概率论与数理统计习题及答案--填空题.doc

1、 1 1设事件 ,AB都不发生的概率为 0.3， 且 ( ) ( ) 0.8P A P B，则 ,AB中至少有一个不发生的概率为 _. 2设 ( ) 0 .4 , ( ) 0 .7P A P A B，那么 （ 1）若 ,AB互不相容，则 ()PB _; （ 2）若 ,AB相互独立，则 ()PB _. 3设 ,AB是任意两个事件，则 ( ) ( ) ( ) P A B A B A B A B _. 4从 0,1,2, ,9 中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率为 _. 5有 5 条线段，其长度分别为 1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取的 3 条线段能

2、拼成三角形的概率为_. 6袋 中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球， 30 个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为 _. 7设事件 ,ABC 两两独立，且 1, ( ) ( ) ( ) 2A B C P A P B P C ， ( ) 9 / 1 6P A B C ，则()PA _. 8在区间（ 0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为 _. 9假设一 批产品中一、二、三等品各占 60%、 30%、 10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为 _. 10设事件 ,AB满足： 11( | ) ( | ) ,

3、( )33P B A P B A P A ，则 ()PB _. 11某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 _，第三次才取得正品的概率为 _. 12三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球， 1 个白球；第二个箱子中有 3 个黑球， 3 个白球；第三个箱子中有 3个黑球， 5 个白球 . 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为 _； 13设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9 ， A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 ()PA _. 14设在一次试验中，事

4、件 A 发生的概率为 p . 现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为 _，而事件 A 至多发生一次的概率为 _. 15设离散型随机变量 X 的分布律为 ( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 )2 AP X k kk ，则 A _, ( 3)PX_. 16设 ( 2 , ), (3 , )X B p Y B p，若 ( 1) 5/9PX，则 ( 1)PY_. 17设 ( )XP ，且 ( 1) ( 2 )P X P X ，则 ( 1)PX_， 2(0 3)PX _. 18设连续型随机变量 X 的分布函数为 0 , 0 ,( ) si n , 0 ,21 , ,2xF x A x

5、xx 则 A _， |6PX_. 2 19设随机变量 X 的概率密度为 22 ,0()0 , 0 ,xA x e xfxx 则 A _， X 的分布函数 ()Fx _. 20设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1 ,() 0 , .xxfx 其他现对 X 进行三次独立重复观察，用 Y 表示事件 ( 1/2)X 出现的次数，则 ( 2)PY_. 21设随机变量 X 服从 , aa 上均匀分布，其中 0a . （ 1）若 ( 1) 1/ 3PX ，则 a _； （ 2）若 ( 1/ 2) 0.7PX ，则 a _； （ 3）若 (| | 1) (| | 1)P X P X ，则 a _. 2

6、2设 2 ( , )XN ，且关于 y 的方程 2 0y y X 有实根的概率为 1/2 ，则 _. 23已知某种电子元件的寿命 X （以小时计）服从参数为 1/1000 的指数分布 . 某台电子仪器内装有 5 只这种元件，这 5 只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作 1000 小时以上的概率为 _. 24设随机变量 X 的概率密度为 1 , 0 , 1 32 , 3 , 6 ()90 , .xxfx 若若其他若 k 使得 ( ) 2 / 3P X k ，则 k 的取值范围是 _. 25设随机变量 X 服从 (0, 2) 上均匀分布，则随机变量 2YX 在 (0, 4) 内的密

7、度函数为 ()Yfy _. 26设 X 服从参数为 1 的指数分布，则 min( , 2)YX 的分布函数 ()YFy _. 27设二维随机变量 ( , )XY 在由 1 / , 0 , 1y x y x 和 2xe 所形成的区域 D 上服从均匀分布，则 ( , )XY 关于 X 的边缘密度在 2x 处的值为 _. 28设随机变量 ,XY相互独立且都服从区间 0,1 上的均匀分布，则 ( 1 / 2)P X Y _. 29 设 随 机 变 量 12, , , nX X X 相 互 独 立 ， 且 (1, ), 0 1iX B p p， 1,2, ,in ，则1 niiXX_. 30 设随机变量

8、 1 2 3,XXX 相互独立，且有相同的概率分布 ( 1)iP X p ，( 0 ) , 1 , 2 , 3 , 1iP X q i p q ，记 121 120,1, ,XXYXX 当 取偶数,当 取奇数232 230,1, ,XXYXX 当 取偶数,当 取奇数则 12Z YY 的概率分布为 _. 3 31 设 X 服从泊松分布 . （ 1 ）若 2( 1) 1P X e ，则 2EX _ ；（ 2）若 2 12EX ，则( 1)PX_. 32设 ( , )X B n p ，且 2, 1EX DX，则 ( 1)PX_. 33设 , X U a b ，且 2, 1 / 3E X D X，则

9、a _； b _. 34设随机变 量 X 的概率密度为 2 21( ) ,xxf x A e x ，则 A _， EX _，DX _. 35设 X 表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 2X 的数学期望2EX _. 36设一次试验成功的概率为 p ，现进行 100 次独立重复试验，当 p _时 ，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 _. 37设 X 服从参数为 的指数分布，且 2( 1)P X e ，则 2EX _. 38设随机变量 X 的概率密度为 ,( ) 0 ,0 , ,x a x bf x a b 其他且 2 2EX ，则 a _， b _.

10、39设随机变量 ,XY同分布，其概率密度为 22 , 0 1 / ,( ) 0 ,0 , ,xxfx 其他若 ( 2 ) 1 /E C X Y ，则 C _. 40一批产品的次品率为 0.1，从中任取 5 件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 _，均方差为_. 41某盒中有 2 个白球和 3 个黑球， 10 个人依次摸球，每人摸出 2 个球，然后放回盒中，下一个人 再摸，则 10个人总共摸到白球数的数学期望为 _. 42有 3 个箱子，第 i 个箱子中有 i 个白球， 4i 个黑球 ( 1,2,3)i .今从每个箱子中都任取一球，以 X 表示取出的 3 个球中白球个数，则 EX _， DX

11、 _. 43设二维离散型随机变量 ( , )XY 的分布列为 ( , ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 2 , 0 ) ( 2 , 1 )0 .4 0 .2XYP a b若 ( ) 0.8E XY ， a _， b _. 44 设 ,XY 独 立 ， 且 均 服 从 11,5N，若 2( 1 ) ( 1 ) D X a Y E X a Y ，则 a _ ，| 1|E X aY _. 45设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 ( 1)( 2) 1E X X ，则 _. 46设随机变量 2, 2XU ，记 1 , 1 , 1 , 2 ,0 , 1 ,k XkYkXk 则 1

12、2Cov( , )YY_. 47设 ,XY是两个随机变量，且 1 , 1 / 4 , 1 / 3XYD X D Y ，则 ( 3 )D X Y_. 4 48设 1 , 2 , 1 , 4 , 0 . 6XYE X E Y D X D Y ，则 2(2 1)E X Y _. 49设随机变量 X 的数学期望为 ，方差为 2 ，则由切比雪夫不等式知 (| | 2 )PX _. 50设随机变量 1 2 100, , ,X X X 独立同分布，且 0, 1 0,iiE X D X 1,2 ,100i ，令 10011100 iiXX ，则 100 21 ( ) iiE X X _. 51设 12, ,

13、, nX X X 是总体 ( , 4)N 的样本， X 是样本均值，则当 n _时，有 2( ) 0.1EX . 52设 12, , , nX X X 是来自 0 1 分布： ( 1 ) , ( 0 ) 1P X p P X p 的样本，则 EX _，DX _， 2ES _. 53设总 体 12 ( ), , , , nX P X X X 为来自 X 的一个样本，则 EX _， DX _. 54设总体 12 , , , , nX U a b X X X为 X 的一个样本，则 EX _， DX _. 55设总体 2 1 2 6 ( 0 , ) , , , ,X N X X X 为来自 X 的一个

14、样本，设 221 2 3 4 5 6( ) ( )Y X X X X X X ，则当 C _时， 2 (2).CY 56设 1 2 16, , ,X X X 是总体 2( , )N 的 样本， X 是样本均值， 2S 是样本方差，若 ( ) 0 .9 5P X a S ，则 a _. 57设 1 2 9, , ,X X X 是正态总体 X 的样本，记 1 1 2 6 2 7 8 911( ) , ( )63Y X X X Y X X X ， 9222 1 271 ( ) , 2 ( ) / ,2 iiS X Y Z Y Y S 则 Z _. 58设总体 12 , ( 0 ) , , , , n

15、X U x x x 为样本，则 的一个矩估计为 _. 59设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度近似为 0.95 的置信区间为 _. 60设由来自总体 2( , 0.9 )N 的容量为 9 的简单随机样本其样本均值为 5x ，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 _. 1 概率论与数理统计 习题及答案 填空题 1设事件 ,AB都不发生的概率为 0.3， 且 ( ) ( ) 0.8P A P B，则 ,AB中至少有一个不发生的概率为_. 解： ( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B 1 ( ) (

16、) ( )P A P B P A B 1 0 .8 ( ) 0 .3P A B ( ) 0.1P AB ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 . 1 0 . 9P A B P A B P A B 2设 ( ) 0 .4 , ( ) 0 .7P A P A B，那么 （ 1）若 ,AB互不相容，则 ()PB _; （ 2）若 ,AB相互独立，则 ()PB _. 解： （ 1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P B ( ) ( ) ( ) 0 . 7 0 . 4 0 . 3P A B P A P A B （由已知 AB ） （ 2） ( ) ( ) (

17、 ) ( )P B P A B P A P A B 0 .7 0 .4 ( ) ( )P A P B 0.3 0.4 ( )PB 10 .6 ( ) 0 .3 ( ) 2P B P B 3设 ,AB是任意两个事件，则 ( ) ( ) ( ) P A B A B A B A B _. 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B A B A B A B P A A A B A B B A B A B ( ) ( ) ( ) P A B B A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .P A B B B A B P A B A B P 4从 0

18、,1,2, ,9中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率为 _. 解： 设 A 取 4 个数能排成一个四位偶数，则 45410 41( ) 1 ( ) 1 42CP A P A C 5有 5 条线段，其长度分别为 1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取的 3 条线段能拼成三角形的概率为 _. 解： 设 A 能拼成三角形，则3533() 10PA C6袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球， 30 个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为 _. 解 1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为 25 . 解 2：设 A 乙取到黄球

19、，则 1 1 1 12 0 1 9 3 0 2 0115 0 4 9 2() 5C C C CPA CC或 2 0 1 9 3 0 2 0 2() 5 0 4 9 5 0 4 9 5PA . 7设事件 ,ABC 两两独立，且 1, ( ) ( ) ( ) 2A B C P A P B P C ， ( ) 9 / 1 6P A B C ，则()PA _. 2 解： 9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )16P A B C P A P B P C P A B A C P B C P A B C 23 ( ) 3 ( )P A P A 21 6 ( ) 1 6 ( ) 3

20、0P A P A . 3()4PA 或 1()4PA ，由 1()2PA 1() 4PA. 8在区间（ 0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概 率为 _. 解： 设 A 两数之和小于 6/5，两数分别为 ,xy，由几何概率如图 A 发生 01x 01y 65xy 2111 (1 )52()1SPAS 阴正1725 9假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、 30%、 10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为 _. 解： iA 取到 i 等品， 3 1 2 2A A A A 23 223 3 1 2() ( ) 0 .3 1( | ) ( )

21、( ) ( ) 0 .6 0 .3 3P A A PAP A A P A P A P A 10设事件 ,AB满足： 11( | ) ( | ) , ( )33P B A P B A P A ，则 ()PB _. 解： ( ) ( ) ( )( | )( ) ( ) ( )P A B P A B P A BP B A P A P A P A 1 ( ) ( ) ( )1 ( )P A P B P A BPA 111 ( )1391 313PB （因为 1 1 1( ) ( ) ( / ) 3 3 9P A B P A P B A ） 5() 9PB. 11某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品

22、，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 _，第三次才取得正品的概率为 _. 解： 设 iA 第 i 次取到正品， 1,2,3i 则3 63() 10 5PA 或 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A A A P A A A P A A A P A A A 6 5 4 4 6 5 4 3 6 6 4 5 31 0 9 8 1 0 9 8 1 0 9 8 1 0 9 8 5 1 2 3 4 3 6 1( ) 0 . 11 0 9 8 1 0P A A A 12三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球， 1 个

23、白球；第二个箱子中有 3 个黑球， 3 个白球；第三个箱子中有 3 个黑球， 5 个白球 . 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为 _；0 1y 1y y x 65xy 3 已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为 _. 解： 设 iA 取到第 i 箱 1,2,3i ， B 取出的是一个白球 311 1 3 5 5 3( ) ( ) ( | ) ( )3 5 6 8 1 2 0iiP B P A P B A 22213( ) ( | ) 2 036( | )53( ) 5 3120P A P B AP A BPB 13设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发

24、生的概率为 1/9 ， A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 ()PA _. 解： 由 ( ) ( )P AB P AB 知 ( ) ( )P A B P B A 即 ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P B P A B 故 ( ) ( )P A P B ，从而 ( ) ( )P A P B ，由题意： 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 P A B P A P B P A ，所以 1()3PA 故 2()3PA . （由 ,AB独立 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 均独立） 14设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p . 现进

25、行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为_，而事件 A 至多发生一次的概率为 _. 解： 设 BA 至少发生一次 ( ) 1 (1 ) ,nP B p CA 至多发生一次 1( ) ( 1 ) ( 1 )nnP C p n p p 15 设 离 散 型 随 机 变 量 X 的分布律为 ( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 )2 AP X k kk ，则 A _, ( 3)PX_. 解： 301 1 1 1( ) ( ) 12 3 4 5 2 3 4 5kAAAAP X K A 6077A 1 6 0 6 5( 3 ) 1 ( 3 ) 15 7 7 7 7P X P X 16设 ( 2

26、 , ), (3 , )X B p Y B p，若 ( 1) 5/9PX，则 ( 1)PY_. 解： (2, )X B p 22( ) (1 ) 0 , 1 , 2k k kP X k C p p k (3, )Y B p 33( ) (1 ) 0 , 1 , 2 , 3 .k k kP Y k C p p k 0 0 2 22 5( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 9P X P X C p p p 2 4(1 ) 9p 21 3p 13p 33 2 1 9( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( )3 2 7P Y P Y p . 17设 ( )XP ，且

27、( 1) ( 2 )P X P X ，则 ( 1)PX_， 2(0 3)PX _. 4 解 ： 1 2 2( 1 ) 2 ( 0 )1 ! 2 ! 2P X e e 0 2( 1 ) 1 ( 0 ) 1 10!P X P X e e 22( 0 3 ) ( 1 ) 2P X P X e 18设连续型随机变量 X 的分布函数为 0 , 0 ,( ) si n , 0 ,21 , ,2xF x A x xx 则 A _， |6PX_. 解： ()Fx为连续函数，22lim ( ) lim ( ) ( )2xxF x F x F 1 sin 12AA . 1( | | ) ( ) ( ) ( ) s

28、 i n6 6 6 6 6 6 2P X P X F F . 19设随机变量 X 的概率密度为 22 ,0()0 , 0 ,xA x e xfxx 则 A _， X 的分布函数 ()Fx _. 解 ： 2 2 2 2 2000 1( ) ( ) 22x x xf x d x A x e d x A x e x e d x 2 2 20001( ) 12 2 4 4x x xA A AA x d e e d x e 4A . 2 2 2 2 2 20 0 0( ) 4 4 1 ( 2 2 1 ) , 0()0 , 0x x xx u xf x d x x e d x u e d u x x e

29、xFx x 20设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1 ,() 0 , .xxfx 其他现对 X 进行三次独立重复观察，用 Y 表示事件 ( 1/2)X 出现的次数，则 ( 2)PY_. 解： (3, )Y B p ，其中 1 122 20011( ) 224p P X x d x x 223 1 3 9( 2 ) (1 ) 3 1 6 4 6 4P Y C p p 21设随机变量 X 服从 , aa 上均匀分布，其中 0a . 5 （ 1）若 ( 1) 1/ 3PX ，则 a _； （ 2）若 ( 1/ 2) 0.7PX ，则 a _； （ 3）若 (| | 1) (| | 1)P X

30、 P X ，则 a _. 解： 1 , , () 20,x a afx a 其它（ 1）11 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 3 .3 2 2 2 2 3aP X d x a aa a a （ 2） 121 1 1 1 1 1 5( ) 0 . 7 ( ) 0 . 72 2 2 2 4 2 4aP X d x a aa a a （ 3） ( | | 1 ) ( | | 1 ) 1 ( | | 1 ) 1 ( | | 1 )P X P X P X P X 111 1 1 1( | | 1 ) 2 2 .2 2 2P X d x aa a a 22设 2 ( , )XN ，且关于 y 的

31、方程 2 0y y X 有实根的概率为 1/2 ，则 _. 解： 2 0y y X 有实根 11 4 0 4XX 11 1 1 1 14( ) ( ) ( ) ( 0)4 2 4 2 4P X F . 23已知某种电子元件的寿命 X （以小时计）服从参数为 1/1000 的指数分布 . 某台电子仪器内装有 5 只这种元件，这 5 只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作 1000 小时以上的概率为 _. 解： Y 仪器正常工作时间，则 0()00xexfxx 15( 1 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 )P Y P X X 15( 1 0 0 0 ) ( 1 0

32、 0 0 )P X P X 5 ( 1000)PX 1100010001( 1 0 0 0 ) 1000 xP X e d x e 5( 1 0 0 0 )P Y e 24设随机变量 X 的概率密度为 1 , 0 , 1 32 , 3 , 6 ()90 , .xxfx 若若其他若 k 使得 ( ) 2 / 3P X k ，则 k 的取值范围是 _. 解： 16312( ) ( ) 39kkP X K f x d x d x d x f(x) 1/3 6 3 1 0 6 1 2 (6 3 ) 3 23 9 3 3kk 1k k 的取值范围为 1,3 . 25 设随 机变 量 X 服从 (0,2)

33、 上 均 匀分 布， 则 随机 变量 2YX 在 (0, 4) 内 的密 度 函数 为()Yfy _. 解： 1 ( 0 , 2)() 20xfx 其它2 ( | | ) 0( ) ( ) ( )00Y P X y yF y P Y y P X y y ( ) ( ) ( ) 000XXP y X y F y F y yy 11221 1 1( ) ( ) 0 422( ) ( )400XXYYf y y f y y yf y F y yy 当 2YX 在（ 0， 4）内时 1()4Yfy y. 26设 X 服从参数为 1 的指数分布，则 min( , 2)YX 的分布函数 ()YFy _.

34、解 1： ( ) ( ) ( m i n ( , 2 ) ) 1 ( m i n ( , 2 ) )YF y P Y y P X y P X y 1 ( , 2 )P X y y 1 ( ) ( ) ( ) 0 0( ) 1 0 21 0 1 2XyXP X y P X y F y yF y e yy 解 2： 设 X 的分布函数为 ()XFx， 2 的分布函数为 2()Fz，则 1 , 0 ,()0 , 0 ;xX exFx x 2 0, 2,() 1 , 2;zFz z 2( ) 1 1 ( ) 1 ( ) YXF y F y F y 0 , 0 ,1 , 0 2 ,1 , 2 .yyeyy 27设二维随机变量 ( , )XY 在由 1 / , 0 , 1y x y x 和 2xe 所形成的区域 D 上服从均匀分布，则 ( , )XY关于 X 的 边缘密度在 2x 处的值为 _. 解： 2 211 1( 0 ) ln 2e eS d x xx 阴D x 1y xy o e2 1 1(2) 4Xf