1、第六章 稳恒磁场82第六章 稳恒磁场本章提要1. 磁感应强度描述磁场力的属性的物理量是磁感应强度，常用 B 来表示。其定义式为 qvFBmax在 SI 制中，B 的单位为特斯拉（T） 。B 另一个单位为高斯(G)，两者的换算关系为1T=104G2. 毕奥萨伐尔定律（1） 毕奥萨伐尔定律 毕奥萨伐尔定律的微分形式电流元 Idl 在真空中任一点 P 所产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元的大小成正比，与电流元 Idl 和 r 的夹角的正弦成正比，与电流元到 P 点的距离的平方成反比。dB 的方向垂直于 Idl 和 r 所组成的平面，指向与矢积 Idl 的方向相0r同，即 02d4IrlBmp=其
2、中， ，称真空磁导率。7-2041NAmp-= 毕奥萨伐尔定律的积分形式 02d4llIr（2）几种典型的磁场分布 无限长直电流的磁场分布 02IBrmp= 载流长直螺线管内的磁场分布 0nI 运动电荷的磁场分布 0024qrvBp=第六章 稳恒磁场833. 磁高斯定理 磁通量穿过磁场中某一面积 S 的磁通量定义为 dBSms= 磁高斯定理通过空间中任意封闭曲面的磁通量必为零，即 d0Sg4. 安培环路定理在真空中的稳恒磁场内，磁感应强度 B 的环流等于穿过积分回路的所有传导电流强度代数和的 倍，即00indLIrm=5. 安培力与洛仑兹力（1）安培力载流导线在磁场中受到的宏观力称安培力。安培
3、力服从安培定律。 安培定律的微分形式放在磁场中任一点处的电流元 所受到的磁场作用力 的大小与电流元dIl dF的大小和该点的磁感应强度 的大小成正比，还与电流元 的方向和 的dIl BIlB方向之间的夹角 的正弦成正比， 的方向为 所确定的方向。即FIlB 安培定律的积分形式对于任意载流导线，若将其视为由无数个电流元组成的，则其在磁场中所受的作用力为dlI（2）洛仑兹力一个定向运动的电荷在磁场中所受的力即洛仑兹力，其满足的基本规律为qfB洛仑兹力的几个重要应用： 质谱仪 霍耳效应6. 磁介质（1） 磁介质及分类能在磁场作用下发生变化，并且能够反过来影响磁场的介质称磁介质。一般用磁介质中的磁感应
4、强度 B 的大小与真空中的磁感应强度 的大小之比来描0B第六章 稳恒磁场84述磁介质被磁化后对原来外磁场的影响，即r0B其中， 称磁介质的相对磁导率。按 值大小，磁介质可分为抗磁质（ ） 、rr r1mr1?（2） 磁场强度磁场强度的定义式为 BH其中， 称绝对磁导率，简称磁导率。磁场强度的单位为 Am-1。0r（3） 磁介质中的安培环路定理磁介质中的磁场强度 沿任何闭合环路的线积分等于穿过以此积分环路为周界的任意曲面的传导电流的代数和，即 0dilIA思考题6-1 为什么不能简单地定义 B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向?答：运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度 B 的方向有关，还与电荷
5、的运动方向、电荷的正负有关。如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上，此时电荷受力为零，因此不能定义 B 的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。6-2 在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把它们扭在一起。为什么?答：可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。管外的磁场非常弱；因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反，而且匝数基本相当，管内的磁场基本上可以相互抵消。因此，与电源相连的两条导线，扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。6-3 在无电流的空间区域，如果磁感应线是平行直线，则磁场一定是均匀的。试证明之。答：如图 6-1，磁感应线是平行直线，作一个
6、长方形闭合回路 abcd。因为空间区域无电流，由安培环路定理，有 0dlB即 ，则 。120Bacbd12 图 6-1第六章 稳恒磁场856-4 在什么条件下才能用安培环路定理求解载流体系的磁场。答：应用安培环路定理只能处理某些具有对称性的磁场分布情况。能否得出结果的关键技巧在于能否找出一个合适的闭合环路，得出 B 的环流。如果找不到这样的闭合环路，就不能够用安培环路定理来获得磁感应强度。6-5 宇宙射线是高速带电的粒子流(基本上是质子)，它们交叉来往于星际空间并从各个方向撞击着地球，为什么宇宙射线穿入地球磁场时接近两极比其它任何地方都容易?答：较之地球表面的其他地方，地球两极附近的地磁场最弱
7、。同时，粒子进入两极的方向与地磁场磁感应强度的方向平行，因而基本不受到磁场力的约束。因此宇宙射线穿入地球磁场时接近两极比其它任何地方都容易。6-6 能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能？答：不能。由 磁场对带电粒子的作用力与粒子运动的方向垂直，Bvfq磁场力对带电粒子所做的功为零，粒子的动能也不会因此而增大。6-7 飞机在天空水平向西飞行，哪边机翼上的电子较多？答：飞机处于地磁场中，机翼上的电子水平向西运动，在由南向北的地磁场的作用下，电子沿垂直于水平面向上的方向偏移。因此，飞机下部的机翼上的电子较多。6-8 若释放磁铁附近的小铁片，它会向磁铁运动，其动能从何而来？答：磁铁附近存在磁
8、场，磁场储存着磁场能。小铁片向着磁铁运动的动能是由磁场能转化而来。6-9 磁感应强度 B 和磁场强度 H 有何区别？答：磁感应强度 B 是描述磁场本身性质（强度和方向）的物理量。磁场强度 H 是在磁介质中出现束缚电流时，为描述的方便引入的一个辅助物理量，通过它可以得到磁感应强度。6-10 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？答：顺磁质中分子处于热运动中，各分子磁距的取向是无规则的，随着温度的变化，分子运动的剧烈程度也发生变化。铁磁质的各个磁畴的排列方向是无序的，在不同的温度下，磁畴排列的混乱程度也不同。抗磁质的磁导率与电子轨道平面的进动有关，而温度
9、是很难影响电子轨道平面的进动的。第六章 稳恒磁场86练习题6-1 长为 L 的一根导线通有电流I ，在下列情况下求中心点的磁感应强度：（1）将导线弯成边长为 L/4 的正方形线圈；（2）将导线弯成周长为L 的圆线圈，比较哪一种情况下磁场更强。解：在图 6-2(a)中，由于正方形线圈电流沿顺时针方向，线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等，方向都是垂直纸面向里。所以，正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。由教材例题 6-1 可知，其大小应为 0214(sini)IBr将 ， ， 代入上式得/8rL1/42/0008sin43.6IIIrL在图 6-2(b)中，通电线圈中心处产
10、生的磁场方向也是垂直纸面向里，大小由教材例题 6-2 可知为 02IBR其中， 。则/2RL003.14IIL比较得 。B6-2 如图 6-3 所示，有两根导线沿半径方向接到铁环的 、 两点，并与很ab远处的电源相接。求环心 O 处的磁场。 解：根据叠加原理，点 O 的磁感应强度应为三段载流直导线以及起始点为 的ab两段载流圆弧（包括优弧和劣弧）共同激发。由于电源距离铁环较远，则电源所在的直线电流对 O 处的磁场贡献为零，而另两段通电直线的延长线都通过点 O，在 O处激发的磁感应强度也为 0。由于流过两个圆弧的电流分别为 I1 和 I2，方向如图 6-2所示，两个载流圆弧在 O 点激发的磁场由
11、ORab图 6-3R(a) (b)图 6-2r12第六章 稳恒磁场87毕奥萨伐尔定律容易求出分别为；0124IlBr024Ilr其中， 和 分别是优弧和劣弧的弧长。1l2设弧长 的电阻为 R1，弧长 的电阻为 R2。由于两圆弧构成并联电路，两2l端电压相等，则应有 21I由电阻公式可知，导线电阻 R 与弧长 l 成正比，故由上式可得12Il于是， O 点的合磁感强度为 0102124lIlBr6-3 高压输电线在地面上空 25 m 处，通过的电流为 1.8103A ，问：（1） 在地面上由该电流所产生的磁感应强度多大？（2）在上述地区，地磁场为0.6104 T，输电线产生的磁场与地磁场差多少?
12、 解：（1）将高压输电线视为无限长，则高压电线上的电流在地面产生的磁感应强度为 735041.801.4(T)225IBr（2）在上述地区地磁场与输电线产生的磁场差为 560().-5地6.=6-4 一个宽为 的无限长导体薄板上通有电流 I，设电流在板上均匀分布。a求薄板平面外距板的一边为 处的磁感应强度。 解：将载流导体板视为由无数条长直载流导线组成，则导体板上的电流产生的磁场就是这些无数条长直载流导线产生的磁场的叠加。取如图 6-4 所示的坐标系，在坐标 处取宽为 的区域，该区xdx域可视为无限长直载流导线，该区域的电流为 aI由无限长载流直导线的磁场规律可知，该区域的电流在距板一边为 a
13、的 O 点处产生的磁场大小为图 6-4dxOxa axdI第六章 稳恒磁场880d2IxBa其方向垂直纸面向里。于是，整个导体薄板在 O 产生的总磁场为00ln2aIIx6-5 在一个半径 R = 1.0 cm 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有 I = 5.0 A 的电流通过，试求圆柱轴线上任一点的磁感应强度。解：半圆柱形面电流分布可视为由无穷多个宽度为 dl 的长直细线电流组成。某一个长直细线中的电流 ，它在轴线上一点激发的磁感应强度的大d/Il小为 02BIR其方向在平面 Oxy 内，如图 6-5 所示。由对称性可知，半圆柱面上各细线电流在轴线上产生的磁感强度叠加后，y轴向分量为零
14、，即 dcos0yBx 轴向分量为 00200sinid2x IIR则轴线上总的磁感应强度的大小为 02xIBB 的方向指向 Ox 轴负向。dldI dByx x O x (a) (b)图 6-5OO d第六章 稳恒磁场896-6 从经典观点来看，氢原子可看作是一个电子绕核高速旋转的体系。已知电子以速度 2.2106 m/s 在半径 r = 0.531010 m 的圆轨道上运动，求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的大小。解：对于一个具有速度 v、在半径为 r 的轨道上作圆周运动的电子来说，其轨道磁距 pm 大小为 22mepIT其中，e 为电子电量， T 为电子环绕一周所需要的时间（
15、即周期） 。由于，将其代入上式得2/Trv2mevr带入数据可算出在氢原子内作圆周运动的电子磁距的大小为 320.91Ap利用教材例题 6-2 的结果，运动电子在轨道中心产生的磁场为 00224IevBrTr代入数据得 719602 024.6.1.5(T)(53)evr6-7 安培秤是一种测量磁场的装置，其结构如图 6-6 所示。在天平的右臂挂有一个矩形的线圈，线圈共 匝，线圈的下端处于待测磁场之中。假设磁场为匀n强磁场，磁感应强度与线圈平面垂直。当线圈中通有如图所示的电流 I 时，调节两个秤盘上的砝码使天平平衡，然后使电流反向，这时需在天平左盘上再加一个质量为 m 的砝码才能使天平重新平衡
16、。证明，线圈中所在的磁场为 nlImgB2证：安培秤第一次平衡时，设左右两边秤盘上的砝码质量和右臂下端悬挂的矩形线圈质量分别为 m1、m 2、m 3。此时，矩形线圈受到竖直向上的磁场力，其大小为f，则 123gf再加一个质量为 m 的砝码使天平重新平衡时，电流反向，矩形线圈受到竖直向下的磁场力，大小仍为 f，此时，按力的平衡条件由 123()gflBI图 6-6第六章 稳恒磁场90联立上述两式，得到磁场力的大小 12fmg由于载流导线在磁场中所受的安培力为 fnBIl将此式代入上式可解得线圈所在处磁场的磁感应强度大小为 2gIl6-8 如图 6-7 所示，在一根载有电流 I1 = 30 A 的
17、无限长直导线产生的磁场中，一个矩形回路( l = 12 cm，b = 8 cm)与 I1 共面，回路中通有 I2 = 20 A 的电流，矩形回路的一边与 I1 的距离 d = 1.0 cm。试求 I1 产生的磁场作用在矩形回路上的合力。解：矩形上、下两段导线所受安培力的大小相等，方向相反，两力的矢量和为零。对于矩形回路的左右两段导线，由于载流导线所在处的磁感应强度不相等，所受的安培力 F1 和 F2 的大小也不相等，并且方向相反。因此，矩形回路所受的合力为这两个力的合成。由毕奥萨伐尔定律和安培定律易知，矩形回路左右两边所受的安培力大小分别为 01212IlFBld0101222()()IlIl
18、Ilbb合力大小为 01201212()IlIlFd于是 0127340.121.4.081.28(N)Ilb合力方向朝左。6-9 如图 6-8 所示，载流导线段 ab 与长直电流 I1 共面， ab 段长为 l，通有电流 I2，方向与 I1垂直。a 端与 I1 的距离为 d。求导线 ab 所受磁场的作用力。解：在图 6-8 中，由毕奥萨伐尔定律易知，blI1 l I2d图 6-7xI1d lI2a bdx图 6-8第六章 稳恒磁场91距离长直导线 x 处的磁感应强度的大小为 012IBx方向垂直纸面向里。根据安培定律，ab 段导线中线元 dx 受到的磁场力的大小为 2FI则 ab 段导线受到
19、的磁场力的大小为磁场力的方向向上。6-10 在一个汽泡室内，磁场为 20T。一个高能质子垂直于磁场飞过时留下的圆弧轨迹的半径为 3.5 m，求该质子的动量和动能。解：汽泡室内运动着的高能质子受到洛仑兹力的作用，其大小为 fqvB洛仑兹力提供了质子圆周运动的向心力，于是 2fr由上述两式可得质子动量的大小为1917-120.635.20kgmspmvBqr （ ）动量的方向沿质子运动的速度方向。质子的动能为 21728(.)3.0()6kEJ6-11 一个 2cm 宽、0.1cm 厚的金属片，载有20A 的电流，处于磁感应强度为 2.0T 的均匀磁场中，如图 6-9 所示。测得霍尔电势差为 4.27V 。 （1）计算金属片中电子的漂移速度；（2）求电子的浓度；（3）a 和 b 哪点电势较高？（4） 如果用 p 型半导体代替该金属片，a 和 b 哪点电势较高？ 解：（1）在磁场力的作用下，电子的运动将向 b 点所在的侧面发生偏离，从而产生横向电场EH。当电子所受的电场力与其所受的磁场力平衡时，电子的横向运动将停止，横向电场 EH 保持不变，此时有eBvI I 2cm0.1cma bB图 6-9012012dlndlIIdx
