1、4-1习 题 四4-1 质量为 m=0.002kg 的弹丸，其出口速率为 300 ，设弹丸在枪筒中前进所受到sm的合力 。开抢时，子弹在 x=0 处，试求枪筒的长度。9804xF解 设枪筒长度为 L，由动能定理知2021vA其中 LdxFdx0)984(42而 ， 所以有：0v2230.5094L化简可得： m4.8162L即枪筒长度为 0.45m。4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为 m 的滑块以初速度 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为 ，试证明：当滑块从屏障0v 的另一端滑出时，摩擦力所作的功为 12120emvW证明 物体受力：屏障对它的压力
2、N，方向指向圆心，摩擦力 f 方向与运动方向相反，大小为 (1)f另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律 切向 (2) tmaf法向 (3) RvN2联立上述三式解得 at又 svttvaddt 所以 Rv2即 sd两边积分，且利用初始条件 s=0 时， 得0v4-2即 0lnlnvsRvsRev0由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即 时，摩擦力所做的功2021mWs为 12212000 evevR4-3 质量为 m 的质点开始处于静止状态，在外力 F 的作用下沿直线运动。已知，方向与直线平行。求：(1)在 0 到 T 的时间内，力 F 的冲量的大小；
3、(2)在TtFsin00 到 时间内，力 F 冲量的大小； (3)在 0 到 时间内，力 F 所作的总功；(4)讨论质点2 2的运动情况。解由冲量的定义 ，在直线情况下，求冲量 的大小可用代数量的积分，即12dtI I12tF(1) 从 t0 到 t=T， 冲量的大小为： =0 TtI1dTtFtT0 002cosd2sin(2) 从 t=0 到 t=T/2，冲量的大小为00002 22 s2si FttFI TT (3) 初速度 ，由冲量定理 v0mvI当 t=T/2 时，质点的速度TFv又由动能定理，力 F 所作的功mmvvA202020211(4) 质点的加速度 ，在 t=0 到 t=T
4、/2 时间内，a0，质点)/sin()/(0Tta作初速度为零的加速运动，t =T/2 时，a=0 ，速度达到最大；在 t=T/2 到 t=T 时间内，a0，故质点作减速运动，t =T 时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。 4-4 如图所示，将质量为 m 的球，以速率 射入最初静止于光滑平面上的质量为 M1v的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?4-3解 设地球和弹簧枪的共同速度为 ，将球2v体和弹簧枪看作一个系统，因为水平
5、方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有(1)21vMmv把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量(2)221vMmvW联立以上两式得 2121m2121vvMm21214-5 角动量为 L，质量为 m 的人造地球卫星，在半径为 r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。解 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以 ，由 知，vvrLmrmvLrL所以卫星的动能 mE22k 11选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得： 2nrGMvmF所以 E1k又 rp所以 2kpmL所以 2
6、pkrE4-44-6 已知某人造卫星的近地点高度为 ，远地点高度为 ，地球的半径为 。试求1h2heR卫星在近地点和远地点处的速率。解 地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即 。在近地点和远地点速度方恒L向与轨道半径方向垂直。故 (1)2e1emvhRvh设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为 和1ehRGMm恒，由机械能守恒定律得2ehRGMm恒(2)2e21e21 hRGMmvhRmv恒恒在地球表面附近有 (3)g2e联立以上三式解得 21e1e1 hRhv21e2e2gR4-7 一质量为 与另一质量为 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离1m2由 增加到
7、时所需要作的功。1xdx解 万有引力 021rFmG两质点间的距离由 x 增加到 时，万有引力所作的功为dx1 1122d11 xdrAdxxr故外力所作的功 dxmGdxmGdx 1211211rF此题也可用功能原理求： 外 pEA4-54-8 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为 ，k 为常数。若取2rf无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为 r 时的势能。解由势能的定义知 r 处的势能 为:pErrrkfdd3pf 221rk4-9 如图所示，有一门质量为 M(含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为 l 时从炮口沿水平方向射出一发质量为 m 的炮弹
8、。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度 v 应是多大?解 大炮从静止滑动距离 L 的过程中，取大炮( 含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。设末态大炮的速度为 V，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得(1) 2/sinvmMgL大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比） ，而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑） ，故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为 v， 沿斜面方向的分量为 ，又因炮车末态静止，则cosv(2) cos由(1)、(2)两式得cosin2cosimgLMv4-10 设地球的质量为 M，万有引力
9、恒量为 ，一质量为 m 的宇宙飞船返回地球时，0G可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭 )。求它从距地心 下降到 处1R2时所增加的动能。解 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即： 210 100pk)()(RMmGRMmGE4-11 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成 ，式中612pxbaEa、b 为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时 ?x 为何值时 为极小值?(2)试确定两原子0pExEp4-6间的作用力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿 x 轴运动
10、，试述可能发生的运动情况。解 (1) 当 =0 时，有：xEp0612ba即 或 x016x故 )(p161恒恒恒Ebax(x)为极小值时，有 pE0d)(x即 61273ba所以 2xx恒(2)设两原子之间作用力为 ，则f)(grad)(pxEx在一维情况下，有713p62d)()( xbaxEf (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当 x0，它们互相排斥，另一原子将远离；当 xx2 时 f(x)0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当xx2 时，又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远，
11、则 f(x)趋于零，两原子互不影响。4-12 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如图所示。若在 处释放质子，0r问：(1)在离开大原子核很远的地方，质子的速率为多大? (2)如果在 处释放质子呢?02r解 当 时， ，将原子核和质子看作pE4-7一个系统，可忽略重力作用，则在原子核的引力场中，系统的能量守恒，故 ，rEpk又 ，其中 为质子的质量， ，2pk1vmEp kg10673.27pm得到 ppk2rE(1) 时，0r J1062.140MeV.069r所以 sm75.8673.1242 6791 v(2) 时，0r J102.10e690p rE所以 s7.41673.22 676
12、91 v4-13 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势来表示，式中 约为 50MeV， 约为 。(1) 试求两个柱00preEr0E0rm15.子之间的相互作用力 F 与它们之间距离 r 之间的函数关系；(2)求 时相互作用力的值；0r(3)求 ， ， 时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。02r0501r解 (1) 0000p 1d rr erEeErf 0 为引力rf(2) 当 时，0N1092.323010reEF(3) 当 时，02r N1054.842 302000 FerEer当 时，05r 0405005 361rrrEF当 时，01r 07011005 2
13、1 FerEerr由以上的计算结果知，当 r 增大时，F 值迅速减小，即 F 只在 r 比较小的范围内(数量4-8级均为 )有明显作用，这种力就叫做短程力。m1044-14 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为 m 的滑块。弹簧原长为 ，倔强系数为 k。当0Lt0 时，弹簧长度为 。滑块得一水平速度 ，方向与弹簧轴0Lv线垂直。t 时刻弹簧长度为 L。求 t 时刻滑块的速度 v 的大小和方向 (用 角表示)。解因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即(1)20220)(11Lkmv小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，
14、则小球对固定点角动量守恒，即恒量rL故 (2)sin0v由(1)式得 2020)(Lmkv代入(2)式得 2020)(arcsinLkvL4-15 如图所示，一太空探测器沿着抛物线路径接近金星，当抵达点 B 时最靠近金星。此时点燃制动火箭减速，使它进入椭圆轨道，以便在点 A 作切向着陆。点 B 距金星中心16090km，金星半径为 5990km，质量为地球的 0.815 倍。试求； (1)探测器达到点 B 的速率；(2)制动火箭点燃后，探测器的速率；(3)在 A 处着陆时探测器的速率。解 (1) 探测器以抛物路径到达 B 点，其条件是 E=0(以金星中心为原点)，而 rGMmvE21所以 sk
15、m37.6106985.2324rGMmv(2) 当探测器以椭圆轨道在 A 点作切向着陆时，它所受的是金星对它的有心力，且是保守力，所以应满足角动量守恒和机械能守恒定律的条件。设在 B 点和 A 点的速率分别为 和 ，则有BvA写成标量形式为 (1)A0vrrm 0ABrmv4-9(2)02A2B11rGMmvrmv将上述两式联立，可得 sm103.105916016098.7.233240B rv(3) 由(2)式知， svkm7.50BA4-16 如图所示，两飞船 和 在绕地球的两个圆形轨道上作逆时针方向飞行，两轨1S2道同处一个平面内，半径分别为 和 。现从 上沿其轨道的切向发射的补给火
16、箭，r161S使其速度能在抵达 时与 的轨道相切。补给火箭发射2S2后，就在自由飞行的条件下完成其旅程。试求：(1)补给火箭相对于 的发射速率；(2)补给火箭到达 B 处的速率；1(3) 的轨道速率； (4)对比 (2)和(3)的结果后，为了使2S和 连接，还应当采取什么措施? 1解 (1) 补给火箭的轨道是一个半椭圆，设其相对于地心的速率为 ，由于上题的(1)、(2)两式可得0v12107rGMr为求补给火箭相对于 的速率 ，先要知道 相对于地心的速率 ，由于 作半径Sv1S1v1S为 的圆周运动，由牛顿运动定律和万有引力公式得1r12rmvMG所以 11rv 11072rGMv(2)设补给
17、火箭到达 B 处的速率为 ，根据动量守恒有B(m 为补给火箭的质量)201vr4-10所以 11021B 2736rGMrvrv(3) 设 的轨道速率为 ，根据牛顿运动定律和万有引力公式，有2S2 2rmvMG所以 1216rGMv(4) 对比(2)和(3) 可知， 。所以补给火箭抵达 B 后，必须开动引擎使其速率增至Bv2的轨道速率，否则不能连结。2S4-17 求证：两个小球在一维弹性撞过程中，最大弹性形变势能为 20121pmaxvE式中 、 是小球的质量， 、 是碰撞前小球的速率。120v解 在弹性碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，当二者速度相等时，弹性势能最大，此时，由动量守恒定律，得
18、(1)vmvm)(212010又由机械能守恒定律得，(2)2120210p )(E由(1)式，解出 v，代入(2) 式中，得20121p)()(vm4-18 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为 1个原子质量单位(记作 1u)，石墨原子质量为 12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞前后中子速率的比值，(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为。0E解 设中子质量为 ，碰撞前后速度分别为 ；石墨原子质量为 ，碰撞后速度1m21,v2m为 。碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中，有：2v 211vv此碰撞可看作完全弹性碰撞，所以有：
