1、数值分析 模拟 试卷 （ B） 一、算法分析（ 20） 1、 要使 11 的近似值的相对误差不超过 410 ，应取几位有效数字？ （ 5） 解：设取 n 个有效数字可使相对误差小于 410 ，则 1411 10 102 na ， 而 3 11 4，显然 1 3a ，此时， 1 1 41111 0 1 0 1 02 2 3nna ， 即 141 10 106 n， 也即 56 10 10n 所以， n=5。 2、设近似值 S0=35.70 具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析用递推式1 1 142.85iiSS 计算 S20所得结果是否可靠。（ 5） 解： 设计算 Si的绝对误差为 e(S
2、i)=Si* Si，其中计算 S0的误差为 ，那么计算 S20的误差为 e(S20)=S20* S20（ 15 S19* 142.8）（ 15 S19 142.8） =15 (S19* S19) 15 e(S19)=215e(S18)= =215e(S0) 2020 01( ) ( )5e S e S ，误差缩小，结果可靠。 3、 判定 解方程组 1 2 31 2 31 2 32 2 112 2 1x x xx x xx x x 的 高斯赛德尔 迭代法 的 收敛 性 ？（ 10） 解： 1 2 21 1 12 2 1A， 因为 21 2 3221 0 ( 2 ) 0 0 , 222 ， 所以
3、(BG-S)=21 所以高斯 赛德尔迭代法发散。 二、基 本计算（ 30） 1、用合理途径计算 10011( 1)n nn 。（ 5） 解： 由小到大依次相加。 1 0 0 1 0 0111 1 1 1 1 0 0( ) 1( 1 ) 1 1 0 1 1 0 1nnn n n n 2、用秦九韶算法计算 24( ) 2 3p x x x x 的值 p(2)。（ 5） 解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为 0。 3 0 1 1 22 6 12 22 463 6 11 23 48 所以， p(2) 48。 3、作矩阵 1 2 32 5 23 1 5A的 LU 分解。（ 5%） 解： 对矩阵
4、1 2 32 5 23 1 5A， 设 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 31 2 3 1 0 02 5 2 1 0 03 1 5 1 0 0u u ul u ul l u 先计算 U 的第一行，由矩阵乘法，有 1 1 1 1111 2 1 2 2 2121 3 1 3 2 3 3 313111212313auua u uua u uu 00 00 0 00 0 0u再计算 L 的第一列，由矩阵乘法，有 2 1 2 1 1 12 1 2 1 1 13 1 3 1 1 1 3 23 1 3 1 1 12 1 0 0 0/23 0 1 0/3a l ul a ua l
5、 u ll a u 然后计算 U 的第 2 行 L 的第 2 列，最后计算 u33。 得 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 31 0 0 1 1 2 31 0 2 1 , 0 1 41 3 5 1 0 0 2 4u u ul u ul l u 4、给定矩阵 1122A ， 求 12,A A A 。 (10%) 解：因为 1 1 2 1 1 2 2 23 , 3a a a a ， 所以 1 3A ； 因为 1 1 1 2 2 1 2 22 , 4a a a a ， 所以 4A ； 因为 1 2 1 1 5 31 2 2 2 3 5TAA ， 所以 TAA的特征多项式
6、为： 53 03 15 ， 解之得 128, 2。 所以 2 22A 。 5、 已知 x=1,2,3,4,5，对应的函数值为 f(x)=1,4,7,8,6， 求出插分表，写出相应的等距节点插值多项式 。（ 5%） 解：作差分表如下： （下略） 三、数值计算（ 50） 1、用 高斯赛德尔 迭代法 解 1 2 31 2 31 2 32 2 132 2 5x x xx x xx x x （取 (0) (0,0,0)Tx ）。（ 5） 解：从三个方程中分离出未知变量 1 2 3,x x x ，将方程组改写成便于迭代的形式得 1 2 32 1 33 1 22 2 132 2 5x x xx x xx x
7、 x ， 据此建立迭代格式得 1 2 32 1 33 1 2( 1 ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( !)2 2 132 2 5k k kk k kk k kx x xx x xx x x ， 取迭代初值 (0) (0,0,0)Tx 进行迭 代得 f(x) 一阶差 分 二阶差 分 三阶差 分 四阶差 分 1 3 4 0 3 2 7 2 1 1 1 8 3 2 6 k x(k)1 x(k)2 x(k)3 0 0 0 0 1 1 2 -1 2 -5 9 -3 3 -23 29 -7 可见，高斯赛德尔迭代法发散，求不出收敛的解。 注： 21 2 3221 0
8、 ( 2 ) 0 0 , 222 (BG-S)=21 所以，高斯赛德尔迭代法发散。 2、 试构造一个次数最低的插值多项式 p(x)，使其满足 ( 1 ) ( 1 ) 1 , ( 0 ) ( 0 ) 2 , ( 0 ) ( 0 ) 0 , ( 3 ) ( 3 ) 1 , ( 3 ) ( 3 ) 1p f p f p f p f p f (5%) 解：设插值多项式为 2 3 40 1 2 3 4()p x a a x a x a x a x 则 231 2 3 4( ) 2 3 4p x a a x a x a x 由插值条件得 010 1 2 3 40 1 2 3 41 2 3 42 ( 0 )
9、0 ( 0 )1 ( 1 )1 ( 3 ) 3 9 2 7 8 11 ( 3 ) 6 2 7 1 0 8papap a a a a ap a a a a ap a a a a 解之得 01234203413541108aaaaa 所以 4 3 21 1 3 3( ) 21 0 8 5 4 4p x x x x 3、 用最小二乘法求方程组2 4 113 5 3262 14xyxyxyxy 的近似解。 （ 10%） 解：设方程组中各个方程的一般形式为 i i iax by c，则 4 21 ( ) i i iiL a x b y c 对 x、 y 分别求偏导，并令偏导数等于 0，得 41414 4
10、 421 1 12 ( ) 0 ( ) 00i i i iii i i iii i i i ii i iLa x b y c axa x b y c ax a y a b a c 41414 4 421 1 12 ( ) 0 ( ) 00i i i iii i i iii i i i ii i iLa x b y c bya x b y c bx a b y b b c 将数据代入得 15 3 51 03 49 69 0xy 解之得 3.7271.636xy 4、 五等分区间用梯形法求数值积分 1201dxx，计算数据取小数点后两位数。 （ 5%） 解：五等分 区间时，梯形法积分公式为 1 0
11、 5 1 2 3 420 11 ( ) ) 1 5 2dx y y y y y yx 将区间 5等分， 6 个分点上的函数值为 ： x 0 0.2 0.4 y 1 0.96 0.86 x 0.6 0.8 1 y 0.74 0.61 0.5 所以， 1201dxx 0.2 0.5(1 0.5) 0.96+0.86+0.74+0.61 =0.784 5、 确定数值微分公式 0 0 0 1 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x A f x A f x A f x 的系数 ， 使它具有尽可能高的代数精度。 （ 10%） 解：为了计算方便，令 010,x x h，把 2( ) 1, ,f x
12、x x 依次代入使其成为等式，得 021222002AAA A hAh 解之得0 1 2222 2 2,A A Ah h h 所以 0 0 0 122( ) ( ) ( ) ( ) f x f x h f x f xh 此公式对于 3()f x x 不成立，故其代数精度为 2。 6、用欧拉法求初值问题 0.9 ( 0 1 )12( 0) 1y y xxy 的数值解 ， 取步长 h=0.25，计小数点后保留 2 位。（ 5%） 解：将 0.9( , )12f x y yx 代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为： 1 0. 912n n nny y h yx ，（ 0,1,2,3,4
13、n ） 取 0.25h 由初值 y0=y(0)=0 出发计算，所 得 数值结果如下 ： 00112233440 , 10. 90. 25 , 1 0. 25 1 0. 781 2 00. 90. 5 , 0. 78 0. 25 0. 78 0. 661 2 0. 250. 90. 75 , 0. 66 0. 25 0. 66 0. 591 2 0. 50. 91 , 0. 59 0. 25 0. 59 0. 541 2 0. 75xyxyxyxyxy 7、 判断方程 2x3-3x2-12x+25=0 有几个实根，并求出其隔根区间 。 （ 10%） 解：令 y=2x3-3x2-12x+25， y
14、 =6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2) 当 y =0 时，有 x=-1， x=2，而且函数没有不可导点。 显然，当 x -1 时， x+1 0， x-2 0，所以， y =6(x+1)(x-2) 0，同理可以判断出在其他几个区间上导数的符号。进一步可以得导函数在每一个区间上的单调性。列表如下： x (- ,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+ ) y + 0 0 + y 32 5 y(-1)=32 0， y(2)=5 0， 在区间（ -1,2）上方程无根。 又 y(2)=5 0，函数在（ 2， ）上又是单调增的，函数值不可能再变号， 在区间 (2， )上方程也没有根。 函数在（ ， 1）上单调， 方程在该区间上最多有一个根。 而 y( 2) 21 0， y(-3)=-20 0， 方程在区间 ( 3， 2)内有一个根，区间 ( 3， 2)是方程的隔根区间。 所以方程 2x3-3x2-12x+25=0 有一个根， 隔根区间为（ 3， 2）。
