1、有理数的乘方及混合运算（提高）【学习目标】1理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)即有： .在 中， 叫做底数， n 叫做指数.naaA个要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果 （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来（3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次
2、幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二
3、级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用【典型例题】类型一、有理数的乘方1. 计算：（1） 4334（-（2）3 3(2)3（-【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4333381；-3 4-（3333）-81 ；()()()814(2) ； ；328332()()327；3 8()72(2)33【总结升华】注意 与 的意义的区别 （n 为正整数） ，()na2()a（n 为正整数） 2121()na举一反三：【变式 1】比较(-5) 3 与-5 3 的异同【答
4、案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5) 3 表示-5 的 3 次方，即(-5)(-5)(-5)-125，而-5 3 表示 5 的 3 次方的相反数，即-5 3-(555)因此，它们的底数不同，表示的意义不同【变式 2】 （2015 杭州模拟）若 n 为正整数， （ 1） 2n=（ ）A1 B 1 C 2n D 不确定【答案】A因为 n 为正整数，2n 一定是偶数，所以（1） 2n=1.类型二、乘方运算的符号法则2不做运算，判断下列各运算结果的符号(-2)7，(-3) 24，(-1.0009) 2009， ，-(-2) 201053【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：(-2
5、)7 运算的结果是负；(-3) 24 运算的结果为正；(-1.0009) 2009 运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2) 2010 运算的结果是负53【总结升华】 “一看底数，二看指数” ，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0，指数不为时，结果是 0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负举一反三：【变式】当 n 为奇数时， 1144nn【答案】0类型三、有理数的混合运算3.计算： （1）-(-3) 2+(-2)3(-3)-(-5)（2）7 3-6(-7)2-(-1)10(-214-24+214)（3） ；（4） 2 311312440.2【答案与解析
6、】 （1）-(-3) 2+(-2)3(-3)-(-5)-9+(-8)(-3+5 )-9+(-8)2-9+(-4)-13（2） 7 3-6(-7)2-(-1)10(-214-24+214)(77 2-672-1)(-214+214-24)7 2(7-6)-1(-24)(49-1)(-24)-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式 21()838324（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.2 33111244430.2575()6()12421539600【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提举一反三：【高清课堂：有理数的乘方及混合
7、运算 356849 典型例题 1】【变式】计算：（1） 211-0.52-3（2） 46（3） 3201(1+-.75)(24+-)8（4） 332|0【答案】 （1）原式或原式=（1-1+ ） （2-9）1231=-76（2）原式 -7629356(3) 原式 =-32-3+66-9=22 4(+)188(4) 原式 |3-0.=125=044.计算： 012()【答案与解析】逆用分配律可得： 201201201201() ()【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有 221;nnn举一反三：765【变式 1】计算： 201981764322.【答案】原式= 19817643218716
8、4322. .2【变式 2】计算： 77()43【答案】 7 734()1类型四、探索规律 5. （2015 滕州市校级二模）求 1+2+22+23+22013 的值，可令S=1+2+22+23+22013，则 2S=2+22+23+22014，因此 2SS=220141仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+52014= 【答案】解：设 S=1+5+52+53+52014，则 5S=5+52+53+52015，5SS=（5+5 2+53+52015）（1+5+5 2+53+52014）=5 20151，所以，S= 【总结升华】根据题目信息，设 S=1+5+52+53+52014，表示出 5
9、S=5+52+53+52015，然后相减求出 S 即可举一反三：【变式】观察下面三行数：-3，9，-27，81，-243，729，0，12，-24，84，-240，732，-1，3，-9，27，-81，243，(1)第行数按什么规律排列?(2)第行数与第行数分别有什么关系?(3)取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和【答案】 (1)第行数的规律是：-3，(-3) 2，(-3) 3，(-3) 4，；(2)第行数是第行数相应的数加 3，即：-3+3，(-3) 2+3，(-3) 3+3，(-3) 4+3，；第行数是第行数相应的数的 ，即 ， ， ， ，；11(1(3)每行数中的第 10 个数的和是：59049+59052+19683137784101010()3()
