1、概率论与数理统计期末考试试题（A）专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)1D 2A 3B 4A 5A 6B（1） .0)(,0)(;0)(0)( ) ( ).,0(ABPAP(D)BC() P则同 时 出 现 是 不 可 能 事 件与 或 互 不 相 容互 斥与 则 以 下 说 法 正 确 的 是适 合、若 事 件（2）设随机变量 X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 则 （ ） 。5.1P(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) 21（3）设事件
2、 与 同时发生必导致事件 发生，则下列结论正确的是（ ）1A2 A（A） （B ）)()1P 1)()(21AP（C） （D）2（4） ).54,0);46,0();3,0();5,0(72),12(),1(DNCBNAZYXZYX则令 相 互 独与且设 随 机 变 量 立 .（5）设 为正态总体 的一个简单随机样本，其中nX,2,1 ),(2N,2未知，则（ ）是一个统计量。(A) (B) 21nii 21)(niiX(C) (D) X（6）设样本 来自总体 未知。统计假设n,21 2),(NX为 则所用统计量为（ ）。：已 知 ）（： 0100 HH(A) (B) nXUnSXT0(C)
3、(D)22)1(S ii122)(2、填空题(每空 3 分 共 15 分)1. 2. , 3. 4. )BP0)xexf 23e1)9(t（1）如果 ，则 .)(,(,0( APBPAB（2）设随机变量 的分布函数为X.0 ,)1(, ,0)(xexF则 的密度函数 ， .f )2(XP（3） .,_ ,32, 1321 是 的 无 偏 估 计 量也时当 的 无 偏 估 计 量是 总 体 分 布 中 参 数设 a a（4） 设总体 和 相互独立,且都服从 ， 是来自总体 的XY)1,0(N92,X样本， 是来自总体 的样本，则统计量 921, Y2921YU服从 分布（要求给出自由度） 。三、
4、(6 分) 设 相互独立， ， ，求 .BA, 7.0)(AP8.0)(B)(BAP解： 0.88= )(BP= (因为 相互独立).2 分)(,= 3 分7.0)(.则 .4 分 6.BP)()()( BPAAA6 分28.07.0四、 （6 分）某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T，各电梯在运行的概率均为 0.7，求在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率。解：用 表示时刻 运行的电梯数， 则 .2 分XTX)7.0,4(b所求概率 4 分1PX=0.9919 .6 分 404)7.().C五、 （6 分）设随机变量 X 的概率密度为 ，其 它,0)(xexfx求随机变量 Y
5、=2X+1 的概率密度。解：因为 是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分12xy当 时， .2 分0XY由 ， 得 4 分xy21,xy从而 的密度函数为 .5 分Y10)()(yfyfY= .6 分1021yey六、 （8 分） 已知随机变量 和 的概率分布为XYX1010P42P2而且 .Y(1) 求随机变量 和 的联合分布;X(2)判断 与 是否相互独立?解：因为 ，所以10P0YP(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出 YX-1 0 1014002140211.4 分(2) 因为 4200, YPXYXP所以 与 不相互独立8 分七、 （8 分）设二维随机变量 的联合密度函数为)
6、,(YX. ,0,0 ,12),()43(其 他yxeyxfy求：（1） ；（2）求 的边缘密度。),0(YXPX解：（1） .2 分102)43(),1( dyedxx=204103yedx20413yx= .4 分31e8（2） .6 分dyxfxX)43(2)(.8 分0e八、 （6 分）一工厂生产的某种设备的寿命 （以年计）服从参数为 的指数分X41布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。解： 因为 得 .2 分)41(eX041)(xexf用 表示出售一台设备的净盈利
7、Y3 分1310XY则 441)0(edxYP.4 分41402所以 )()20(14141eeEY（元） .6 分306.3九、 （8 分） 设随机变量 与 的数学期望分别为 和 2，方差分别为 1 和 4，XY而相关系数为 ，求 。5.0)(),2(YXDE解：已知 5.041,2E则 .4 分6)()(YX.5 分,2cov(DYX.6 分)(42=12 .8 分XYDY十、 （7 分） 设供电站供应某地区 1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这 1 000 户居民每日用电量超过 10 100 度的概率。
8、 （所求概率用标准正态分布函数 的值表示）.)(x解：用 表示第 户居民的用电量，则iXi 20,UXi2 分102iE31)(iD则 1000 户居民的用电量为 ，由独立同分布中心极限定理01iiX3 分10PXP= 4 分310310.6 分)310(= 7 分)(十一、 （7 分） 设 是取自总体 的一组样本值， 的密度函数为nx,21 XX, ,01,)1()其 他 xf其中 未知，求 的最大似然估计。0解: 最大似然函数为.2 分iniinin xxfxL)1()(),(11 = .3 分,nn则),ln()1l(),(ln11 nn xxL .4 分10令 .5 分),l(1l nxd于是 的最大似然估计：。 .7 分),l(1nx十二、 （5 分） 某商店每天每百元投资的利润率 服从正态分布，均值)1,(NX为 ，长期以来方差 稳定为 1，现随机抽取的 100 天的利润，样本均2值为 ，试求 的置信水平为 95%的置信区间。 （ x ,9.1)0(5.t）975.0)6.1(解： 因为 已知，且 1 分)1,0(NnX故 2 分2UnP依题意 5,1,0,96.1,05.2 x则 的置信水平为 95%的置信区间为4 分,22nUxx即为 4.801,5.199 5 分
