1、 第 1 页试卷 A 参考解答一填空题(每小题 4 分，共 28 分)1设二元函数 , 则 ( 或 ).2zxy1,xyz42312二元函数 具有二阶连续偏导数, ，则 ( ).()fuv,uv2zy2,)fxy3空面 在点(1,1,3)处的切平面方程是 ( ).2zxy2430x4设平面区域 D 是由 和 所围成，则二重积分 ( ).1,xDydx9165设空间曲面： ，则曲面积分 ( ).24 zyzdS86设平面闭曲线 L 是由 所围成，则曲线积分 ( ).3,01xLxydsA91027微分方程 满足 时 的特解是( ).2yy2e二计算题(每小题 9 分，共 45 分)1设 确定的二
2、元函数 ，求(1) , (2) ,. 310zexz(,)zxy(0)dz2(0,)zxy解：(1) 对方程两边微分： 230zedxyd23, , 111zzzeye把 x=0,y=0 代入方程可得 ，再代入上式 0(,)32dzxdy(2) 2 236()1()(1)zzzeexyey2(0,)34z2设空间区域是由 与 所围成，计算三重积分 .2xy2 zxy(2)xyzd解：根据函数的奇偶性， 0ddz(2)yzzy第 2 页122201(-)zdzd153()243设平面曲线 L： 从点 A(0,0)到 B(2,0)，计算曲线积分 .sinyx 22()()Lxydxyd解：根据格林
3、公式， 22()()Lxddy22()LBAxxyd063sinDdyd4设空间曲面： ，方向指向外侧，2 (1)zxz分计算曲面积分 .22()()yddxzdy 解：设辅助面 1： 方向指向上侧，根据高斯公式，:, xyzD222()()()xyzzy11 2 ()yddxzdy1(2)()zxyxyDzdd30122zd5求微分方程 的通解.2ye解：齐次方程 的特征方程 ，其特征根为021r12r所以齐次方程的通解为 .12()xyCe对于非齐次方程，假设其特解为 ，将它求导代入原方程，可得2()xyabe16,06所以 ，从而原方程的通解为316xye 312()xxyCe三综合题(
4、每小题 9 分，共 27 分)1求函数 在约束条件： 与 下的最大值和最小值.22uz2x6yz第 3 页解：令 22212()(36)Fxyzxyxyz12122 10532603yz yFxzyz 将这两个点分别代入目标函数，可得最大值和最小值 21451()(05)59u另解： 代入目标函数cos,in,z(6cosin),3xy，21(6si)9u(cs2i)(sn2cos)0tg29du115cos2522in(6)3xtgyz2已知微分方程 是一个全微分方程.2223(6) 0AxydxyBxdy(1) 求常数 A,B 的值.(2) 求该微分方程的通解.(3) 计算曲线积分 的值.
5、(1,2)2230)(6)yyy解：(1)由于 ，根据全微分方程的条件6, PxQxB.22 131 3,1QyBAyA(2) 根据微分公式， 22232(6)(6)()xdxxdyxy所以微分方程的通解： .3yyC(3) 曲线积分 (1,2)2230)()y(,) (1,2)3 200 ) 6dxyxyx第 4 页3设二元函数 .2,()0,(,)0xyf(1)求证：二元函数 在点(0,0)处不可微.(,)fy(2)求证：函数 在点(0,0)处沿任意方向 的方向导数都存在.,x(cos,)l证明：(1)根据偏导数定义0(,)(0,)(,)limxhfff0(,)(0,)(,)limykfff讨论极限 220(,)(,)(,)(,)li xxfyfffy3022()lix220licosincosi其值随角度而变化，所以极限不存在，从而 在点(0,0)处不可微.(,)fxy(2) 任意给定平面上的一个单位向量 ，根据方向导数定义cos,l0 0(0,)(,)(,)(cs,o)limlimffxyffl 3220coslicos函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在.
