1、 1 物理学教程（第二版）上册习题答案 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动 ,在时刻 t 质点的位矢为 r,速度为 v ,速率为 v,t 至 (t t)时间内的位移为 r, 路程为 s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称 r ),平均速度为 v ,平均速率为 v (1) 根据上述情况 ,则必有 ( ) (A) r = s = r (B) r s r,当 t0 时有 dr = ds d r (C) r r s,当 t0 时有 dr = dr d s (D) r s r,当 t0 时有 dr = dr = ds (2) 根据上述情况 ,则必有 ( ) (A) v = v , v = v
2、(B) v v , v v (C) v = v , v v (D) v v , v = v 分析与解 (1) 质点在 t 至 (t t)时间内沿曲线从 P 点运动到 P 点 ,各量关系如图所示 , 其中路程 s PP, 位移大小 r PP, 而 r r - r表示质点位矢大小的变化量 ,三个量的物理含义不同 ,在曲线运动中大小也不相等 (注：在直线运动中有相等的可能 )但当 t0 时 ,点 P 无限趋近 P点 ,则有 dr ds,但却不等于 dr故选 (B) (2) 由于 r s,故 tst r ,即 v v 但由于 dr ds,故tst dddd r,即 v v 由此可见 ,应选 (C) 1
3、 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢 r(x,y)的端点处 ,对其速度的大小有四种意见 ,即 (1) trdd ； (2) tddr ； (3) tsdd ； (4) 22dddd tytx 下述判断正确的是 ( ) (A) 只有 (1)(2)正确 (B) 只有 (2)正 确 2 (C) 只有 (2)(3)正确 (D) 只有 (3)(4)正确 分析与解 trdd表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率 ,在极坐标系中叫径向速率通常用符号 vr表示 ,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； tddr 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式 tsddv 计算 ,在直角坐标系中则可由公式 22ddd
4、d tytxv求解故选 (D) 1 -3 质点作曲线运动 ,r 表示位置矢量 , v表示速度 ,a表示加速度 ,s 表示路程 , a 表示切向加速度对下列表达式 ,即 (1)d v /dt a ； (2)dr/dt v； (3)ds/dt v； (4)d v /dt a 下述判断正确的是 ( ) (A) 只有 (1)、 (4)是对的 (B) 只有 (2)、 (4)是对的 (C) 只有 (2)是对的 (D) 只有 (3)是对的 分析与解 tddv 表示切向加速度 a ,它表示速度大小随时间的变化率 ,是加速度矢量沿速度方向的一个分量 ,起改变速度大小的作用； trdd 在极坐标系中表示径向速率
5、vr(如题 1 -2 所述 )； tsdd 在自然坐标系中表示质点的速率 v；而tddv表示加速度的大小而不是切向加速度 a 因此只有 (3) 式表达是正确的故选 (D) 1 -4 一个质点在做圆周运动时 ,则有 ( ) (A) 切向加速度一定改变 ,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变 ,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变 ,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变 分析与解 加速度的切向分量 a 起改变速度大小的作用 ,而法向分量 an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时 ,由于速度方向不断改变 ,相应法向加速度的方向也 在不断改变 ,因而法向加速度
6、是一定改变的至于a 是否改变 ,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时 , a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时 , a 为一不为零的恒量 ,当 a 改变时 ,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见 ,应选 (B) 1 -5 已知质点沿 x 轴作直线运动 ,其运动方程为 32 262 ttx ,式中 x 的单位为 m,t 的单位为 s求： (1) 质点在运动开始后 4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t 4 s时质点的速度和加速度 分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时 ,位移的大小才会与路程相等质点在 t 时间内
7、的位移 x 的大小可直接由运动方程得到： 0 xxx t ,而在求路程时 ,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向 ,此时 ,位移的大小和路程就不同了为此 ,需根据 0dd tx 来确定其运动方向改变的时刻 tp ,求出 0 tp 和 tp t 内的位 移大小 x1 、 x2 ,则 t 时间内的路程3 21 xxs ,如图所示 ,至于 t 4.0 s 时质点速度和加速度可用 txdd 和 22ddtx 两式计算 题 1-5 图 解 (1) 质点在 4.0 s内位移的大小 m32 04 xxx (2) 由 0dd tx 得知质点的换向时刻为 s2pt (t 0不合题意 ) 则 m0.8 0
8、21 xxx m40 242 xxx 所以 ,质点在 4.0 s时间间隔内的路程为 m48 21 xxs (3) t 4.0 s时 1s0.4 sm48dd ttxv 2s0.422 m .s36dd ttxa 1 -6 已知质点的运动方程为 jir )2(2 2tt ,式中 r 的单位为 m,t 的单位为求： (1) 质点的运动轨迹； (2) t 0 及 t 2时 ,质点的位矢； (3) 由 t 0 到 t 2内质点的位移 r 和径向增量 r； 分析 质点的轨迹方程为 y f(x),可由运动方程的两个分量式 x(t)和 y(t)中消去 t 即可得到对于 r、 r、 r、 s 来说 ,物理含义
9、不同 ,(详见题 1-1分析 ). 解 (1) 由 x(t)和 y(t)中消去 t 后得质点轨迹方程为 2412 xy 这是一个抛物线方程 ,轨迹如图 (a)所示 (2) 将 t 0和 t 2分别代入运动方程 ,可得相应位矢分别为 jr 20 , jir 242 图 (a)中的 P、 Q 两点 ,即为 t 0和 t 2时质点所在位置 (3) 由位移表达式 ,得 4 jijirrr 24)()( 020212 yyxx 其中位移大小 m66.5)()( 22 yxr 而径向增量 m47.2 2020222202 yxyxr rrr 题 1-6 图 1 -7 质点的运动方程为 23010 ttx
10、22015 tty 式中 x,y 的单位为 m,t 的单位为 试求： (1) 初速度的大小和方向； (2) 加速度的大小和方向 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量 ,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向 解 (1) 速度的分量式为 ttxx 6010dd v ttyy 4015dd v 当 t 0 时 , v0x -10 m -1 , v0y 15 m -1 ,则初速度大小为 120200 sm0.18 yx vvv 设 v0与 x 轴的夹角为 , 则 23tan 00 xy vv 12341 (2) 加速度的分量式为 2sm60dd ta xx v , 2sm40dd
11、ta yy v 则加速度的大小为 222 sm1.72 yx aaa 设 a 与 x 轴的夹角为 ,则 5 32tan xyaa -3341( 或 32619) 1 -8 一升降机以加速度 1.22 m -2上升 ,当上升速度为 2.44 m -1时 ,有一螺丝自升降机的天花板上松脱 ,天花板与升降机的底面相距 2.74 m计算： (1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间； (2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下 ,一种处理方法是取地面为参考系 ,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动 ,列出这 两种运动在同一坐标系中的
12、运动方程 y1 y1(t)和 y2 y2(t),并考虑它们相遇 ,即位矢相同这一条件 ,问题即可解；另一种方法是取升降机 (或螺丝 )为参考系 ,这时 ,螺丝 (或升降机 )相对它作匀加速运动 ,但是 ,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝 (或升降机 )运动的路程 解 1 (1) 以地面为参考系 ,取如图所示的坐标系 ,升降机与螺丝的运动方程分别为 201 21 atty v 202 21 gtthy v 当螺丝落至底面时 ,有 y1 y2 ,即 2020 2121 gtthatt vv s705.02 ag ht (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m716.021 2
13、02 gttyhd v 解 2 (1)以升降机为参考系 ,此时 ,螺丝相对它的加速度大小 a g a,螺丝落至底面时 ,有 2)(210 tagh s705.02 ag ht (2) 由于升降机在 t 时间内上升的高度为 20 21 atth v 则 m716.0 hhd 6 题 1-8 图 1 -9 质点沿直线运动 ,加速度 a 4 -t2 ,式中 a的单位为 m -2 ,t的单位为如果当 t 3时 ,x 9 m,v 2 m -1 ,求质点的运动方程 分析 本题属于运动学第二类问题 ,即已 知加速度求速度和运动方程 ,必须在给定条件下用积分方法解决由 ta ddv 和 txddv 可得 ta
14、dd v 和 tx dd v 如 a a(t)或 v v(t),则可两边直接积分如果 a 或 v不是时间 t 的显函数 ,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分 解 由分 析知 ,应有 t ta0 dd0vv v 得 03314 vv tt(1) 由 txx tx 0 dd0 v得 0042 1212 xtttx v(2) 将 t 3时 ,x 9 m,v 2 m -1代入 (1)、 (2)得 v0 -1 m -1, x0 0.75 m 于是可得质点运动方程为 75.01212 42 ttx 1 -10 一石子从空中由静止下落 ,由于空气阻力 ,石子并非作自由落体运动 ,现测得其加速
15、度 a A -Bv,式中A、 B 为正恒量 ,求石子下落的速度和运动方程 解 选取石子下落方向为 y 轴正向 ,下落起点为坐标原点 (1) 由题意知 vv BAta dd (1) 用分离变量法把式 (1)改写为 tBA dd vv (2) 将式 (2)两边积分并考虑初始条件 ,有 7 t tBA 0 ddd0 vvvvv 得石子速度 )e1( BtBA v 由此可知当 ,t 时 , BAv 为一常量 ,通常称为极限速度或收尾速度 (2) 再由 )e1(dd BtBAty v 并考虑初始条件有 tBAy t Bty d)e1(d 00 得石子运动方程 )1(e2 BtBAtBAy 1 -11 一
16、质点具有恒定加速度 a 6i 4j,式中 a的单位为 m -2 在 t 0时 ,其速度为零 ,位置矢量 r0 10 mi求： (1) 在任意时 刻的速度和位置矢量； (2) 质点在 Oxy 平面上的轨迹方程 ,并画出轨迹的示意图 题 1-11 图 分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动 ,根据叠加原理 ,求解时需根据加速度的两个分量 ax 和 ay分别积分 ,从而得到运动方程 r的两个分量式 x(t)和 y(t)由于本题中质点加速度为恒矢量 ,故两次积分后所得运动方程为固定形式 ,即 200 21 tatxx xx v和 200 21 tatyy yy v,两个分运动均为匀变速直线运 动读
17、者不妨自己验证一下 解 由加速度定义式 ,根据初始条件 t0 0时 v0 0,积分可得 tt tt 000 )d46(dd jiav v ji tt 46 v 又由 tddrv 及初始条件 t 0 时 ,r0 (10 m)i,积分可得 ttrr tttt 00 )d46(dd0 jir v jir 22 2)310( tt 8 由上述结果可得质点运动方程的分量式 ,即 x 10 3t2 y 2t2 消去参数 t,可得运动的轨迹方程 3y 2x -20 m 这是一个直线方程直线斜率 32tandd xyk , 3341 轨迹如图所示 1 -12 质点在 Oxy 平面内运动 ,其运动方程为 r 2
18、.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中 r 的单位为 m,t的单位为s求： (1)质点的轨迹方程； (2) 在 t1 1.0s 到 t2 2.0s 时间内的平均速度； (3) t1 1.0时的速度及切向和法向加速度； (4) t 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径 分析 根据运动方程可直接写出其分量式 x x(t)和 y y(t),从中消去参数 t,即得质点的轨迹方程平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率 ,即 trv ,它与时间间隔 t 的大小有关 ,当 t0 时 ,平均速度的极限即瞬时速度 tddrv 切向和法向加速度是指在自然坐标下的 分矢量 a 和 an ,前者只反映质点
19、在切线方向速度大小的变化率 ,即 tt tea ddv,后者只反映质点速度方向的变化 ,它可由总加速度 a 和 a 得到在求得 t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后 ,可由公式an 2v求 解 (1) 由参数方程 x 2.0t, y 19.0-2.0t2 消去 t 得质点的轨迹方程： y 19.0 -0.50x2 (2) 在 t1 1.00 到 t2 2.0时间内的平均速度 jirr 0.60.2 12 12 tttrv (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为 jijiji ttytxt yx 0.40.2dddd)( vvv jjia 22222 sm0.4dddd)( t yt x
20、t 则 t1 1.00时的速度 v(t) t 1 2.0i -4.0j 切向和法向加速度分别为 ttyxttt tt eeea 222s1 sm58.3)(dddd vvvnntn aa eea 222 sm79.1 9 (4) t 1.0质点的速度大小为 122 sm47.4 yx vvv 则 m17.112 nav 1 -13 飞机以 100 m -1 的速度沿水平直线飞行 ,在离地面高为 100 m时 ,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处 ,问： (1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时 ,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？ (3) 物品投出 2.0后 ,它
21、的法向加速度和切向 加速度各为多少？ 题 1-13 图 分析 物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下 ,由运动独立性原理知 ,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动 ,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时 ,两方向上运动时间是相同的因此 ,分别列出其运动方程 ,运用时间相等的条件 ,即可求解 此外 ,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻 t时物体的切向加速度和法向加速度 ,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角 或 由图可知 ,在特定时刻 t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角 ,可由此时刻的两速度分量 vx 、 vy求出 ,这样 ,也就可将重力加速度 g 的切向和法向
22、分量求得 解 (1) 取如图所示的坐标 ,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为 x vt, y 1/2 gt2 飞机水平飞行速度 v 100 ms -1 ,飞机离地面的高度 y 100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 m4522 gyx v (2) 视线和水平线的夹角为 o5.12arc tan xy (3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角 为 vvv gt xy a r c ta na r c ta n 取自然坐标 ,物品在抛出 2s 时 ,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 2sm88.1a r c t a ns ins in vgtgga t 10 2sm62.9
23、a r c t a nc o sc o s vgtgga n 1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在 1997年 6月 1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为 1500v hkm 1 ，他随即以仰角 5 冲出，飞越跨度达 57 m，安全着陆在西岸木桥上，求： 题 1-14 图 （ 1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？ （ 2） 若起飞点高出河面 10 m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？ （ 3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？ 分析 由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动 来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：
24、建立一个恰当的直角坐标 系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为 g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中 mm xy和分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度 . 解 在图示坐标系中，有 tvx )cos( 0 （ 1） 20 21s in( gttvy ）（ 2） gtvvy sin0 （ 3） (1) 由式（ 1），令 57m xx m，得飞跃时间 37.1c o s0 mm v xt s （ 2）由式（ 3），令 0yv ，得飞行到最大高度所需时间 gvt sin0m 将 mt 代入式（ 2），得飞行最大高度
