr N N FlllNF r121 又 ,21 2mRI Fm R lllIRF r121 )(2 以 N100F 等代入上式，得 2sr a d3401 0 050.025.060 )75.050.0(40.02 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 s06.74060 329 0 00 t 这段时间内飞 轮的角位移为 r a d21.53)49(340214960 29 0 021 220 tt可知在这段时间里，飞轮转了 1.53 转 (2) 10 srad6029 0 0 ，要求飞轮转速在 2t s 内减少一半，可知 2000sr a d21522 tt
10、用上面式 (1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NllmRlF1772)75.050.0(40.021550.025.060)(2 2112-28 如题 2-28 图所示，一匀质细杆质量为 m ，长为 l ，可绕过一端 O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过 角时的角速度 . 解 : (1)由转动定律，有 )31(21 2mlmg lg23 (2)由机械能守恒定律，有 22 )31(21s in2 mllmg lg sin3题 2-29 图 2-29 如题 2-29 图所示，质量为 M ，长为 l 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴
11、O 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上现有一质量为 m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处 (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 0v 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量 ? 解 : (1)设小球的初速度为 0v ，棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ，而小球的速度变为v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机 械能守恒定律，可列式： mvlIlmv 0 2220 212121 mvImv 上两式中 231MlI ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度 o30 ，按机
12、械能守恒定律可列式： )30c o s1(221 2 lMgI 由式得 2121)231(3)30c o s1( lgIMg l由式 mlIvv 0 由式 mIvv 2202 所以 2200 1)( 2 mvmlIv 求得 glm MmmMlmlIlv31232(6)311(2)1(2 20 (2)相碰时小球受到的冲量为 0d mvmvmvtF 由式求得 MllImvmvtF 31d 0 glM6 )32(6 负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反 题 2-30 图 4-3 如题 4-3 图所示，物体的质量为 m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ， 弹簧的倔强系数为 k ，滑轮的转动惯
13、量为 I ，半径为 R 先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期 题 4-3 图 解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如 题 4-3 图 (b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有 221 dds in txmTmg IRTRT 21 Rtx22dd )( 02 xxkT 式中 kmgx /sin0 ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 kxRtxRImR 22dd)( 令 ImRkR222 则有 0dd 222 xtx 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 )/2(22
14、222 K RImkR ImRT 4-6 一质量为 kg1010 3 的物体作谐振动，振幅为 cm24 ，周期为 s0.4 ，当 0t 时位移为 cm24 求： (1) s5.0t 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 cm12x 处所需的最短时间 (3)在 cm12x 处物体的总能量 解：由题已知 s0.4,m1024 2 TA 1sra d5.02 T 又， 0t 时， 0, 00 Ax 故振动方程为 m)5.0c o s (1024 2 tx (1)将 s5.0t 代入得 0 . 1 7 mm)5.0c o s (1024 25.0 tx N102.417
15、.0)2(1010 3232 xmmaF 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向 (2)由题知， 0t 时， 00 ， tt 时 3,0,20 tvAx 故且 s322/3 t (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 J101.7)24.0()2(10102121214223222 AmkAE4-9 一轻弹簧的倔强系数为 k ，其下端悬有一质量为 M 的盘子现有一质量为 m 的物体从离盘底 h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振 动 (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同 ? (2)此时的振动振幅多大 ? (3)取平衡位置为原点，位移以
16、向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程 解： (1)空盘的振动周期为 kM2 ，落下重物后振动周期为 k mM2 ，即增大 (2)按 (3)所设坐标原点及计时起点， 0t 时，则 kmgx 0碰撞时，以 Mm, 为一系统动量守恒，即 0)(2 vMmghm 则有 Mm ghmv 20于是 gMmkhkmgMmghmkmgvxA)(21)( 2()()( 2222020 （ 3）gmM khxv )( 2ta n 0 00 (第三象限 )，所以振动方程为 gmM khtMm kgMm khkmgx )( 2a r c t a nc o s)( 21 4-12
17、 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合 成后所得合振动的振幅： (1) cm)373c o s (5cm)33c o s (521txtx (2)cm)343c o s (5cm)33c o s (521txtx 解 ： (1) ,233712 合振幅 cm1021 AAA (2) ,334 合振幅 0A 5-7 一平面简谐波沿 x 轴负向传播，波长 =1.0 m，原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz，振幅 A 0.1m，且在 t =0 时恰好通过平衡位置向 y 轴负向运动，求此平面波的波动方程 解 : 由题知 0t 时原点处质点的振动状态为 0,0 00 vy ，故知原点的振动初相为 2
18、 ,取波动方程为 )(2c o s 0 xTtAy 则 有 2)12(2c o s 1.0 xty )224c o s (1.0 xt m 5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 y =0.05cos(10 xt 4 )，式中 x ,y 以米计，t 以秒计求： (1)波的波速、频率和波长； (2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求 x =0.2m t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相 ?这一位相所代表的运动状态在 t =1.25s 时刻到达哪一点 ? 解 : (1)将题给方程与标准式 )22c o s ( xtAy 相比，得振幅 05.0A m ，频率 5 1s
19、 ，波长 5.0 m ，波速 5.2u 1sm (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 5.005.010m a x Av 1sm 222m a x 505.0)10( Aa 2sm (3) 2.0x m 处的振动比原点落后的时 间为 08.05.2 2.0 ux s 故 2.0x m , 1t s 时的位相就是原点 ( 0x )，在 92.008.010 t s 时的位相， 即 2.9 设这一位相所代表的运动状态在 25.1t s 时刻到达 x 点，则 8 2 5.0)0.125.1(5.22.0)( 11 ttuxx m 5-13 一列机械波沿 x 轴正向传播， t =0 时的波形如题
20、 5-13 图所示，已知波速为 10 m s -1，波长为 2m，求： (1)波动方程； (2) P 点的振动方程及振动曲线； (3) P 点的坐标； (4) P 点回到平衡位置所需的最短时间 解 : 由题 5-13 图可知 1.0A m ， 0t 时， 0,2 00 vAy ， 30 ，由题知 2 m ， 10u 1sm ，则 5210 u Hz 102 (1)波动方程为 3)10(10c o s .01 xty m 题 5-13 图 (2)由图知， 0t 时， 0,2 PP vAy ， 34 P (P 点的位相应落后于 0 点，故取负值 ) P 点振动方程为 )3410c o s (1.0 ty p (3) 34|3)10(10 0 txt 解得 67.135 x m (4)根据 (2)的结果可作出旋转矢量图如题 5-13 图 (a)，则由 P 点回到平衡位置应经历的位相角 题 5-13 图 (a) 6523 所属最短时间为
