1、 正方形（基础）【学习目标】1理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角四个角都是直角；3.对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
2、4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、 （2015扬州校级一模）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上下列结论：CE=CF；AEB=75；BE+DF=EF；S 正方形ABCD=2+ 其中正确的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为 180判断的正误；根据线段垂
3、直平分线的知识可以判断的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误【答案与解析】解：四边形 ABCD 是正方形，AB=AD，AEF 是等边三角形，AE=AF，在 RtABE 和 RtADF 中，RtABERtADF（HL） ，BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，说法正确；CE=CF，ECF 是等腰直角三角形，CEF=45，AEF=60，AEB=75，说法正确；如图，连接 AC，交 EF 于 G 点，ACEF，且 AC 平分 EF，CAFDAF，DFFG，BE+DFEF，说法错误；EF=2，CE=CF= ，设正方形的边长为 a，在 RtADF 中，a2+（a ） 2
4、=4，解得 a= ，则 a2=2+ ，S 正方形 ABCD=2+ ，说法正确，正确的有故选 C【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦举一反三：【变式 1】已知：如图，E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点，F 是 CD 边上一点，且CECF，连接 DE，BF求证：DEBF【答案】证明：四边形 ABCD 是正方形，BCDC，BCD90E 为 BC 延长线上的点，DCE90，BCDDCE在BCF 和DCE 中，BCDFE，BCFDCE（SAS），BFDE【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形）
5、 例 1】【变式 2】 （2015咸宁模拟）如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则BFC 为（ ）A75 B60 C55 D45【答案】B；提示：四边形 ABCD 是正方形，BAD=90，AB=AD，BAF=45，ADE 是等边三角形，DAE=60，AD=AE，BAE=90+60=150，AB=AE，ABE=AEB= （180150）=15，BFC=BAF+ABE=45+15=60；故选：B2、如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，12，34（1）证明
6、：ABEDAF；（2）若AGB30，求 EF 的长【思路点拨】要证明ABEDAF，已知12，34，只要证一条边对应相等即可要求 EF 的长，需要求出 AF 和 AE 的长【答案与解析】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ADAB，12，34，DAFABE（2）解：四边形 ABCD 是正方形，AGB30，ADBC，1AGB30，14DAB90，34，1390，AFD180（13）90，DFAG，DF 12ADAF 3ABEDAF，AEDF1，EF 【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件
7、举一反三：【变式】如图，A、B、C 三点在同一条直线上，AB2BC，分别以 AB，BC 为边做正方形ABEF 和正方形 BCMN 连接 FN，EC求证：FNEC【答案】证明：在正方形 ABEF 中和正方形 BCMN 中，ABBEEF，BCBN，FENEBC90，AB2BC，即 BCBN 12ABBN 12BE，即 N 为 BE 的中点，ENNBBC，FNEECB，FNEC要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形） ；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.类型二、正方形的判定3、如图所
8、示，在 RtABC 中，C90，BAC、ABC 的平分线相交于点 D，且DEBC 于点 E，DFAC 于点 F，那么四边形 CEDF 是正方形吗?请说明理由【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作 DGAB 于点 G AD 平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG同理可得：DGDE DFDE DFAC，DEBC，C90， 四边形 CEDF 是矩形 DFDE 四边形 CEDF 是正方形【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形举一反三：【变式】如图，点 O 是线段 AB 上的一点
9、，OAOC，OD 平分AOC 交 AC 于点 D，OF 平分COB，CFOF 于点 F（1）求证：四边形 CDOF 是矩形；（2）当AOC 多少度时，四边形 CDOF 是正方形？并说明理由【答案】（1）证明：OD 平分AOC，OF 平分COB（已知），AOC2COD，COB2COF，AOCBOC180，2COD2COF180，CODCOF90，DOF90；OAOC，OD 平分AOC（已知），ODAC，ADDC（等腰三角形的“三线合一”的性质），CDO90，CFOF，CFO90四边形 CDOF 是矩形；（2）当AOC90时，四边形 CDOF 是正方形；理由如下：AOC90，ADDC，ODDC；又
10、由（1）知四边形 CDOF 是矩形，则四边形 CDOF 是正方形；因此，当AOC90时，四边形 CDOF 是正方形要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且
11、相等，则新四边形是正方形.类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系 xoy中，边长为 a( 为大于 0 的常数)的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、 y轴的正半轴都不包含原点 O)，顶点 C、D 都在第一象限(1)当BAO45时，求点 P 的坐标；(2)求证：无论点 A 在 x轴正半轴上、点 B 在 y轴正半轴上怎样运动，点 P 都在AOB的平分线上；【答案与解析】解：(1)当BAO45时，PAO90，在 RtAOB 中，OA 2AB a，在 RtAPB 中，PA 2AB a 点 P 的坐标
12、为 ,(2)如图过点 P 分别作 x轴、 y轴的垂线垂足分别为 M、N，则有PMAPNBNPMBPA90，BPNBPMAPMBPM90APMBPN，又 PAPB， PAMPBN， PMPN，又 PNON，PMOM于是，点 P 在AOB 的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.【巩固练习】一.选择题1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条2. （2015 漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等3. 如图，正方形 ABCD
13、 的边长为 4cm，则图中阴影部分的面积为( ) 2cm A.6 B.8 C.16 D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形5.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 MEMC，以DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为（ ）A 31 B.35 C. 1 D. 516.如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中的等腰三角形有（ ）A4 个 B6 个 C8 个 D10 个二.填空题7若正方形的边长
14、为 a，则其对角线长为_，若正方形 ACEF 的边是正方形 ABCD 的对角线，则正方形 ACEF 与正方形 ABCD 的面积之比等于_8. 如图，在四边形 ABCD 中，ABBCCDDA，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_.9. 如图，将边长为 2cm的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把ABC 沿着 AD 方向平移，得到 ABC，若两个三角形重叠部分的面积是 1 2cm，则它移动的距离 A等于_c.10. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、B
15、C 于E、F，则阴影部分的面积是_.11. 如图边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 45，则这两个正方形重叠部分的面积是_12.（2015长春）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上若ABE 的面积为 8，CE=3 ，则线段 BE 的长为 三.解答题13已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E、M、N 分别在 AB、BC、AD 边上，CEMN，MCE35，求ANM 的度数14 （2015铁力市二模）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PEBC 于点E；PF CD 于点 F，连接 EF，给出下列五个结论：AP=EF；
16、AP EF；PFE= BAP； PD=EC；PB 2+PD2=2PA2，正确的有几个？15如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30后，得到正方形EFCG，EF 交 AD 于 H，求 DH 的长【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共 4条2.【答案】D；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D3 【答案】B；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；
