1、 1 第 三 章 1 如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？ 解：不一样。单元刚度矩阵中每个元素的物理意义： ijk 表示单元第 j 个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第 i 个自由度产生的节点力。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，
2、其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。 不能。因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。 2 以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。 解：系统总位能的离散形式 12 TTp a K a a P 将求解的 方程 K a P 带入可得 1122T T Tp a K a a K a a K a U 在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别的。 设近似解为 p 、 U 、 K 、 a 、 K a P ，真实解为 p 、 U 、 K 、 a 、 K a P 且根据最小势能原理，得
3、到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故 pp 则 UU T T T Ta K a a K a a P a P 则近似解的位移总体上小于精确解的位移 解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。 3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。 解：在单刚 eK 中， eijk 表示单元第 j 个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第 i 个位移方向上引起的节点力。 在整体刚度中， ij
4、K 表示第 j 个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第 i 个自由度上引起的节点力。 2 4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。 解 :虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任 意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。 设 eq 为外荷载（此处为体力）， ep 为节点荷载， ew 为单元内位移场， e 为结点位移场 根据虚功原理 TTe e e eVp w q d V 由于 eewN 故 T T Te e e e e eTTV V Vw q d V N q d V N q d V 则 TTe e e e e eTTVV
5、p N q d V p N q d V 5 试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。 解： 弹性力学 有限单元法 物理模型 连续体 离散化结构 基本方程 几何方程 物理方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解法 解微分方程 解代数方程 解答形式 用函数表示 用数值表示 解答精度 精确解 近似解 6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为 ，证明单元内所有的应力均为零。 解：在三角形单元中 DB 0 0 0 0 0 0110 0 0 0 0 022i j m j m m i i ji j m j m m i i ji i j j m m
6、 j m j m m i m i i j i jb b b y y y y y yB c c c x x x x x xAAc b c b c b x x y y x x y y x x y y 由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为： 00u u yv v x 则可知节点位移向量 0 , 0 , , , , TT j j m my x y x 3 故应变 000 0 0 0110 0 0 0220i m m i i jjj m m i i jjj m i m m i m i i j i jmmy y y y y yyB x x x x x xxAAx x y y
7、x x y y x x y yyx 由于弹性矩阵 D 为常量矩阵， 应变向量 为零向量，故 D 为零向量，即单元内所有的应力为零。 7 二维单元在 ,xy坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。 解：二维单元在 ,xy坐标内平面移到不同位置时，刚度矩阵相同。在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。 刚度矩阵 21122114( 1 )22r s r s r s r sTr s r sr s r s r s r sb b c c b c c bE hAk B D B hAc b b c c c b b 单元平移或旋转时， ,iibc不变，故单元刚度矩阵不变。 8 判
8、断有限元网格离散合理性 a) 对图 1(a)所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。 b) 评论图 1(b)的网格划分合理吗 ?为什么 ?请加以改正。 图 1 解：（ a）网格划分不合理。 1）无过渡单元 2）无边界条件 3）夹角区应力集中，应适当加密风格 4）对称结构网格应对称划分 （ b）不合理。 1）左部网格应适当加密 2）由于三角形单元会造成 局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分 3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。 9 如图 2 所示，平面三角形构件以 x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下 ： 2211221145.25.25.25.25.25.25.
9、45.25.20.55.283.15.283.15.21010yxyxyxyxPPPPvuvu4 试建立以 1xu , 1yu , ,2xu (与图中 ,2xP 同向的位移 )及 1xP , 1yP , 2xP 来表示的刚度矩阵方程。 解：用坐标变换 T 则 1 1112 222c o ssinx xxy yyx xxyu uuv vvTu uuv 其中 1 0 0 00 1 0 00 0 c o s 00 0 s in 0T ， 由 K P K T P 1 0 0 01 0 2 .5 1 .8 3 2 .5 1 0 2 .5 2 .9 6 4 00 1 0 01 .8 3 2 .5 5 .0
10、 2 .5 1 .8 3 2 .5 2 .5 040 0 02 .5 4 .5 2 .5 2 .5 2 .5 4 .5 0 .5 052 .5 2 .5 2 .5 2 .5 3 2 .5 2 .5 0 .5 00 0 05KT 11411221 0 2 . 5 2 . 9 6 41 0 1 . 8 3 2 . 5 2 . 50 2 0xxyyxxuPvPuP 10 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模 型，其如图 3 所示。试求结点 2 的等效荷载列阵 2R 。 荷载作用于 12 边上，故等效节点力只与 12、 号节点有关 解：单元 ，形函数 12, (1 )NN ，
11、在 1 边上， 121, 1NN 1 2 1 20 , 0N N N Nxyl l m m 则 22( ) ( )xyd s d ld 线性分布面力 0qq则 1 211 0 3yyl qlP N q d s q l d 5 图 5 形函数1 2 31 , , 0ssN N Nll 在 1-2 边上， 0sq sql单元 ， 01 0 0 0 00 1 0 0 0120 0 0 02 3 3TTSSllTssllF N q d s d ssssqlllql 故节点 2 的等效荷载列阵 2023R ql 11 试求如 图 4 所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为 1，且设 e
12、K 表示第 e 个单元的单元 刚度矩阵（注意：结果应该用 eijk 表示）。 解：单元刚度矩阵 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 2 1 4 1 5( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 2 1 2 2 2 4 2 5( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 1 4 2 4 4 4 5( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )5 1 5 2 5 4 5 5kkkkkkkkKkkkkkkkk， ( 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 3 2 6 2 5( 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 3 2 3 3 3 6
13、3 5( 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )5 2 6 3 6 6 6 5( 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )6 2 5 3 5 6 5 5kkkkkkkkKkkkkkkkk ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )5 5 5 7 5 8( 3 )( 3 ) ( 3 ) ( 3 )7 5 7 7 7 8( 3 ) ( 3 ) ( 3 )8 5 8 7 8 8kkkK k k kkkk， ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )5 5 5 6 5 8( 4 )( 4 ) ( 4 ) ( 4 )6 5 6 6 6 8( 4 ) ( 4 ) ( 4 )8 5 8 6 8 8kkkK k k kkkk图
14、 4 6 整体刚度矩阵： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 2 1 4 1 5( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )2 1 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 5 2 6( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )3 2 3 3 3 5 3 6( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 1 4 2 4 4 4 5( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) (5 1 5 2 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 60
15、 0 0 0000 0 0 00 0 0 0k k k kk k k k k k k kk k k kk k k kKk k k k k k k k k k 2 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 )5 6 5 7 5 8 5 8( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 4 )6 2 6 3 6 5 6 5 6 6 6 6 6 8( 3 ) ( 3 ) ( 3 )7 5 7 7 7 8( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 )8 5 8 5 8 6 8 7 8 8 8 80 0 00 0 0 0 00 0 0 0k k
16、k kk k k k k k kk k kk k k k k k12 图 5 中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元 按局部编码 ,ijm 的单元刚度矩阵 K 和应力矩阵 S 是 ( 1 )8 0 6 6 2 61 6 6 1 2 6 41 3 .5 9 7 .5 31 3 .5 3 1 .59 .5 35 .5K 对称( 1 )0 0 3 0 3 00 4 0 3 0 12 0 1 . 5 - 1 . 5 - 0 . 5 1 . 5S 按图 5 示单元 的局部编码写出 K ， S 。 解：由图可知 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ),m i i j j
17、m 则由 ii ij im jj jm ijjj jm m m m im m iiK K K K K KK K K KKK 得到( 2 )9 .5 3 2 6 7 .5 35 .5 6 4 3 1 .58 0 6 61 6 6 1 21 3 .5 91 3 .5K 对称( 2 )3 0 0 0 - 3 00 - 1 0 4 0 - 3- 0 . 5 1 . 5 2 0 - 1 . 5 - 1 . 5S13 如图 6 所示 8 结点矩形单元 (每边中点为结点 ), 3 点为坐标原点， a=b=2，单元厚为 t。 求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。 求在 2-6-3 边作用均
18、布水平荷载 q时的等效结点荷载。 解： (1)位移函数： 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 82 2 2 29 10 11 12 13 14 15 16u x y x x y y x y x yv x y x x y y x y x y 引入无量纲的局部坐标 ,xyab baxy3 7 481526q7 则 1 3 1 3223 , ,22x x y yn x y 故1 2 3 1 2 3110 , , 1 , 0 , , 1 1 2 3 1 2 31 1 1 12 ( ) ( 1 ) , 4 ( 1 ) , 2 ( ) , 2 ( ) ( 1 ) , 4 ( 1 ) , 2 ( )2
19、 2 2 2l l l p p p 则 2n 时， 1 2 1 20 , 1, 0 , 1 1 2 1 21 , , 1 ,l l p p 则角节点的形函数为 121 1 1 14 ( ) ( ) , 4 ( ) ( ) ( 1 )2 2 2 2NN 341 1 1 14 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) , 4 ( ) ( ) ( 1 )2 2 2 2 边中节点的形函数为 5 6 7 84 ( 1 ) , 4 ( 1 ) ( 1 ) , 4 ( 1 ) ( 1 ) , 4 ( 1 )N N N N 证明收敛性： 位移函数中 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 82 2 2 29
20、10 11 12 13 14 15 16u x y x x y y x y x yv x y x x y y x y x y 19,表示刚体位移， 23,和 9 10,表示常应变，故位移函数具有完备性 设相邻单元公共边界上的直线方 程是 yb （或 xa ），代入位移函数中 2 2 21 3 6 2 5 8 4 72 2 29 11 14 10 13 16 12 15( ) ( )( ) ( )u b b b b x b xv b b b b x b x 为 x （或 y ）的 2 次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续， 故位移函数收敛 (2)荷载作用在 23
21、 边上，故等效节点力只与 263， ， 号节点有关 2 6 31 1 1 14 ( ) ( ) ( 1 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) 4 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )2 2 2 2N N N ， ，在 0 边上计算 iN632 4 1 , 4 ( 1 2 ) , 4 3NNN 36 20 , 0 22NN Nx y b b 22( ) ( ) 2xyd s d d 13 3 302 3xxs qtP t N q d s q t N d 8 16 6 60 42 3xxsP t N q d s q t N d q t 12 2 202 3xxs qtP t N q d s q t N
22、 d 第四章 1 经典梁理论和 Timoshenko 梁理论有哪些相同点和哪些不同点 ?基于以上两种理论的梁单元各有何特性？ 解： 经典梁理论 Timoshenko 梁理论 相同点 Kirchhoff 假设 不同点 1C 型单元 弯曲梁单元 截面转动 是挠度 w 的一阶导数，只有挠度 w 是独立的 采用 Hermite 插值 0C 型单元 考虑剪切变形影响 挠度 w 和截面转动 各自独立插值 采用拉格朗日插值 特性 梁的高度远小于跨度 梁很薄时，会造成剪切锁死现象 2 写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。 解：将只考虑轴向变形的杆件划分成 n 个单元，节点坐标为 0 1 1, , , ,
23、 , ,i i nx x x x x 单元的位移函数 12()u x x （ 1iix x x ） 用形函数近似位移函数得 11( ) ( )eei i i iu x N x u N u，其中 11 11( ) , ( )eeiiiii i i ix x x xN x N xx x x x 单元的应变 11 1 1 eeiiiidu u B ud x x x 单元的应力 eiE E B u单元应变能 111 1 1( )2 2 2iixx TTT e T e e e ei i i i iU A d x u B E A B d x u u K u 其中 1111 11iixeTi iix EAK
24、 B E A B d x xx 3 在杆系系统中 ,除了采用凝聚自由度的方法实现铰接端条件， 还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方法的优缺点。 解： 优点 缺点 凝聚自由度法 9 4 利用最小势能原理，推导图 1所示弹性基础上梁单元方程，其中该梁的势能为： 220 0 01 ( “ )22L L Lfp kvE I v d x d x w v d x 图 1 解：根据最小势能原理可知 0p 故有0 0 0( ) 0l l lpfE I v v d x k v v d x w v d x 对第一项分部积分0 0 00 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l ll l
25、 lE I v v d x E I v v E I v v E I v v E I v v E I v v 则000 ( ) ( ) ( ) 0l llfE I v k v w v d x E I v v E I v v 引入强制边界条件和自然边界条件使 00( ) ( ) 0llEI v v EI v v 由于 v 的任意性故控制微分方程为 ( ) 0fEIv k v w 此梁的位移函数 1 1 2 1 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h e e e ev x N x v N x N x v N x N d ，则 v N d 由于物理关系可知 ( )v x B d 则
26、v B d 由0 0 0( ) 0l l lfE Iv v d x k v v d x w v d x 得 1 1 11 1 1( ) ( ) ( )( ) i i ii i ii i ii i ix x xT T Te e e e eT T Tfx x xx x xeT T Tfx x xd B E I B dx d d N k N dx d d N wdxB E I B dx N k N dx d N wdx 则梁单元刚度方程为 e eek d F L w(x) x k f 10 其中 11 iixxe TTfk E I B B d x k N N d x 1 iixe TxF N wd
27、x 5 图 2 所示刚架 1) 如何进行节点编号使整体刚 度矩阵 K的带宽最小？ 2) 刚架的整体刚度矩阵中 a 节点的总刚度矩阵 Kaa和的总刚度矩阵 Kbc各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成（自行确定单元局部坐标方向） 3) 试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定 Kaa中对角元素的在相应存储数组中的位置。 图 2 有铰点的刚架 解： 1）考虑每个节点有两个自由度 由于半带宽 d=（相邻结点码的最大差值 +1） *2 故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差 3，使得带宽 d=8 2） ( 2 ) ( 3) ( 4 ) ( 5 )2 2 2 2 1 1 1 1aaK K K K K (6)12bcKK 3）考虑单元 节点 1 自由度的凝聚 可知 aaK 中对角线元素在原整体刚度矩阵中第 6 行第 7 列和第 7 行第 8列 则用二维等带宽存储后在矩阵中的第 6 行第 2 列和第 7 行第 2列 用一维变带宽存储后在 aaK 中对角线元素在数组中的位置为 9 和 10
