1、数学归纳法典型例题 一 . 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二 . 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三 . 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四 . 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数 n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察 归纳 猜想 证明”的思维模式，就显得特别重要 。 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： （ 1）（归纳奠基）证明当 n取
2、第一个值 n = n 0时命题成立； （ 2）（归纳递推）假设 n = k（ ）时命题成立，证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证 的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅
3、有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即 n k 1 时为什么成立，n k 1 时成立是利用假设 n k时成立，根据有关的定 理、定义、公式、性质等数学结论推证出 n k 1 时成立，而不是直接代入，否则 n k 1 时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （ 1）对项数估算的错误，特别是寻找 n k与 n k 1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 （ 2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设
4、是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 （ 3）关键步骤含糊不清，“假设 n k时结论成立，利用此假设证明 n k 1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 【典型例题】 例 1. 用数学归纳法证明： 时， 。 解析： 当 时，左边 ，右边 ，左边 =右边，所以等式成立。 假设 时等式成立，即有 ，则当 时， ， 所以当 时，等式也成立。 由，可知，对一切 等式都成立。 点评：（ 1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n
5、 的取值是否有关，由 到 时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。 （ 2）在本例证明过程中，（ I）考虑“ n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况 是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（ II）步骤在由到 的递推过程中，必须用归 纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 本题证明 时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （ 3）在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由 到 时，命题形式之间的区别和联系。 例 2. 。 解析： （ 1）当 时，左边 ，右边 ，命题成立。
6、 （ 2）假设当 时命题成立，即 ， 那么当 时， 左边 。 上式表明当 时命题也成立。 由（ 1）（ 2）知，命题对一切正整数均成立。 例 3. 用数学归纳法证明：对一切大于 1的自然数 n，不等式 成立。 解析： 当 时，左 = ，右 ，左 右，不等式成立。 假设 时，不等式成立，即 ， 那么当 时， ， 时，不等式也成立。 由，知，对一切大于 1的自然数 n，不等式都成立。 点评：（ 1）本题证明 命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。 （ 2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第步 成立是推理
7、的基础，第步 是推理的依据（即成立，则 成立， 成立，从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第步中，验证 中的 未必是 1，根据题目要求，有时可为 2，3等；第步中，证明 时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。 例 4. 若不等式 对一切正整数 n都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论。 解析： 取 ， 。 令 ，得 ，而 ， 所以取 ，下面用数学归纳法证明， ， （ 1） 时，已证结论正确 （ 2）假设 时， 则当 时，有 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 即 时，结论也成立， 由（ 1）（ 2）可知，对一切 ， 都有 ， 故 a 的最大值为 25。 例 5
8、. 用数学归纳法证明： 能被 9 整除。 解析： 方法一：令 ， （ 1） 能被 9整除。 （ 2）假设 能被 9整除，则 能被 9 整除。 由（ 1）（ 2）知，对一 切 ，命题均成立。 方法二：（ 1） ，原式 能被 9整除， （ 2）若 ， 能被 9 整除，则 时 时也能被 9整除。 由（ 1），（ 2）可知，对任何 ， 能被 9整除。 点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出 时的情形，从而利用 归纳假设使问题获证。 例 6. 求证： 能被 整除， 。 解析： （ 1）当 时， ，命题显然成立。 （ 2）设 时， 能被 整除， 则当 时， 。 由
9、归纳假设，上式中的两项均能被 整除， 故 时命题成立。 由（ 1）（ 2）可知，对 ，命题成立。 例 7. 平面内有 n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这 n 个圆将平面分成 个部分。 解析： 时， 1个圆将平面分成 2部分，显然命题成立。 假设 时， 个圆将平面分成 个部分， 当 时， 第 k+1 个圆 交前面 k个圆于 2k 个点，这 2k 个点将圆 分成 2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了 2k 个区域，所以这 k+1 个圆将平面分成 个部分，即 个部分。 故 时，命题成立 。 由，可知，对 命题成立。 点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，
10、即几何元素从 k 个变成 k+1 个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。 例 8. 设 ，是否存在关于自然数 n的函数 ，使等式对于 的一切自然数都成立？并证明你的结论。 解析： 当 时，由 ， 得 ， 当 时，由 ， 得 ， 猜想 。 下面用数学归纳法证明： 当 时，等式 恒成立。 当 时，由上面计算知，等式成立。 假设 成立， 那么当 时， 当 时，等式也成立。 由知，对一切 的自然数 n，等式
11、都成立。 故存在函数 ，使等式成立。 点评：（ 1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的 与 n 的关系式，猜想的关系未必对任意的 都满足条件，故需用数学归纳法证明。 （ 2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出 ，即 。 【模拟试题】 1. 用数学归纳法证明“当 n为正奇数时， 能被 整除”时，第二步归纳假设应写成 A. 假设 时，命题成立 B. 假设 时，命题成立 C. 假设 时，命题成立 D. 假设 时，命题成立 2. 证明 ，假设 时成立，当 1时，左端增加的项数是 A. 1 项 B. 项 C. k 项 D. 项 3. 记凸 k边形的内角和为 ，则凸 边形的内角和 （ ） A. B. C. D. 4. 某个命题与自然数 n 有关，若 时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当 时，该命题不成立，那么可推得 A. 当 时，该命题不成立 B. 当 时，该命题成立 C. 当 n=4 时，该命题不成立 D. 当 n=4 时，该命题成立 5. 用数学归纳法证明 时，由到 时，不等式左边应添加的项是
