1、第 1 页 共 6 页寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例 1 在 的二面角 的两个面内，分别有 和 两点已60-aAB知 和 到棱的距离分别为 2 和 4，且线段 ，试求：AB 10B（1）直线 与棱 所构成的角的正弦值；（2）直线 与平面 所构成的角的正弦值分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪儿如果解决了这个问题，这道题也就解决了
2、一半60根据题意，在平面 内作 ；在平面 内作 ， ，aADBEBCD/连结 、 可以 证 明 ，则由二面角的平面角的定义，可知BCAC为二面角 的平面角以下求解略D-a二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例 2 如图，在平面 内有一条直线 与平面 成 ， 与棱AC30AC成 ，求平面 与平面 的二面角的大小BD45分析：找二面角的平面角，可过 作 ；BDF平面 ，连结 由三垂线定理可证 ，则 为二面角AEFEEAF第 2 页 共 6 页的平面角总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直
3、，那么就可以找到二面角的平面角（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、 “连”、“证”，即“作 ”、“连结 ”、“证明 ”BDAFEFBD三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例 3 如图 1，已知 为 内的一点， 于 点，P-CDPA于 点，如果 ，试求二面角 的平面角PBnAB-分析： 平面 CDPBAPAB因此只要把平面 与平面 、 的交线画出来即可证明为 的平面角， （如图 2）AEB-CDnE180注意：这种类型的题，如果过 作 ，垂足为 ，连结 ，ACDEB我们还必须证明 ，及 为平面图形，这样做起来比较麻EBBP烦图 1
4、 图 2第 3 页 共 6 页例 4 已知斜三棱柱 中，平面 与平面 构成的二1-CBA1AB1C面角的平面角为 ，平面 与平面 构成的二面角为 试求平301 70面 与平面 构成的二面角的大小1AC1B分析：作三棱柱的直截面，可得 ，DEF其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角四、平移平面法例 5 如图，正方体 中， 为 的中点， 为1-DCBAE1AH上的点，且 设正方体的棱长为 ，求平面 与底1C21： HCaD面 构成的锐角的正切1DBA分析：本题中，仅仅知道二
5、面角棱上的一点 ，在这种情况下，寻1找二面角的平面角较困难根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了如图，过点 作 与 相交于 点，过 点作 ，E1/DAMM1DCN与 相交于 点可证平面 平面 这样，求平面HD1N/EN1DCBA与平面 的二面角的平面角就转化为求平面 与平面E1CB EH1的二面角的平面角显然 为这两个平面的交线，过点 作M M第 4 页 共 6 页， 为垂足， 连结 ，可 证 则 为本题要寻ENMFF
6、D1EN1FMD1找的二面角五、找垂面，作垂 线例 6 如图，正方体 中， 为棱 的中点，求平面1-DCBAA和平面 所构成的锐二面角的正切CB1M1分析：平面 与二面角 的一个A-1面 垂直，与另一个平面 相交，过 点1 CBM作 ，垂足为 ，过 作 ，交BCPPN1B于 点，连结 ，由三垂线定理可证 ，NMC则 为二面角 的平面角CB-1总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这 个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角再如图，要找 所构成的二面角的平面角，可找平面 ，-a 且 ， ，过 上任何一
7、点 作 ，垂足为 ，过 作blbAlBB，垂足 为 ，连结 ，可 证 为 的平面角BCAC-a六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1三线合一例 7 如图，空间四边形 中， ，ABCD3A， ， 试求 二面角的余弦4CDB25AC-值第 5 页 共 6 页分析：如图 1， ， ，则 和 为等腰三角ADBCABDC形过 作 ，垂足为 ，连结 根据等腰三角形三线合一，AEE且 为 中点，可证 ，则 为二面角 的平面角BD-2全等三角形例 8 如图，已知空间四边形 ，ABCD， ， ， 试 求6BCA4D8B6的余弦值-分析：过 作 ，垂足为 ，连结 根据已知条件，AEEC和 全等，可证 ，则 为二
8、面角 的平面AEDCBDCACBDA-角3二面角的棱蜕化成一点例 9 如图，四棱锥 中， 和 与面 垂直，BCEDA-CAB为正三角形ABC（1）若 时，求面 与面 的夹角；BDE（2）若 时，求面 与面 的夹角2AEBC分析：如图，面 与面 的交线蜕化成A一点，但面 与面 与面 相交如果三个DEBCD平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行在图 1 中，两条交线与 互相平行，所以肯定有过 且平行于 的一条交线BCEADE可过 作 ，平面 与平面 的交线即为 过 作ADEM/ BCAM于 ，过 作 于 可证 ， ，则NBCFNF第 6 页 共 6 页为面 与面 的夹角NAFDEABC如图， 与 不平行且相交根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点延长 、ED相交于 点，连结 即为平面 与平面CBGAGA的交线，通过一些关系可证 为平面AC与平面 的夹角DEC通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了只要我们勤动脑，善观察，多 总结，抓住 问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解
