1、（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件二 计算题：（每小题 7 分，共 35 分）1、 93dx2、求 绕 x 轴旋转而成的几何体的体积)0()(2baby3、求幂级数 的收敛半径和收敛域nnx124、 lim20yxyx5、 ， l 为从点 P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求2),(zzffl(P0)三 讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分）1、已知 ，验证函数的偏导数在原0,01sin)(),( 222 yxyxyxyf点不连续，但它在该点可微2、讨
2、论级数 的敛散性。12ln3、讨论函数项级数 的一致收敛性。1,)(11xxnn四 证明题：（每小题 10 分，共 20 分）1 若 收敛，且 f（ x）在 a,+ ）上一致连续函数，则有adxf)( 0)(limxfx2 设二元函数 在开集 内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足),(y2RDLipschitz 条件： 其中 为常数 ),yLxff LDy,),(, 证明 在 D 内连续。),(yxf参考答案一、1、若集合 S 中的每个点都是它的内点，则称集合 S 为开集；若集合 S 中包含了它的所有的聚点，则称集合 S 为闭集。2 设函数项级数 满足（1） 在a，b连续可导)(nxu
3、),21)(nxua) 在a，b点态收敛于1)(n )(Sb) 在a，b一致收敛于1)(nxu)(x则 = 在a，b 可导，且)(S1)(n 11)()(nnxudud3、有界函数 在a，b上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当xf时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等0)(ma1ini二、1、令 （2 分） （5 分）3xt 7468)1(3120393 dtdx2、 ， （2 分）所求的体积为：21,abyaby（5 分）dxa2)(3、解：由于 收敛半径为 (4 分） ，当ennnn 1)1()1(lim e时， ，所以收敛域为 (3 分）ex1)(0)()(2 e
4、n )1,(e4、 （2)(lim)1)(1(lim1li 2022020 yxyxyxyx yxyxyx7 分）5、解： 设极坐标方程为 （4 分）),(.),(,),( zyx fff（3 分）16)2,(lf三、1、解、 （4 分）由 00)1cos(sin 2222 yxyxyxxf于 当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的 也不连续， （2221cosyxyx yf分） 2、解： （5 分） 收敛，所以原级数收敛（5 分）12lnim12n3、解：部分和 （3 分） ， 取 ， 时有)(1xSnn ,01Nn，所以级数一致收敛（7 分）xSn1)(四、证明题（每小题 10 分，
5、共 20 分）1、证明：用反证法若结论不成立，则 ，使得 ， （3 分）又因为在 f（ x）Xxa00,. 0)(xf在 a, ）上一致连续函数， ，只要 ，有a,)1( 0， （3 分）于是 ，取上述使 的点2)(0 xff 1,00A令 0)(xf，不妨设 ，则对任意满足 的 ，有,0X)(0f 0x取 A 和 A分别等于 和 ，则2)(0xff 200有，由 Cauchy 收敛定理， 不收敛，矛盾（4 分）0)( Adf adxf)(2、证明： ，由 Lipschitz 条件Dyx),(0 ),(),(),(,),( 000yxffyxfffyxf （1） ， （6 分）又由二元函数 在
6、开集 内),(000yxL 2RD对于变量 x 是连续的， （1）式的极限为 0， 在 连续，因此 在 D 内),(yxf),0),(yxf连续（4 分）（二十二）数学分析期末考试题一 叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）1 Darboux 和 2 无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理3 Euclid 空间二 计算题：（每小题 7 分，共 35 分）1、 n!lim2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积2xy3、 (n 是非负整数）deIn04、设 具有二阶连续偏导数，求fxyzxfu),22 xzu25、求 的幂级数展开式xef)(三 讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分
7、）1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例2、讨论级数 的绝对和条件收敛性。)0(cos1xnp四 证明题：（每小题 10 分，共 30 分）1 f（x）在 0， + ）上连续且恒有 f（ x）0，证明 在0 ， + ）xdtfg0)()(上单调增加2 设正项级数 收敛， 单调减少，证明1nxnlimnx3 ，证明： 不存在yf2),( ),(li0yxfy参考答案一、1、有界函数 定义在 上，给一种分法 ， 和)(xf,baPbxxan10记 ，则,)(inf,sup11 iiiii xmM分别称为相应于分法 的 Darboux 大和和
8、niinii xmPSxMPS11)(,)( PDarboux 小和。2、 使得 ，成立aN.0Nnnmdxf)(3、 向量空间上定义内积运算 构成 Euclid 空间nR nyx1y,二、1、由于（7 分）1lli)lnl(1lim!li 101 xdiinnin2、解：两曲线的交点为（2，2） ， （0，0） ， （2 分）所求的面积为： （5 分）34)2(20dx3、 解： eInxn0= + = + （6 分）|xed11nIdxen0xen1(1 分）!In4、： = （3 分）xu21yzff（4 分）)2()( 21122 xyfzffz 5、解： 由于余项 ， （3 分）所以
9、)(0)!()nnexrnxn（4 分） !21xex三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本 133 页（4 分） ，可偏导不一定连续和可微例子可看课本 135 页（6 分）2、解：当 时，级数绝对收敛， （4 分）当 ，由 Dirichlet 定理知级数收敛，1p 10p但 ，所以 发散，即级数条件收敛（4 分） ，pppp nxnx2coscos21|cos|npx当 时，级数的一般项不趋于 0，所以级数不收敛（2 分）0四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1 证明： （8 分）0)()()( 20200 xxx dtftfdtftftfxg所以函数单调增加（2 分）2 证明
10、： ，有 由此得 ， （4 分）由mn, mnmxx1)( mnx级数收敛，故 可取定 使得 ，又 ，故 使得 时，000 1li0n00n有 ， （4 分）于是当 时，有 ，得证（2 分）2n0nx3、证明： ，所以1lim),(li200xyfxy 21lim),(li2002 xyfxxy不存在（10 分）),(lim0xfy（二十三）数学分析期末考试题一 叙述题：(每小题 5 分，共 15 分）1 微积分基本公式 2 无穷项反常积分3 紧几合二 计算题：(每小题 7 分，共 35 分）1、 124042xdtdx2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积2xy3、求 的收敛半径和收敛域1
11、)(nn4、设 ，求偏导数和全微分yexuzy5、 yxlim0三 讨论与验证题：(每小题 10 分，共 30 分）1 讨论 的二重极限和二次极限22)(),(yxyxf2 讨论 的敛散性epxd10ln3、讨论函数项 的一致收敛性。)10()(1xxfn四 证明题：(每小题 10 分，共 20 分）1 设 f（ x）连续，证明 duxfdufxux00 )()(2 证明 满足)(2yuy参考答案一、1、设 在 连续， 是 在 上的一个原函数，则成立)(xf,ba)(xFf,ba。)(Fdfba2、设函数 在 有定义，且在任意有限区间 上可积。若极限xf,A存在，则称反常积分收敛，否则称反常积
12、分发散Aaf)(lim3、如果 S 的任意一个开覆盖 中总存在一个有限子覆盖， ，即存在 中的UU有限个开集 ，满足 ，则称 S 为紧集kiU1iki1二、1、 = （7 分）24042xdtdx 804122xtdx2、解：两曲线的交点为（-2，4） ， （1，1） ， （2 分）所求的面积为： （5 分）9)2(12d3 ： ，收敛半径为 1（4 分） ，由于 时，级数不收敛，limn 1x所以级数的收敛域为（-1，1） （3 分）4： = = = （4 分）xuyze1yzxuzyex（3 分）dddzyyzyz )()(5、解： （7 分）21)1(lim1li00 xyxyyxyx三
13、、1、解、由于沿 趋于（0，0）时， ，所k 10)(li22)0,(,( kykx以重极限不存在（5 分）， （5 分）)(lim,)(lim220220 yxyxxyyx2： ，由于 故 收敛（4 分） ； ，1p0ln12pepxd1ln1p由于 （4 分）故 收敛， ，)(ln2xxp ep10l，发散（2 分） 。ed10l3、 （3 分） ，)(0)(imxffn，所以函数列0)1()limsuplisupl 1 nxnnxnn一致收敛（7 分）四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1 证明： = =duxfxu0)( xxx dufufduff 0000 )()()()(（10 分）xf0)(2、证明： ， （6 分）)(22yxu )(2)(22yxyxu（4 分）xy)(2
