1、物理学教程第二版 第 五 章 课后习题答案 第 五 章 机械 振动 5-1 一个质点作简谐运动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 2A ，且向 x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 题 5-图 分析与解 （ B）图中旋转矢量的矢端在 x轴上投影点的位移为 A/2，且投影点的运动方向指向 Ox轴正向，即其速度的 x分量大于零，故满足题意因而正确答案为（ B） 5-2 一 简谐运动曲线如图（ a）所示， 则运动周期是 （ ） (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s （ D） 2.00 s 题 5-图 分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 A/2，且
2、向 x轴正 方向运动图（ ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为 - 3/2 振动曲线上给出质点从 A/2 处运动到 x=0 处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差 65232 ，则角频率 1srad65/ t ， 周期 s40.22 T .故选（ B） 5-3 两个同周期简谐运动曲线如图 （ a）所示， x1的相位比 x2的相位（ ） （ A）落后 2 （ B）超前 2 （ C）落后 （ D）超前 分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（ b）即可得到答案为（ B） 题 5 -图 5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为 A 的简谐运动合成后，振幅仍为 A，则这
3、两个简谐运动的相位差 为（ ） （ A） 60 （ B） 90 （ C） 120 （ D） 180 分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动 1 和 2 的相位差为 120时，合成后的简谐运动 3的振幅仍为 A.正确答案为（ C） 题 5-4 图 5-5 若简谐运动方程为 420co s10.0 tx， 式中 x的单位为 m， t的单位为 s.求：（ 1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（ 2） s2t时的位移、速度和加速度 分析 可采 用比较法求解将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式 tAx cos 作比较，即可求得各特征量运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入
4、 t 值后，即可求得结果 解 （ 1）将 m25.020c o s10.0 tx 与 tAx cos 比较后可得：振幅 A 0.10m，角频率 1srad20 ，初相 0.25 ，则周期s1.0/2 T ，频率 Hz/1 Tv （） s2t 时的位移、速度、加速度分别为 m1007.725.040c o s10.0 2 tx -1sm44.425.040s in2d/d txv -22222 sm1079.225.040c o s40d/d txa 5-6 一远洋货轮，质量为 m，浮在水面时其水平截面积为 S设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中
5、作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期 分析 要证 明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力 F 与位移 x 间的关系，如果满足 kxF ，则货轮作简谐运动通过 kxF 即可求得振动周期 kmT /2/2 证 货轮处于平衡状态时图（ a），浮力大小为 F mg当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O，竖直向下为 x轴正向，如图（ b）所示 则当货轮向下偏移 x位移时，受合外力为 FPF 其中 F 为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为 g S xmgg S xFF 题 5-6 图 则货轮所受合外力为 kxg S xFPF 式中 g
6、Sk 是一常数这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动 由 txmF 22 dd / 可得货轮运动的微分方程为 0dd 22 mgSxtx / 令 mgS/ 2 ，可得其振动周期为 gSmT /2/2 5-7 如图（ a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 1k 、 2k 当物体在光滑斜面上振动时（ 1）证明其运动仍是简谐运动；（ 2）求系统的振动频率 题 5-7 图 分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）为此，建立如图（ b）所示的坐标设系统平衡时物体所 在位置为坐标原点 O， Ox 轴正向沿斜面
7、向下，由受力分析可知，沿 Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 1x 、 2x ，则由物体受力平衡，有 2211sin xkxkmg （ 1） 按图（ b）所取坐标，物体沿 x轴移 动位移 x时，两弹簧又分别被拉伸 1x 和 2x ，即 21 xxx 则物体受力为 111222 s ins in xxkmgxxkmgF （） 将式（ 1）代入式（ 2）得 1122 xkxkF （） 由式（ 3）得 11 kFx / 、 22 kFx / ，而
8、21 xxx ，则得到 kxxkkkkF 2121 / 式中 2121 kkkkk / 为常 数，则物体作简谐运动，振动频率 mkkkkmkv 2121 /21/212/ 讨论 （ 1）由本题的求证可知，斜面倾角 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因（ 2）如果振动系统如图（ c）（弹簧并联）或如图（ d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为 mkkv /21 21 ，读者可以一试通过这些例子可以知道，证明物 体
9、是否作简谐运动的思路是相同的 5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A 2.0 10 -2 m，周期T 0.50当 t 0 时，（ 1）物体在正方向端点；（ 2）物体在平衡位置、向负方向运动；（ 3）物体在 x -1.010 -2m 处，向负方向运动；（ 4）物体在 x -1.010 -2 m处，向正方向运动求以上各种情况的运动方程 分析 在振幅 A和周期 T已知的条件下，确定初相 是求解简谐运动方程的关键初相的确定通常有两种方法（ 1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即 t 0 时， x x0和 v v0来确定 值 （ 2）旋转矢量法：如图（ a）所示，将质点 P在 Ox轴上振动
10、的初始位置 x0和速度 v0的方向与旋转矢量图相对应来确定 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用 题 5-8 图 解 由题给条件知 A 2.0 10 -2 m， 1s4/2 T ，而初相 可采用分析中的两种不同方法来求 解析法：根据简谐运动方程 tAx cos ，当 0t 时有 tAx cos0 ，si n0 Av 当 （ 1） Ax0 时， 1cos 1 ，则 01 ； （ 2） 00x 时， 0cos 2 ， 22 ，因 00v ，取 22； （ 3） m1001 20 .x 时， 50cos 3 . ， 33 ，由 00v ，取 33； （ 4） m1001 20 .x 时， 50c
11、os 4 . ， 34 ，由 00 v ，取 344 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（ b）所示，它们所对应的初相分别为 01 ， 22， 33， 344 振幅 A、角频率 、初相 均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （ 1） mtc o s 4100.2 2x （ 2） m/2t4c o s100.2 2 x （ 3） m/3t4c o s100.2 2 x （ 4） m/34t4c o s100.2 2 x 5-9 有一弹簧，当其下端挂一质量为 m的物体时，伸长量为 9.8 10 -2 m若使物体上、下振动，且规定向下为正方向（ 1）当 t 0 时，物体在平衡位置
12、上方 8.0 10 -2处，由静止开始向下运动，求运动方程（ 2）当 t时，物体在平衡位置并以 0.6 s -1的速度向上运动，求运动方程 分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量 A、 和 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量 m及弹簧劲度系数 k）决定的，即 km / ， k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅 A和初相 需要根据初始条件确定 题 5-9 图 解 物体受力平衡时，弹性力 F 与重力 P的大小相等，即 F mg而此时弹簧的伸长量 l 9.8 10 -2m则弹簧的劲度系数 k F l mg l 系统作简谐运动的角频率为 1s10 lgmk / （
13、 1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为 x轴正向由初始条件 t 0 时， x10 8.0 10 -2 m、 v10 0 可得振幅 m1008 2210210 ./ vxA ；应用旋转矢量法可确定初相 1 图（ a）则运动方程为 m1 0 tc o s100.8 21 x （ 2） t 时， x20 0、 v20 0.6 s -1 ，同理可得 m1006 22202202 ./ vxA ； 2/2 图（ b）则运动方程 为 m5.010tc o s100.6 22 x 5-10 某振动质点的 x-t曲线如图（ a）所示，试求：（ 1）运动方程；（ 2）点 P对应的相位；（ 3）到达点
14、P相应位置所需的时间 分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题本题就是要通过 x t 图线确定振动的三个特征量 A、 和 0 ，从而写出运动方程曲线最大幅值即为振幅 A；而 、0 通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便 解 （ 1）质点振动振幅 A 0.10 而由振动曲线可画出 t0 0 和t1 4 时旋转矢量，如图（ b）所示由图可见初相 3/0 （或3/50 ），而由 3201 / tt 得 1s24/5 ，则运动方程为 m3/245c o s10.0 tx 题 5-10 图 （ 2）图（ a）中点 P的位置是质点从 A 2 处运动到
15、正向的端点处对应的旋转矢量图如图（ c）所示当初相取 3/0 时 ，点 P的相位为 000 pp t （如果初相取成 3/50 ，则点 P 相应的相位应表示为 200 pp t （ 3）由旋转矢量图可得 3/0 pt ，则 s61.pt 5-11 质量为 10 g 的物体沿 x 的轴作简谐运动，振幅 A=10 cm，周期 T=4.0 s， t=0 时物体的位移为 ，cm0.50 x 且物体朝 x轴负方向运动，求（ 1） t=1.0 s时物体的位移；（ 2） t=1.0 s 时物体受的力；（ 3） t=0 之后何时物体第一次到达 x=5.0 cm 处；（ 4）第二次和第一次经过 x=5.0 cm 处的时间间隔 . 分析 根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程 )cos( tAx .其中振幅 A，角频率 T2 均已知，而初相 可由题给初始条件利用旋转矢量法方便求出 . 有了运动方程， t时刻位移 x和 t时刻物体受力xmmaF 2 也就可以求出 . 对于（ 3）、（ 4）两问均可通过作旋转矢量图并根据公式 t 很方便求解 . 解 由题给条件画出 t=0 时该简谐运动的旋转矢量图如图（ a）所示，可知初相 32 .而 A=0.10 m， 1s22 T .则简谐运动方程为 m)322co s(10.0 tx (1)t=1.0 s 时物体的位移
