1、利用几何画板探索轨迹的教学 研究性学习一得研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性
2、质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：如图 1，过椭圆 12byax( 0a)的左焦点 F1作弦 AB。现在来研究焦点弦 AB 有关的问题。轨迹 1 过原点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程。图 1 图 2几何画板演示：拖动主动点 A 在椭圆上转动或制作点 A 在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点 M，得到点 M 的轨迹是一 个小圆。如图 2“怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般思路，假设弦 AB 所在直线的斜率为 k，则 AB 的垂线的斜率为 k1，列出这两条直线的方程，联立这两个
3、方程解出交点(即垂足)M 的坐标，最后消去参数 k 就得到点 M的轨迹方程。哇！好复杂。学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？”学生：“我在想这个轨迹是一个圆，而且是以 OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：因为 OMAB ，所以|OM| 2 +|F1M|2 = |OF1|2，若设点 M 的坐标为(x ，y)，点 F1的坐标为(c，0)，则x2 + y2 + (xc) 2 + y2 = c2，即 )()(cycx。 这就是所求的轨迹方程
4、。 ”“啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和- 2 -点 F1 的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点 O 与 F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。 这当然很容易解得。 ”教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下：轨迹 2 如图 3，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程。 ”“猜猜看，点 P 的轨迹是什么？”不少学生已经利用几何画板演示了出来：几何画
5、板演示：拖动主动点 A，得到点 P 的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段 OF1即半焦距 2c。如图 4。“真是椭圆。 ”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程？”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图 3对这类问题无从下手。教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x，y)，因此先设 P 点坐标为(x，y)。要建立点 P 的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个 点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)、P、F 1，其中点 F1是定点，A、B、P 都是动点，但点 A 是主动点，引起点 P 运动的原因是由于点 A 在椭圆上
6、运动。因此要找到点 P 与 A、B、F 这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。 ”“点 P 与 A、B 两点的坐标的关系怎样？”学生：“根据中点坐标公式得到 21x， 21y。 ”“如何将 A、B、P、F 1这四点的坐标联系起来？”“利用直线的斜率。 ”“直线 AB 的斜率怎样表示？”“有 21xyk，还有 cxyk。 ”“如何得到 ？”“”“A、B 两点在哪？满足什么方程？” 图 4“在椭圆上。满足 212bayxb， 22bayx。 ”“知道怎样求 21y了吗？”学生很快得到下列解法(经过整理)：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x，y)， 2bac，则 21x，
7、21y，因为点 A、B 都在椭圆上，则 12yxb， bay，两式相减得 0)()( 2212 axb ，用心 爱心 专心 - 3 -于是有 cxykabyxabxy2121 ，化简得 )2()(abc， 此即为所求的轨迹方程。教师：“以上解法是很典型的。这里设点 A、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用A、B 的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”一学生：“因为直线 AB 经过点 F1，可以设直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出 A、B 两点的坐标”另一学生：“不必解出 A、B 的坐
8、标，将直线 AB 的方程为 y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点 A、B 的横坐 标 x1，x 2，正好可以利用韦达定理得到 21x，21y，将点 A、B 的横坐标都表示为直线 AB 的斜率 k 的函数，消去参数 k 就行了。 ”教师：“很好。请同学们将解法写出来。 ”以下是学生的另一种解法(经整理)：解法二：假设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，代入椭圆方程12byax得 02)( 222 bakcxaxb设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x，y)，则 221， )()()( 2212121 ckabkcxkcxk =
9、2kabc， 由得 yab2，代入 y=k(x+c)得 )(2xy，整理得 1)2()(abcyx， 即为所求的方程。学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分相似 ，也不知有没有必然的联系？”学生：“ 2)(c与 2ab的比例正好等于 2:ba，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们的形状相同。 ”教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。刚才所探索的都是弦 AB 上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦 AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。 ”学生们立即投入到
10、探索中。- 4 -一位学生：轨迹 3 “在弦 AB 上任意取一点 Q，跟踪点 Q，动画哇！怎么点 Q 的轨迹是这样的？”不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦 AB 上任取一点 Q，跟踪点 Q，拖动主动点 A，取到如下几何图形(如图 57 所示)：图 5 图 6 图 7“呀！这是什么图形？”“怎么会有这样的图形？”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。 ”“该给这个轨迹起个什么名字呢？”学生们发出惊叹。拖动点 Q，发现点 Q 的轨迹也发生变化。当点 Q 接近中点 P 时，点 Q 的轨迹图形接近于中点 P 的轨迹小椭圆(如图 6)，而当点 Q
11、 接近于点 A 或 B 时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图 7)。轨迹 4 “老 师，我发现，如果将弦 AB 的两端 A、B 分别与椭圆长轴两个端点 A1、A 2连起来，则这两条直线 A2A 与 A1B 的交点 C 好象在椭圆的准线上。 ”另一个学生叫起来。“老师，点 Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点 C 的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。 ”教师：“试试看吧。 ”采取常规方法“交轨法”求解 ：设直线 AA2、BA 1的方程分别为y = k1(xa)，y = k 2(x+a)，将 AA2的方程代入椭圆方程整理得 0)( 21431 baxaba
12、,此方程的两根是 A、A2 的横坐标 x1与 a，故可求得 A(x1，y 1)点坐标为 )2,(1213bkabkaA, 图 8同理可求得 B(x2，y 2)点坐标为 )2,(23bkabkaB。由 A、F 1、B 三点共线可得 11FA，即 cxy21，用心 爱心 专心 - 5 -将 A、B 两点坐标代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，将 xyk1， xy代入上式得 0)()()()()()( 22222 axcbaxcabcaa，分解因式得 0 yxx ，因为直线 AA2、BA 1的交点在椭圆外，所以
13、22bayxb，故 0)()(axcax， 即 c。即为直线 AA2、BA 1的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程。“同样的道理，直线 A2B 与 A1A 的交点D 也在准线上。 ”“老师，不管 C、D 两点在左准线上怎样运动，CF 1D 是一个定值 90。如图 9 所示。 ”又一个学生发现了一个结论。同学们利用上个问题的解决方法，很快证明了出来。教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图 9结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹， 请同学们课后尽量给出证明。 ”轨迹 5 “老师，如图 10 作 OAB 的重心 G，其轨迹也是一个椭圆 。 ”一位学生说。(
14、以下是学生课后提供的解答过程：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，G(x，y)，AB 中点为 M(x0，y 0)，则02x， 1，321， 32， 0x， 032y，由 2bayxb， bayx，得 2121，此即为直线 AB 的斜率 k， 图 10又 cxycxyk320， cxyab32， 整理得)32(2yacxb. 故 OAB 重心 G 的轨迹方程为： 1)3()(22abcy。)下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线：- 6 -轨迹 6 “OAB 的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线(如图 11 所示)。 ”轨迹 7 “OAB 的垂心的轨迹是一条 形状的曲线(如图 12 所示 )。
15、”图 11 图 12轨迹 8 “OAB 的外心的轨迹是一条反 形状的曲线(如图 13 所示)。 ”轨迹 9 “OAB 中，过点 A 作 OB 的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图 14 所示)。”图 13 图 14轨迹 10 “老师，如图 15 作 ABF 2的重心 G，其轨迹也是一个椭圆。 ”(以下是学生课后的解答：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，G(x，y)，则由 F2(c，0)与 G(x，y)可得 AB 中点 M 的坐标为 3,(cx，因为 yaxbyabxy2121，所以 cxy)3(2，用心 爱心 专心 - 7 -整理得 322cbyaxb，即 1932acbyx 。此
16、即为 ABF 2的重心 G 的轨迹方程。) 图 15又是几条奇妙的曲线：轨迹 11 “ABF 2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线(如图 16 所示)。 ”轨迹 12 “ABF 2的垂心的轨迹是一条 形状的曲线(如图 17 所示)。 ”轨迹 13 “ABF 2的外心的轨迹是一条反 形状的曲线(如图 18 所示)。 ”轨迹 14 “ABF 2中，过点 A 作 BF2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图 19 所示)。”图 16 图 17图 18 图 19轨迹 1518 “延长 AF2交椭圆于另一点 C，联 BF2 ，ABC 的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一不知名的曲线(如图 2023 所示)
17、。 ”- 8 -图 20 图 21图 22 图 23“老师，椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线，它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线与抛物线中是不是也具有相似的结论？”“问得好。同学们探讨一下这位同学提出的问题。 ”以下是学生经过探索得出下面的结论(限于篇幅，本文略去解题过程)：轨迹 19 如图 24，过双曲线 12byax的右焦点 F2作弦 AB，则弦 AB 的中点 M 的轨 图 24迹是以 OF2为实轴即实半轴长为 c的双曲线，其方程为 1)2()(abcyx，其解答过程与椭圆相似，这里略去。并且此双曲线 与原双曲线的离心率相同。若在弦 AB 上任取一点 P，则点 P 的轨迹图形如图 25
18、26，并且当点 P 图 25接近中点 M 时，P 点轨迹接近中点 M 的轨迹双曲线；当点 P 接近点 A 或 B 时，P 点轨迹接近原双曲线。轨迹 20 如图 27，OAB 的重心 G 的轨迹是一双曲线，其方程为 1)3()(22abcyx 。轨迹 21 如图 28，ABF 1的重心的轨迹是用心 爱心 专心 - 9 -一双曲线，其方程为 1932acbyx 图 26图 27 图 28轨迹 21 如图 28，ABF 1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为 1932acbyx 。轨迹 22 如图 29，过抛物线 pxy2的焦点 F 作弦 AB， 则弦 AB 的中点 M 的轨迹是以F 为顶点的抛物线，其
19、方程为 )(.图 29 图 30 图 31如图 3031，若在弦 AB 上任取一点 P，则点 P 的轨迹并且当点 P 接近中点 M 时，P 点轨迹接近中点 M 的轨迹抛物线，当点 P 接近点 A 或 B 时，P 点轨迹接近原抛物线轨迹 23 如图 32，OAB 的重心 G 的轨迹是一条抛物线，其方程为 )3(42pxy 。轨迹 24 如图 33，K 是抛物线的准线与 x 轴的交点，KAB 的重心的轨迹是一条抛物- 10 -图 32 图 33 图 34线，其方程为 )6(342pxy 。如图 34，通过探索还可得到抛物线有关的一些性质： 如 以 AB 为直径的圆与准线相切； 连接 OA、OB 两
20、条直线，分别交抛物线的准线于 M、N 两点，则MFN= 90,并且AM、BN 都垂直于准线。教师：“今天的问题同学们研究得很好。几何画板可以称这数学实验室。通过这个实验室，同学们可以学会怎样去探索、发现问题和解决问题。象上面的轨迹问题，找到了主动点与被动点之间的关系，问题就不难解。下面的这个问题 ，同学们课后去加以研究，下周将你们研究的结果展示出来：问题 如图 35 所示，过椭圆的左顶点 A1作两条互相垂直的弦 A1A、A 1B。对于弦 AB 提出一些问题并加以解决。例如：弦 AB 是否经过一个定点；弦 AB 上中点的轨迹问题；过 A1或 O 点作弦 AB 的垂线，垂足的轨迹问题；A 1AB
21、的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题；A 2AB 的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题更一般的问题：如果在椭圆上取其它点 M，过点 M 作两条互相垂直的弦 MA、MB。对弦 AB 提出一些问题并加以解决。同样，对双曲线、抛物线也提出类似的问题。有关结果在下周展示出来。 ”课后对学生进行了调查。以下是一些学生的感受：“今天这堂课收获很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然问题，通过几何画板的动态显示，现在弄清楚了。 ”“今天这堂课真有意思。通过几何画板这个工具，不仅掌握了如何研究问题， 图 35同时也知道了如何去发现问题。 ”“通过这堂课，我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。 ”“我觉得老师要我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识，而且让我们知道了知识的产生
