1、09 级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在
2、A、B、C、D 处，A、B,C、D 的初始位置在与 x 轴平行，再假设有一条在 x 轴上的线 ab,则 ab 也与 A、B，C、D 平行。当方桌绕中心 0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为 。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 为 A、B 离地距离之和，()f为 C、D 离地距离之和，它们的值由 唯一确定。由假设（1） ，()g , 均为 的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地，f故 =0 必成立（ ） 。不妨设 , g（若 也为()(0)f()0()0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转） ，于是问题归结为：已知 , 均为
3、的连续函数， , 且对任意 有()fg()f()，求证存在某一 ，使 。000g证明：当 = 时，AB 与 CD 互换位置，故 ， 。作()0f()g，显然， 也是 的连续函数，()()hfg()h而 ，由连续函数的取零值定理，00()0fg存在 ， ，使得 ，即 。又由于0()0()fg，故必有 ，证毕。 0()fgf2.学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432人住在 C 宿舍。学生 们要组织一个 10 人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。 （15 分）解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为 x 人，B
4、宿舍的委员数为 y 人，C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进 1，其余取整数部分。则x+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；0 x 100 y 10 ，x,y,z 为正整数；0 z 10解得：x=3y=3z=43.一饲养场每天投入 5 元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头 80 公斤重的生猪每 天增加 2 公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤 8 元，但是预测每天会降低 0.1 元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。 （15 分）解：设在第 t 天出售这样的生猪（初始重 80 公
5、斤的猪）可以获得的利润为 z 元。每头猪投入：5t 元产出：（8-0.1t） （80+2t）元利润：Z = 5t +（8-0.1t） （80+2t）=-0.2 t2 + 13t +640=-0.2（t2-65t+4225/4）+3405/4当 t=32 或 t=33 时，Zmax=851.25(元)因此，应该在第 32 天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。4. 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1，A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在设备甲上用 12 小时加工成 3 公斤 A1，或者在设备乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的 A1，A2 全部能售出，且每公斤 A1 获利 2
6、4 元，每公斤 A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1，设备乙的加工能力没有限制。 （1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。 （2）33 元可买到 1桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1 的获利增加到 30 元/公斤，应否改变生产计划？（15 分）解：设：每天生产将 x 桶牛奶加工成 A1，y 桶牛奶加工成 A2，所获得的收益为 Z 元。 加工每桶牛奶的信息表:产品 A1 A2所需时间 12 小时 8 小时产量
7、3 公斤 4 公斤获利/公斤 24 元 16 元(1) x+y0则，牛奶 33 元/桶 可以买。(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：12x 8y 4800 3x 100y 0W=39x+31y解得，当 x=0，y=60 时 ， Wmax=1860 元则最多购买 60 桶牛奶。(4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为 n 元。n=Wmax/480=3.875（元）(5)若 A1 的获利为 30 元，则其优化条件不变。Z1=90x+64y解得， 当 x=0，y=60 时，Z1max=3840（元）因此，不必改变生产计划。 5. 在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致
8、正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。一个煮硬了的鸡蛋有 98，将它放在 18的水池里，5 分钟后，鸡蛋的温度为 38，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到 20，还需多长时间?（15 分）解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。设:鸡蛋的温度为 T，温度变化率就是 dT/dt 其中 t 为时间，水的温度为 T1，则鸡蛋与水温差为 T-T1由题意有：T- T1=kdT/dt (其中 k 为比例常数) (1)方程(1)化为 ： dt=kdT/（T- T1） （2）对（2）两边同时积分之后并整理一下就得到：t=k*ln（T- T1）+C则 k*ln（98-
9、18）+ C=05=k*ln（38-18）+ck5ln20 ln80t1=k*ln(20-18)+c-k*ln(38-18)+c=8.3（min）所以，还需 8.3（min） 。6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 （15 分）解：设：报纸具有时效性每份报纸进价 b 元，卖出价 a 元，卖不完退回份报纸 c 元。设
10、每日的订购量为 n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量 n。n 的意义。n 是每天购进报纸的数量，确定 n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为 n 的意义是双重的。本题就是让我们根据 a、b、c 及 r 来确定每日进购数 n。基本假设1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量 n。2、假设报纸每日的需求量是 r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量 r 的分布函数,只知道每份报纸的进价 b、售价 a 及退回价 c。3、假设每日的定购量是 n。4、报童的目的是尽可能的多赚钱。建立模型应该根据需求量 r 确定需求量 n，而需求量 r 是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到 n 值，
