1、固体物理学部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。解 由倒格子定义 2311ab3122ab1233ab体心立方格子原胞基矢 3(),(),()ijkijkijk倒格子基矢 23110(22aaabijijv20()()4ijkijkv()jka同理 3122()abi32()bij可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子13,面心立方格子原胞基矢 123()/ajkij倒格子基矢 2311ab12()bijka同理 2()ijk 3ij可见由 为基矢构成的格子为体心立方格子13,b1.4 证明倒格子原胞的体积为 ，其中 为正格子原胞体积03(
2、2)v0证 倒格子基矢 2311ab32123123ab倒格子体积 *0123()v3*02312()()()vaa 3*0(2)v1.5 证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h证： 3312,aaCAB容易证明 1230hG与晶面系 正交。123b123()h1.6 如果基矢 构成简单正交系,ac证明晶面族 的面间距为()hkl 221()()kldabc说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证 简单正交系 abc123,ijk倒格子基矢 2311a 1223ab 123ab123,bijkc倒格子矢量 Ghklbhijlkabc晶面族 的面间距()kl
3、d221()()面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111) 面与(110)面的交线的晶向解 (111)面与(100) 面的交线的 ABAB 平移，A 与 O 重合。B 点位矢 BRajk（111）与（100）面的交线的晶向 Aja晶向指数 01(111)面与(110)面的交线的 AB 将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢BRaij(111)面与(110)面的交线的晶向 ABaij晶向指数 102.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 .2ln证 设想一个由正负两种离子相间排列的无
4、限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 34(1).nx当 X=1 时，有 1.22n.2n2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为 ()mnurr求 1）平衡间距 2）结合能 W（单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取0r，计算 值。2,.3,4mnnmeV,解 1）晶体内能 ()nNUrr平衡条件 0rd10mn10()nmr2) 单个
5、原子的结合能 01()2Wur00()mnrur)(mn3) 体弹性模量 02()VUK晶体的体积 A 为常数，N 为原胞数目3r晶体内能 ()2mn123rr212()mnUNVNA体弹性模量 02()K02200019mnmnVNrr由平衡条件 01200()23nUA0mnr0220019mnVUNr体弹性模量 02()K00()2nUr0220019mnVN02200nVr（ ） 0mnr2009mnN0202()9VUmn09mnKUV4） 0mnr10()nr(1)2mnW12W9510.8em01r192.V2.6用林纳德琼斯(LennardJones)势计算 Ne 在 bcc（
6、球心立方）和 fcc（面心立方）结构中的结合能之比值解 126 1261()4(),()(4)()2nlururNAr26661001rAd22061().5/9.)/(0.5743bcbcffu2.7对于 ，从气体的测量得到 LennardJones 势参数为2H计算 结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以 KJ/mol6501,.9JA2H单位） ，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1，试与计算值比较解 以 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作2H用，则晶体的总相互作用能为： 126.ij ijjUNPR61
7、24.539;.38,ij ijj i16 2350,.,6.0/.ergANmol1262816.96.961/53452.5/.3Umolerg KJmol 将 R代 入 得 到 平 衡 时 的 晶 体 总 能 量 为。因此，计算得到的 晶体的结合能为 2.55KJmol，远大于实验观察值2H0.75lKJmo1对于 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，2这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因3.1已知一维单原子链，其中第 个格波，在第 个格点引起的位移为，jn， 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平sin(_)njjjjjatqj均能量为 ，具体
8、计算每个原子的平方平均位移。kT解 任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）sin()nnjjjjjatq2*2*nnjnjnjnj?由于 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项nj相比是一小量，可以忽略不计。所以 22nnj由于 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为njt（2）022 211si()Tjjjjjjatnqdta已知较高温度下的每个格波的能量为 kT， 的动能时间平均值为nj0 022 201 1si()4LT Tnjjnj jjjjjdwaxtLtnaqdtwLa 其中 L 是原子链的长度， 使质量密度
9、， 为周期。0所以 （3）214njjTwaKT因此 将此式代入（2）式有 22njjPL所以每个原子的平均位移为 22221nnjj jjKTPL3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链( 相邻原子间距为 a)，其 2N 个格波解，当 M=m 时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 牛顿运动方程 22121()nnnmM 体系有 N 个原胞，有 2N 个独立的方程方程 的解22121()nnn (2)211itnaqnAeBA , B 有 非零解22cos0csmaqM12 2()
10、41sin() 两种不同的格波的色散关系12 2()si()maqM12 2()41in()对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为 2N M=m 4cos2aqmin2()(cs)cosBaq长波极限情况下 0qsin()2qa(2)qm与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于 c 和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为 求在 和 处的 大略地画出色散关2a0ka()k系本题模拟双原子分子晶体，如 。H解 a/2 C 10c1su1svsusv1su1sv，210sssdMVVt2 10,sssCut
11、将 代入上式有, .iKait isKaits seVe 2101,ikaiMuCuVCe是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为=0，解出221,(0)()1iKaiKae242()00.MCcona 当 K=0 时， 当 K= 时/2/,0,2,/CM与 的关系如下图所示这是一个双原子(例如 )晶体2K2H3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 ()解 设单原子链长度 LNa波矢取值 每个波矢的宽度2qhNa2Na状态密度 dq 间隔内的状态数 dq 对应 取值相同， 间隔内的状态数目,d()2adq一维单原子链色散关系 224sin()aqm令 04m0i()两边微分得到 0cos2aqdd0cos()12aq202dd20dqa代入 ()N201一维单原子链的频率分布函数 20()N3.7设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20()qA求证：频率分布函数为 ;1/2023/(),4VfA. 0解 11222 200 0(),qf Aq时 ，依据 ，并带入上边结果有3(),()q qVdsAf 1/2 1/20 033 22 3/014()2qVds Vf A所以22 ,BxyKmama点 能 量 /BA
