1、数值分析期末考试 一、 设 80x , 若要确保 其近似数的 相对误差 限为 0.1%,则它的近似数 x 至少取几位有效数字? ( 4 分) 解:设 x 有 n 位有效数字 。 因为 98180648 ,所以可得 x 的第一位有效数字为 8( 1 分) 又因为 21 10101100011082 1 n ,令 321 nn ,可知 x 至少具有 3 位有效数字( 3 分)。 二、 求矩阵 A 的条件数 1)(ACond ( 4 分)。 其中 42 31A解: 5.05.1 121A( 1 分) 1A=7( 1 分) 2711 A( 1 分) 249)( 1 ACond ( 1 分) 三、 用
2、列主元 Gauss消元法 法求解 以下 方程组 ( 6分) 942822032321321321xxxxxxxxx 解: 5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142 (4 分 ) 等价三角方程组为:,8175835,5.245.24,942332321xxxxxx( 1分) 回代得 1,3,5 123 xxx ( 1 分) 四、 设 .0,2,3,1,103)( 3210234 xxxxxxxxf 1)求以 3210 , xxxx 为节点的 3次 Lagr
3、ange多项式;( 6分) 2)求以 3210 , xxxx 为节点的 3次 Newton多项式;( 6分) 3)给出以上插值多项式的插值余项的表达式( 3分) 解: 由 0,2,3,1 3210 xxxx 可得 10)(,34)(,1)(,11)( 3210 xfxfxfxf 即得: )()( )()()()()( )()()()( 312101 3201302010 32103 xxxxxx xxxxxxxfxxxxxx xxxxxxxfxL )()( )()()()()( )()()( 231303 2103321202 3102 xxxxxx xxxxxxxfxxxxxx xxxxxx
4、xf )03)(23)(13( )0)(2)(1()1()01)(21)(31( )0)(2)(3(11 xxxxxx 326610.)20)(30)(10( )2)(3)(1()10()02)(32)(12( )0)(3)(1(34 xxxxxxxxx 2)计算差商表如下: ix )(ixf 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0 -10 -22 5 -1 则 )2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3 xxxxxxxN 326610 xxx 3) )2)(3)(1()()()(!4 )()(3210)4(3 xxxxxxxxxxxxfxR
5、五 、 给定方程组 bAx ,其中100131wwwwA 。 试确定 Rw 的取值范围,使求解该方程组的 Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法均收敛。 ( 10分) 解: 1) Jacobi 迭代格式的特征方程为 ,04,0003 23 wwwww即 求得 ww 2,2,0 321 于是当且仅当 2112 ww 时, Jacobi 迭代法收敛( 5 分) 2) Gauss-Seidel 迭代格式的特征方程为 : ,003302222 wwwwww 求得 2321 400 w , ,于是得 21w 。 故当 21w 时,求解该方程组的 Jacobi 迭代法与 Gauss-Sei
6、del 迭代法均收敛。 六 、 设 ,)( 4 baCxf , ba bfafabbfafabdxxf )()(12 )()()(2)( 2 求 上述 求积公式的代数精度,并利用求积公式给出计算 ba dxxf )(的一个复化求积公式。 ( 12 分) 解: 1) 当 1)( xf 时,左边 = ab =右边 当 xxf )( 时,左边 = )(21 22 ab =右边 当 2)( xxf 时,左边 = )(31 33 ab =右边 当 3)( xxf 时,左边 = )(41 44 ab =右边 当 4)( xxf 时,左边 = )(51 55 ab 右边 因此,所给求积公式具有 3次代数精度
7、。 ( 6分) 2) 将 , ba 作 n 等分,记 .0, niihaxn abhi 10 1 ,)()( ni xxba ii dxxfdxxf ( 2 分) 而 ,)()(12)()(2)(1121 iixx iiii xfxfhxfxfhdxxf由此 可得复化公式 )()(12)()(2)( 1210 1 iin iiba xfxfhxfxfhdxxf = )()(12)(2 1021 bfafhxxfhiii (4 分 ) 七、求 23)( xxf 在 1,0 上的一次最佳平方逼近多项式。 ( 8分) 解:令所要求的多项式为: bxaxp )(1 ,即取 xxx )(,1)( 10
8、,计算 1),( 00 21),( 10 31),( 11 52),( 0 f 72),( 1 f (4 分 ) 得法方程组: 7231215221baba 解 方程组得 3536,354 ba ,于是得一次最佳平方逼近多项式为 xxp 3536354)(1 ( 4 分) 八 、 写出 方程 的 Newton迭代格式 , 并迭代 一 次 求 近似解 ( 6分) (1) 在 20x 附近的根 。 (2) 在 10x 附近的根 。 解: ( 1) 取 20x , 则 9171x( 3 分) ( 2) xx exxfexxxf 32)(,23)( 2 则kkxkxkkkk ex exxxx 32 2
9、321, 取 10x ,则 ex 111( 3 分) 九 、 已知三点 Gauss公式 ( 10 分) )6.0(95)0(98)6.0(95)(11 fffdxxf,用该公式估算 15.0 dxx的值。 解: 令 baxt ,于是有: 345.011 bababa,于是 34 xt dtdx 41 ,于是 dttdxx 111 5.0 4 341 ( 5 分 ) 令4 341)( ttf,就得: 4 6341954341984 634195)6.0(95)0(98)6.0(95)(1 1 fffdxxf( 5 分) 十 、 龙格库塔 ( 10分) 取步长 4.0h ,写出用经典四阶 Rung
10、e-Kutta 方法求解初值问题 )91(0)1()s in(xyyxxdxdy 的计算公式。 解: nnhxx n 4.010 00y ( 1 分 ) ),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn( 6 分) 取 ,20,2,1,0 n ,其经典四阶 Runge-Kutta计算公式为: )4.04.04.1s in ()4.04.1()2.04.02.1s in ()4.02.1()2.04.02.1s in ()4.02.1()4.01s in ()4.01()22(64.034231
11、2143211kynnkkynnkkynnkynnkkkkkyynnnnnn( 3 分) 十一 、 用乘幂法计算矩阵 A 按模最大特征值和相应的特征向量。取Tx )1,1,1()0( ,迭代两步即可。 ( 7分) 其中20101350144A 解:181011120101350144)0()1( Axy 10)1( ( 3 分) Tyyx )1.0,8.0,1()1( )1()1( 8.04.52.71.08.0120101350144)1()2( Axy 2.7)2( 相应特征向量取 8.04.52.72.71 ( 4分) 十二 、 设 nxxx , 10 为 1n 个互异的节点, )1,0)( nixli 为这组节点上的 n 次 Lagrange 插值基函数,证明: )1,0()(0 nkxxlxkin ki ( 8 分)。 证明: 对于 nk ,1,0 ,令 kxxf )( ,则 )(xf 的次 Lagrange 插值多项式为 ni ikin xlxxL0 )()(( 2 分) 相应的余项为 )()()!1( 1)()()( 0)1( nnnn xxxxxfnxLxfxR ( 2分) 由于 nk ,所以 0)(1 xf n ,即 0)( xRn ( 2分) 从而得出 )(xLx nk 即得证 )1,0()(0 nkxxlxkin ki ( 2 分)